中考数学一轮复习讲义第29讲《尺规作图》练习

这是一份中考数学一轮复习讲义第29讲《尺规作图》练习，共36页。试卷主要包含了基本作图，利用基本作图作三角形，与圆有关的尺规作图，作图的一般步骤等内容，欢迎下载使用。

中考数学一轮复习讲义
考点二十九：尺规作图
聚焦考点☆温习理解
1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺[来源:学科网]
2．基本作图
(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差；
(2)作一个角等于已知角，以及角的和﹑差；
(3)作角的平分线；
(4)作线段的垂直平分线；
(5)过一点作已知直线的垂线．
3．利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
4．与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；
(2)作三角形的内切圆；
(3)作圆的内接正方形和正六边形．
5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型
6．作图的一般步骤
尺规作图的基本步骤：
(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；
(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；
(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；
(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；
(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；
(6)结论：对所作图形下结论．
名师点睛☆典例分类[来源:Z_xx_k.Com]
考点典例一、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图
【例1】（2018•济宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线　　　　　
②∠ADC=60°
③△ABD是等腰三角形　　
④点D到直线AB的距离等于CD的长度．

A．1 B．2 C．3 D．4

【举一反三】
（2018黑龙江绥化）如图，为某公园的三个景点，景点和景点之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭，使景点、景点到凉亭的距离之和等于景点到景点的距离．请用直尺和圆规在所给的图中作出点．(不写作法和证明，只保留作图痕迹)


考点典例二、画已知直线的平行线，垂线
【例2】下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

请回答：该作图依据是__________________________________________________．

【例3】安徽省2018年如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.


【举一反三】
（2017浙江衢州）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

考点典例三、画三角形
【例4】（2017江苏无锡）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．


【举一反三】
已知：线段a、c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）．


考点典例四、通过画图确定圆心
【例5】（2017浙江嘉兴）如图，已知，．

（1）在图中，用尺规作出的内切圆，并标出与边，，的切点，，（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接，，求的度数．
【举一反三】
如图，（1）作△ABC的外接⊙O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙O的半径．


课时作业☆能力提升
1．（2018广西贺州）如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）

A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC

2．用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（ ）
A．已知两条直角边 B．已知两个锐角
C．已知一直角边和直角边所对的一锐角 D．已知斜边和一直角边

3．如图，已知钝角∆ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.

步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是（ ）
A. AC平分∠BAD B. BH垂直平分线段AD C. D. AB=AD

4．已知点，点都在直线的上方，试用尺规作图在直线上求作一点，使得 的值最小，则下列作法正确的是( ).
A. B. C. D.

5．（2017湖北随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）

A. 以点F为圆心，OE长为半径画弧
B. 以点F为圆心，EF长为半径画弧
C. 以点E为圆心，OE长为半径画弧
D. 以点E为圆心，EF长为半径画弧[来源:学|科|网]

6．如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为,所以.由这种作图方法得到的和全等的依据是（ ）

A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS

7．尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎期中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分。例如可将圆6等分，如图只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B,C,D,E,F.从而点A,B,C,D,E,F把⊙O六等分。下列可以只用圆规等分的是（ ）
①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分

A. ② B. ①② C. ①②③ D. ①②③④

8．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（　　）
A. B. C. D.

9．已知线段AB,下列尺规作图中,PQ与AB的交点O不一定是AB的中点的是( )

A. A B. B C. C D. D
10．（2018湖北十堰）如图，在中，尺规作图如下：分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点,连接，则下列结论正确的是（ ）

A．平分 B．垂直平分
C. 垂直平分 D．平分

11．如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为△D′O′C′≌△DOC，所以∠D′O′C′＝∠DOC。由这种作图方法得到的△D′O′C′和△DOC全等的依据是___（写出全等判定方法的简写）


12．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=___°．


13．下面是一道确定点P位置的尺规作图题的作图过程.
如图，直线L1与L2相交于点O，A,B是L2上两点，点P是直线L1上的点，且∠APB=30°，请在图中作出符合条件的点P.

作法：如图，
（1）以AB为边在L2上方作等边△ABC；
（2）以C 为圆心，AB长为半径作⊙C交直线L1于P1，P2两点.
则P1、P2就是所作出的符合条件的点P.

请回答:该作图的依据是______________________________________________________.

14. 江西省2018年如图，在四边形中，∥,=2,为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹)
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高 .


15.（2017广西贵港）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
已知线段和，点 在上（如图所示）.

（1）在边上作点，使 ；
（2）作的平分线；
（3）过点作的垂线.
16. 孝感市2018年如图，中，，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作的平分线交于点；
②作边的垂直平分线，与相交于点；
③连接，.
请你观察图形解答下列问题：

（1）线段，，之间的数量关系是________；
（2）若，求的度数.

17.（2017贵州六盘水如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点.
(1)利用尺规作图，确定当最小时点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).
(2)求的最小值.


18.（2017江苏盐城）如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）学+科网
（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．


19.（2017甘肃兰州）在数学课上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线和外一点

求作：直线的垂线，使它经过点.
做法：如图：(1)在直线上任取两点、；
(2)分别以点、为圆心，，长为半径画弧，两弧相交于点；
(3)作直线.
参考以上材料作图的方法，解决以下问题：
(1)以上材料作图的依据是 .
(3)已知：直线和外一点，
求作：，使它与直线相切。(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)




















参考答案：
考点典例一、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图
【例1】（2018•济宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线　　　　　
②∠ADC=60°
③△ABD是等腰三角形　　
④点D到直线AB的距离等于CD的长度．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
因为∠C=90°，∠B=30°，则∠BAC=60°，而AD平分∠BAC，则∠DAB=30°，所以∠ADC=∠DAB+∠B=60°，所以②正确；
因为∠DAB=∠B=30°，所以△ABD是等腰三角形，所有③正确；
因为AD平分∠BAC，所以点D到AB与AC的距离相等，而DC⊥AC，则点D到直线AB的距离等于CD的长度，所以④正确．
故选：D．
点睛：本题考查了作图﹣基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
【举一反三】
（2018黑龙江绥化）如图，为某公园的三个景点，景点和景点之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭，使景点、景点到凉亭的距离之和等于景点到景点的距离．请用直尺和圆规在所给的图中作出点．(不写作法和证明，只保留作图痕迹)

【答案】作图见解析.
【解析】

考点：作图—应用与设计作图．
考点典例二、画已知直线的平行线，垂线
【例2】下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

请回答：该作图依据是__________________________________________________．
【答案】四边相等的四边形是菱形，菱形对边平行， 两点确定一条直线
【解析】四边相等的四边形是菱形，菱形对边平行， 两点确定一条直线。
【点睛】尺规作图经过已知直线外一点作这条直线的平行线，实际上就是基本作图：作一个角等于已知角．
【例3】安徽省2018年如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.

【答案】（1）画图见解析；（2）CE=

【详解】（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；

（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2，
在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC==，
在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE==.
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，垂径定理等，熟练掌握角平分线的作图方法、推导得出OE⊥BC是解题的关键.
【举一反三】
（2017浙江衢州）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】C.

考点：基本作图.
考点典例三、画三角形
【例4】（2017江苏无锡）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；
（2）过D点作DI∥BC交AC于I，分别以D，I为圆心，DI长为半径作圆弧交AB于E，交AC于H，过E点作EF∥AC交BC于F，过H点作HG∥AB交BC于G，六边形DEFGHI即为所求正六边形．
试题解析：（1）如图所示：点O即为所求．

（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．

考点：1.作图—复杂作图；2.等边三角形的性质；3.三角形的外接圆与外心．
【点睛】(1)作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形；
(2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．
【举一反三】
已知：线段a、c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】作图见解析.
【解析】
试题分析：先作∠MBN=∠β，再在∠MBN的两边上分别截取BC=a，AB=c，连接AC即可．
试题解析：

考点：作图—基本作图．
考点典例四、通过画图确定圆心
【例5】（2017浙江嘉兴）如图，已知，．

（1）在图中，用尺规作出的内切圆，并标出与边，，的切点，，（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接，，求的度数．
【答案】（1）作图见解析；（2）70°．
【解析】
试题分析：（1）直接利用基本作图即可得出结论；
（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．
试题解析：（1）如图1，

⊙O即为所求．
（2）如图2，

连接OD，OE，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=70°．
考点：1.作图—复杂作图；2.三角形的内切圆与内心．
【点睛】本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆．
【举一反三】
如图，（1）作△ABC的外接⊙O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙O的半径．

【答案】（1）（1）作图见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）作线段AB于BC的垂直平分线相交于点O，则点O即为圆心，OA为半径，作△ABC的外接圆即可；
（2）先根据勾股定理求出CD的长，设OC=OA=r，则OD=CD-r，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出r的值即可．
试题解析：（1）如图，⊙O即为所求；

（2）∵AB=6cm，AC=BC=5cm，
∴AD=AB=3cm，
∴CD==4cm．
设OC=OA=r，则OD=4-r，
在Rt△AOD中，
∵AD2+OD2=OA2，即32+（4-r）2=r2，解得r=．
课时作业☆能力提升
1．（2018广西贺州）如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）

A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
【答案】D．
【解析】
试题分析：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，∴AE∥BC，故C选项正确，∴∠EAC=∠C，故B选项正确，∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，故选D．
考点：作图—复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质．
2．用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（ ）
A．已知两条直角边 B．已知两个锐角
C．已知一直角边和直角边所对的一锐角 D．已知斜边和一直角边
【答案】B．

考点：作图——复杂作图．
3．如图，已知钝角∆ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.

步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是（ ）
A. AC平分∠BAD B. BH垂直平分线段AD C. D. AB=AD
【答案】B
【解析】解：①、错误．CA不一定平分∠BAD．
②、正确．如图连接CD、BD．∵CA=CD，BA=BD，∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，∴直线BC是线段AD的垂直平分线，故A正确．

③、错误．应该是S△ABC=•BC•AH．
④、错误．根据条件AB不一定等于AD．
故选B．

点睛：本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法．
4．已知点，点都在直线的上方，试用尺规作图在直线上求作一点，使得 的值最小，则下列作法正确的是( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
如图，由作图可知，B，B＇关于直线对称，所以BP= B＇P,此时AP +PB＇=AP+PB值最小.
5．（2017湖北随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）

A. 以点F为圆心，OE长为半径画弧
B. 以点F为圆心，EF长为半径画弧
C. 以点E为圆心，OE长为半径画弧
D. 以点E为圆心，EF长为半径画弧[来源:学|科|网]
【答案】D
【解析】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．
6．如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为,所以.由这种作图方法得到的和全等的依据是（ ）

A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
【答案】A
【解析】根据作图方法可知：D' O' =DO， O' C'=OC，D'C'=DC，根据SSS即可得，故选A.
7．尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎期中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分。例如可将圆6等分，如图只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B,C,D,E,F.从而点A,B,C,D,E,F把⊙O六等分。下列可以只用圆规等分的是（ ）
①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分

A. ② B. ①② C. ①②③ D. ①②③④
【答案】D
【解析】经过圆心的直径可将圆周两等分；画一条直径，以直径的一个端点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与原有圆有两个交点，这两个交点与直径另一个端点就是圆的三等分点；画两条互相垂直的直径就可以将圆四等分；五等分圆如下图所示：

8．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B．
考点：作图—基本作图．
9．已知线段AB,下列尺规作图中,PQ与AB的交点O不一定是AB的中点的是( )

A. A B. B C. C D. D
【答案】C
10．（2018湖北十堰）如图，在中，尺规作图如下：分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点,连接，则下列结论正确的是（ ）

A．平分 B．垂直平分
C. 垂直平分 D．平分
【答案】C
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线的作法可得，GH垂直平分线段EF．
故选：C．
考点：1、作图—基本作图；2、线段垂直平分线的性质
11．如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为△D′O′C′≌△DOC，所以∠D′O′C′＝∠DOC。由这种作图方法得到的△D′O′C′和△DOC全等的依据是___（写出全等判定方法的简写）

【答案】SSS
【解析】由题意得，， 得△D′O′C′△DOC.
12．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=___°．

【答案】56
【解析】试题分析：如图，根据作图痕迹可知，GH垂直平分AC，AG平分∠CAD.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ABC=68°。
∵AG平分∠CAD，∴∠CAG=∠CAD=34°。
∵GH垂直平分AC，∴∠AHG=90°，∴∠AGH=90°-34°=56°。
∵∠α=∠AGH，∴∠α=56°。

考点：尺规作图，矩形的性质，角平分的定义，直角三角形的性质.
13．下面是一道确定点P位置的尺规作图题的作图过程.
如图，直线L1与L2相交于点O，A,B是L2上两点，点P是直线L1上的点，且∠APB=30°，请在图中作出符合条件的点P.

作法：如图，
（1）以AB为边在L2上方作等边△ABC；
（2）以C 为圆心，AB长为半径作⊙C交直线L1于P1，P2两点.
则P1、P2就是所作出的符合条件的点P.

请回答:该作图的依据是______________________________________________________.
【答案】一条弧所对圆周角的度数是圆心角度数的一半.
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠AP1B=30°，∠AP2B=30°
依据是：一条弧所对圆周角的度数是圆心角度数的一半.
14. 江西省2018年如图，在四边形中，∥,=2,为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹)
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高 .

【答案】(1)作图见解析；（2）作图见解析.

【详解】（1）如图AF是△ABD的BD边上的中线；

（2）如图AH是△ABD的AD边上的高.

【点睛】本题考查了利用无刻度的直尺按要求作图，结合题意认真分析图形的成因是解题的关键.
15.（2017广西贵港）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
已知线段和，点 在上（如图所示）.

（1）在边上作点，使 ；
（2）作的平分线；
（3）过点作的垂线.
【答案】作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）在OA上截取OP=2a即可求出点P的位置；
（2）根据角平分线的作法即可作出∠AOB的平分线；
（3）以M为圆心，作一圆与射线OB交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于D点，连接MD即为OB的垂线；
试题解析：（1）点P为所求作；
（2）OC为所求作；
（3）MD为所求作；[来源:学科网]

考点：作图—复杂作图．
16. 孝感市2018年如图，中，，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作的平分线交于点；
②作边的垂直平分线，与相交于点；
③连接，.
请你观察图形解答下列问题：

（1）线段，，之间的数量关系是________；
（2）若，求的度数.
【答案】（1）；（2）80°.
【解析】分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；
（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°-2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论．
详解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是：
∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∵EP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC；
故答案为：PA=PB=PC；

点睛：本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键．
17.（2017贵州六盘水如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点.
(1)利用尺规作图，确定当最小时点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).
(2)求的最小值.

【答案】（1）详见解析；(2)2.
试题分析：(1)画出A点关于MN的称点,连接B,就可以得到P点; (2)利用得∠AON=∠=60°，又为弧AN的中点,∴∠BON=30°，所以∠ON=90°，再求最小值．
试题解析：
(1)如图，点P即为所求作的点.

(2)由（1）可知，的最小值为的长，
连接,OB、OA
∵A点关于MN的称点，∠AMN=30°，
∴
又∵为的中点
∴
∴
∴
又∵MN=4
∴
在Rt△中，
即的最小值为2.

考点：圆，最短路线问题．
18.（2017江苏盐城）如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）学+科网
（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．

【答案】（1）作图见解析；（2）15+．
【解析】
试题分析：（1）作∠ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可；
（2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为C△OO1O2，先求出△ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，从而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案．
试题解析：（1）如图①所示，射线OC即为所求；

（2）如图，圆心O的运动路径长为C△OO1O2，[来源:学|科|网Z|X|X|K]

过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D、F、G，
过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O2B，
过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H、I，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，
∴AC=，AB=2BC=18，∠ABC=60°，
∴C△ABC=9+9+18=27+9，
∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，
∴D、G为切点，
∴BD=BG，
在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，
∵，
∴△O1BD≌△O1BG（HL），
∴∠O1BG=∠O1BD=30°，
在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，
∴BD=，
∴OO1=9-2-2=7-2，
∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，
∴O1D∥OE，且O1D=OE，
∴四边形OEDO1为平行四边形，
∵∠OED=90°，
∴四边形OEDO1为矩形，
同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，
又OE=OF，
∴四边形OECF为正方形，
∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，
∴∠GO1D=120°，
又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，
∴∠OO1O2=360°-90°-90°=60°=∠ABC，
同理，∠O1OO2=90°，
∴△OO1O2∽△CBA，
∴，即，
∴C△OO1O2=15+，即圆心O运动的路径长为15+．
考点：切线的性质；作图—复杂作图．
19.（2017甘肃兰州）在数学课上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线和外一点

求作：直线的垂线，使它经过点.
做法：如图：(1)在直线上任取两点、；
(2)分别以点、为圆心，，长为半径画弧，两弧相交于点；
(3)作直线.
参考以上材料作图的方法，解决以下问题：
(1)以上材料作图的依据是 .
(3)已知：直线和外一点，
求作：，使它与直线相切。(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)

【答案】（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质，可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质，切线的性质，可得答案．学科=网
试题解析：（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
（2）如图．

考点：作图—复杂作图；切线的判定．