安徽省安庆市宜秀区九一六学校2021-2022学年八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

安徽省安庆市宜秀区九一六学校2021-2022学年八年级（下）月考数学试卷（3月份）

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 下列各式中是二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列方程中，是一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

3. 在下列根式、、、中，最简二次根式的个数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 估计的值应在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

6. 若代数式和的值互为相反数，则的值为

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

7. 若，，则化简的结果为

A.  B.  C.  D.

8. 关于的方程有实数根，则的取值范围是

A.  B.  C. 且 D. 且

9. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是

A. 方有两个相等的实数根 B. 方程有一根等于
C. 方程两根之和等于 D. 方程两根之积等于

10. 已知，则的值为

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共4小题，共16分）

11. 化简的结果是______．
12. 温岭市年的人均收入为万元，年的人均收入为万元，若设人均收入的年平均增长率为，根据题意，可以列出的方程为______．
13. 定义运算“@”的运算法则为：@，则@@______．
14. 关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值是______ ．

三．计算题（本题共1小题，共6分）

15. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共9小题，共88分）

16. 用适当的方法解下列方程．
    ．
    ．
    
    
    
    
    
    
     
17. 已知，，求代数式的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知关于的方程．
    求证：无论取何实数，方程总有实数根；
    若方程有两个不等实根，，且满足，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如果最简二次根式与是同类二次根式．
    求出的值；
    若，化简：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 广安市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售．
    求平均每次下调的百分率．
    某人准备以开盘价均价购买一套平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打折销售；不打折，一次性送装修费每平方米元，试问哪种方案更优惠？
    
    
    
    
    
    
     
21. 观察下列等式，解答后面的问题：
    ；；；
    请直接写出第个等式：______ ；
    请用含为正整数的式子表示个等式，并给予证明；
    计算：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 观察下列各式：
    ；
    ；
    ；
    
    请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
    猜想：____________；
    归纳：根据你的观察，猜想，写一个用为正整数表示的等式，不用证明；
    应用：计算．
    
    
    
    
    
    
     
23. ，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
    通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
    ；
    ；
    已知关于的方程是“差根方程”，求的值；
    若关于的方程是常数，是“差根方程”，请探索与之间的数量关系式．
    
    
    
    
    
    
     

附加题：已知实数，，，满足，，求的值．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、无意义，所以此选项错误；
B、时是二次根式，所以次选项错误；
C、由于，则是二次根式，所以此选项正确；
D、的指数为，所以此选项错误．
故选：．
根据二次根式的定义分别分析得出答案．
本题考查了二次根式的定义：形如叫二次根式
 

2.【答案】
 

【解析】解：、是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不符合题意；
C、是二元二次方程，不符合题意；
D、整理得：，是一元一次方程，不符合题意，
故选：．
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：；，这两项都不符合最简二次根式的要求．
最简二次根式有个：、．
故选C．
被开方数中含有未开尽方的因式；的被开方数中含有未开尽方的因数，因此这两项都不是最简二次根式，只有、符合最简二次根式的要求．
在判断最简二次根式的过程中要注意：
在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
在二次根式的被开方数中的每一个因式或因数，如果幂的指数等于或大于，也不是最简二次根式．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.无法计算，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：原式
，
，
，
的值在和之间．
故选：．
先计算二次根式的乘法，再利用二次根式的性质进行估算而得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法及估算无理数的大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：代数式和的值互为相反数，
，
即，
或，
解得或．
故选：．
根据相反数的定义即可得出关于的一元二次方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．
本题考查了相反数的定义以及分解因式法解一元二次方程，利用十字相乘法分解因式将方程边形为是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：原式，
，，
，
原式．
故选：．
根据二次根式的性质进行化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据根的判别式和已知得出不等式是解此题的关键．
当，关于的方程有一个实数根，当时，列不等式即可得到结论．
【解答】
解：当，即时，关于的方程有一个实数根，
当时，
关于的方程有实数根，
，
解得：，
的取值范围是，
故选：．  

9.【答案】
 

【解析】解：把代入方程得出：，
把代入方程得出，
方程有两个根和，
，
即只有选项C正确；选项A、、都错误；
故选C．
根据已知得出方程有两个根和，再判断即可．
本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
原式变形为：，
则，
，
，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件求出的范围，把已知式子变形，代入计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
根据二次根式的性质化简即可解答．
本题考查了二次根式的性质与化简．
 

12.【答案】
 

【解析】解：设人均收入的年平均增长率为，
依题意，得：．
故答案为：．
设人均收入的年平均增长率为，根据温岭市年及年的人均收入，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：@，
@@@@，
故答案为：．
认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．
解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．
 

14.【答案】
 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，且，
解得：且，
则整数的最大值为．
故答案为：．
根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于，求出的范围，确定出所求即可．
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，灵活意义一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

15.【答案】解：原式；

原式

．
 

【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；
直接利用二次根式的性质化简，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

16.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，
或，
，
所以，．
 

【解析】利用因式分解法把方程化为或，然后解一次方程即可；
利用配方法得到或，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是关键．也考查了因式分解法解方程．
 

17.【答案】解：，，
，，
原式．
 

【解析】先计算出，，再利用约分得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．
 

18.【答案】解：，
，
，
无论取何实数，方程总有实数根；

根据题意得，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
的值为．
 

【解析】先计算出，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论；利用方程解的意义得到，根据根与系数的关系得到，，由得到，然后解方程即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，也考查了一元二次方程的根的判别式．
 

19.【答案】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：；
把代入得：，
则原式．
 

【解析】利用同类二次根式的定义求出的值即可；
把的值代入确定出的范围，原式变形后，利用二次根式性质化简，即可求出值．
此题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

20.【答案】解：设平均每次下调的百分率为，
则，
解得：，舍去，
故平均每次下调的百分率为；

方案购房优惠：元；
方案可优惠：元．
故选择方案更优惠．
 

【解析】根据题意设平均每次下调的百分率为，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案更优惠．
本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．
 

21.【答案】
 

【解析】解：第个等式：；
故答案为；
第个等式为：为正整数；
证明：左边，
为正整数
左边右边，
猜想成立；
原式


．
利用前面个等式所反应的规律写出第个等式；
找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第个等式等式为：为正整数，然后根据二次函数的性质进行证明；
利用中的规律得到原式，然后根据二次根式的乘法法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

22.【答案】 
 

【解析】解：原式．
故答案为：，．
由上述规律可得：为正整数．
原式


．
根据题意给出的规律即可求出答案．
由题意的规律即可用表示该等式．
利用中的结论即可求出答案．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律，本题属于基础题型．
 

23.【答案】解：设，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
方程不是差根方程；
设，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
方程是差根方程；

，
因式分解得：，
解得：，，
关于的方程是“差根方程”，
，即；

设，是一元二次方程是常数，的两个实数根，
，，
关于的方程是常数，是“差根方程”，
，
，即，
．
 

【解析】据“差根方程”定义判断即可；
根据是“差根方程”，且，得到，从而得到；
设，是一元二次方程是常数，的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到．
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
，
，
，
，
，







．
 

【解析】根据可得，结合可求解，再将所求代数式转开后分解因式为，代入计算可求解．
本题主要考查因式分解的应用，将代数式分解因式是解题的关键．