高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.3 古典概型教学设计

古典概型

【教学目标】 

1． 通过实例对古典概型概念的归纳和总结，使学生体验知识产生和形成的过程，培养学生的抽象概括能力。

2． 理解古典概型的概念，能运用所学概念求一些简单的古典概率，并通过实例归纳和总结出概率的一般加法公式。

3． 通过对古典概型的学习，使学生进一步体会随机事件概率的实际意义。

实施方案：

1．借助抛硬币、掷骰子的试验，使学生初步理解基本事件的两个特点，并由学生举例，通过比较、分析引导学生发现随机试验中出现的基本事件有等可能，也有不等可能的情形；

2．引导学生从具有等可能的基本事件的试验中概括出古典概型的两个特征；

3．从掷硬币、骰子试验的有关概率计算中归纳出古典概型的概率计算公式；

4．借助问题背景及动手操作，让学生不断体验基本事件与古典概型的特征充分认识到它们在运用古典概型概率计算公式中的重要性，尝试用概率知识解析实际问题，形成严谨的科学态度。 

【教学重难点】

重点：教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的古典概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化古典概型的两个特征及概率计算公式。同时使学生初步能够把一些实际问题转化为古典概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题。

 落实的途径： 

（1）本课题中古典概型是核心概念，但基本事件也是一个很重要的概念，它对学生正确认识与获得古典概型的概念起着十分关键的作用。基本事件概念中有如下的两个特点：

①任何两个基本事件是互斥的；

②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

（2）通过举实例的方法，理解古典概型的两个重要的特征：结果的有限性与等可能性除了教材中掷硬币与掷骰子外，还可以举学生身边的事件，如班级里选班长等

（3）通过画树形图和列表的方法，落实古典概型中随机事件的概率的求解

（4）通过变式训练的方法，提升学生掌握古典概型中随机事件的概率计算的分析方法

 难点：如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

 突破的方法：

①在概率的计算上，鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑；

②通过正、反两方面的例子，特别是举一些破坏了古典概型两个重要特征的例子，以突破古典概型识别的难点；

③举一些数学分支中的古典概型例子，如表面涂色正方体分割成等体积的27个小正方体，从中任取一个，则一面涂色、二面涂色、三面涂色的概率分别为多少？

【教学方法】

初学者对基本事件与随机事件的联系与区别存在理解困难，对于基本事件的互斥性比较容易理解，但对于任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和这一特点不知所措，为了突破这一点，教学中可以用类比思想来解决，将集合的“单元素子集”比作基本事件，那么任一其他子集都可以是单元素子集的并集（和），具体实施如下：

1．在古典概型的概念理解与古典概型的计算中，一是学生不能正确理解等可能性；二是学生不能完整的列举出基本事件总数和事件A所包含的基本事件数，因此需要用直观地、描述性的语言暴露老师的思维过程，给学生以具体的指导。因此在教学中要加深对基本事件（相对性）的理解，让学生真正体会到判断古典概型的重要性，其中可以利用试验、统计、列举等手段来帮助学生解决问题。

2．在归纳概率计算公式时，很多学生可能会不重视，想当然地得出结论，教学中应引导学生揭示公式得出的过程，尤其是基本事件的等可能性（可以借助图形引导学生直观认识），并学会从特殊到一般研究问题的方法。

3．学生初步学习概率，较难将实际问题模型（古典概型）化，因此在教学应重视培养学生建模的意识的能力。

【教学准备】

 为了有效实现教学目标，条件许可准备投影仪、多媒体课件，学生准备硬币、骰子数枚。

【教学过程】

 问题1：

（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，会有哪几种可能结果？这些结果具有哪些特点？

（2）抛掷一枚质地均匀的骰子，会有哪几种可能结果？这些结果具有哪些特点？事件“出现质数点”可以用这些结果表示吗？

【教学设计】

以学生为本的教学设计学生分小组进行实验：各小组课前用一枚硬币或一枚骰子，抛掷n次，记录试验结果，在课堂上交流试验情况，教师汇总结果，并与学生一起讨论试验结果特点；这一问题创设情境方式，简单、直观、教学条件与设备要求低，有利于教学资源与条件差的地区，教学理念是以学生自主学习为主，但要利用课余时间，组织工作较多；

问题1：抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种可能结果：正面向上，反面向上；这两个结果不可能同时发生，即“正面向上”“反面向上”是互斥事件；而且这两个结果的出现是等可能的；抛掷一枚质地均匀的骰子，会有6种可能结果：出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，这6个结果不可能同时发生，即它们是互斥事件，而且这6个结果的出现是等可能的；事件“出现质数点”可以用“出现2点”“出现3点”“出现5点”的和来表示

一、形成概念：

（1）基本事件

分析抛掷一枚质地均匀的硬币与骰子的试验结果的特点：相互之间是互斥关系；任何事件都可以表示为它们的和。从而归纳出基本事件的概念。

定义：我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。

基本事件有如下的两个特点：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

例1 （1）从字母A．B．C．D中任意取出一个字母的试验中，有哪些基本事件？（2）任意取出两个不同字母呢？

设计意图：使学生了解基本事件及列举法（画树状图是列举法的基本方法），列出所有基本事件，并为归纳古典概型提供更多背景。

由学生举例：说出试验中的基本事件，并补充一些不等可能的背景：如在掷一枚质地均匀骰子（其中四个面分别标有1．2．3．4，另两个面标有5）的试验中，基本事件分别是什么？

设计意图：让学生深入理解基本事件的意义，体会随机思想，并能认识到基本事件之间有等可能，也有不等可能，这里可以借助图形（如图：用一个圆表示必然事件，若等可能就将它等分，否则不等分）来直观说明。

练习1．从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？

分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来。

点拨：一般用列举法列出所有基本事件的结果，画树状图是列举法中的一种基本方法。

 （2）古典概型

问题2  在掷一枚质地均匀的硬币或骰子及例1的试验中，基本事件分别有几个，它们之间有什么共同特征？

设计意图：借助具体试验中的基本事件，发现它们的共同特征，概括出古典概型的定义。

师生活动：通过引导，使学生逐步归纳出它们间的共性：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

定义： 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型(classical models of probability)，简称古典概型。

例2：（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？

因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件。

（2）从一个男女生人数差异性较大的班中随机地抽取一位学生代表，出现两个可能结果“男同学代表”“女同学代表”，你认为这是古典概型吗？为什么？

不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有2个，而“男同学代表”“女同学代表”出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。

我们一般用列举法列出所有基本事件的结果，画树状图是列举法中的一种基本方法。

设计意图：使学生进一步理解古典概型概念中的两个特征的含义。

师生活动：由学生来判断并说明理由。

二、应用举例

 例3  抛掷一枚质地均匀的骰子，由骰子的点数为奇数还是偶数来决定乒乓球比赛中的发球权，公平吗？同时抛掷两枚质地均匀的骰子，由两枚骰子的点数之和为奇数还是偶数来决定乒乓球比赛中的发球权，公平吗？

设计意图：通过动手操作并利用统计手段（统计思想），使学生深入理解在使用古典概型的概率公式时，首先要正确认识试验中的基本事件（相对于研究问题而言），并判断该概率模型是不是古典概型，然后要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

师生活动：向每位学生分发一枚质地均匀的骰子，同桌合作做试验，结合试验中的统计数据，通过交流与讨论，尝试解决此问题。在分析此问题时，要引导学生充分认识到：解决同一问题可能有多个角度确定基本事件，但并不是都等可能，只有当它们符合古典概型时，才能运用概率计算公式。

三、达标检测

1．在35瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率为_________。

2．从0、1，2，3，…，9这10个数字中任取个数字，

（1）2个数字都是偶数的概率为_________；

（2）2个数字之和为奇数的概率为_________。

4．课堂总结

（1）你认为本节课学习的主要内容是什么？

（2）你认为在应用古典概型解决概率问题时，应注意什么？

（3）在学习了古典概型后，你有哪些收获？

【教学反思】

本节课，基本而又重要，我没有采取传统的教学方法，而是放手让学生活动，取得了不错的效果。