2022长沙雅礼中学高三下学期一模考试数学试题含答案

雅礼中学2022届模拟试卷（一）

数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A，B为全集U的子集，若，则（    ）

A．A B．B C．U D．

2．已知复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（    ）

A． B．3 C． D．

4．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（    ）

A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺

B．春分和秋分两个节气的晷长相同

C．立冬的晷长为一丈五寸

D．立春的晷长比立秋的晷长短

5．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|=|PF2|，则△PF1F2的面积为（    ）

A． B． C． D．

6．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知F1、F2是双曲线E：（，）的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点，若，则双曲线E的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，对于任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9．已知随机事件A，B发生的概率分别为P（A）=0.3，P（B）=0.6，下列说法正确的有（    ）

A．若P（AB）=0.18，则A，B相互独立

B．若A，B相互独立，则P（B|A）=0.6

C．若P（B|A）=0.4，则P（AB）=0.12

D．若，则P（A|B）=0.3

10．已知向量a=（，1），b=（，）（），则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若b在a上的投影为，则向量a与b的夹角为

C．是与a共线的唯一的单位向量

D．存在，使得

11．设，过定点M的直线l1：与过定点N的直线l2：相交于点P，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（    ）

A．l1一定垂直l2

B．|PM|+|PN|的最大值为

C．点P的轨迹方程为

D．的最小值为

12．直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=1，点D是线段BC1上的动点（不含端点），则以下说法正确的是（    ）

A．AC∥平面A1BD

B．CD与AC1不垂直

C．∠ADC的取值范围为

D．AD+DC的最小值为

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知函数（）的图象关于y轴对称，且与直线y=x相切，写出满足上述条件的一个函数______．

14．以抛物线（）焦点F为端点的一条射线交抛物线于点A，交y轴于点B，若|AF|=2，|BF|=3，则p=______．

15．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，5人的名次排列可能有种______不同情况．（填数字）

16．对于集合E={a1，a2，…，a100}的子集X={，，…，}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中==…==1，其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0．

（1）子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”的前四项和等于______；

（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1=1，，，E的子集Q的“特征数列”为q1，q2，…，q100，满足q1=1，，，则的元素个数为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

设数列的前n项和为，满足（）．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，求的表达式．

18．（本小题满分12分）

在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=3AB=3．

（1）若CA=CD，且cos∠ABC=，求△ABC的面积S；

（2）若cos∠DAC=，cos∠ACD=，求BD的长．

19．（本小题满分12分）

如图，在四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA=AB=BC=1，AD=．沿BA将△PAB翻折到△SBA的位置，使得SD=．

（1）作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l⊥平面CSB；

（2）点Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角Q−BD−C的余弦值为时，求此时三棱锥Q−BCD的体积．

20．（本小题满分12分）

 为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：g/m3）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中，）

（1）利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型；

（2）根据（1）的结果回答下列问题：

（i）建立y关于x的回归方程；

（ii）样本对原点的距离x=20时，平均金属含量的预报值是多少？

（3）已知该金属在距离原点x m时的平均开采成本W（单位：元）与x，y关系为（），根据（2）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？

附：对于一组数据（t1，s1），（t2，s2），…，（tn，sn），

其线性相关系数，

其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

，．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆：（） 的上顶点为B（0，1），过点（，0）且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线l1交椭圆于异于点B的P，Q两点，以PQ为直径的圆经过点B，线段PQ的中垂线l2与x轴的交点为（，0），求的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知函数，，其中e是自然对数的底数．

（1）当时，，求a的取值范围；

（2）当时，求证：．

雅礼中学2022届模拟试卷（一）

数学参考答案

一、二选择题

1．C【解析】因为，所以有，则．故选C．

2．A【解析】设，，由得，

∴，解得，，∴．故选A．

3．C【解析】设底面半径为r，高为h，母线为l，如图所示：

则圆锥的体积，所以，即，，则，

又，所以，故．故选C．

4．D【解析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得，

同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差．故选项A正确：

∵春分的晷长为，∴，

∵秋分的晷长为，∴，所以B正确；

∵立冬的晷长为，∴，即立冬的晷长为一丈五寸，C正确；

∵立春的晷长，立秋的晷长分别为，，

∴，，

∴，故D错误．

故选D．

5．C【解析】由双曲线的方程，可得，，，

可得渐近线方程为，

设P在渐近线上，

因为，所以P的横坐标为，即有，

所以的面积为．

故选C．

6．D【解析】因为，，所以两式平方相加得，

即，

又因为，

所以，即，，

将代入，

得，即，

所以，∴．故选D．

7．D【解析】延长与，交于K，连接ON，

由题意可得MN为边的垂直平分线，

则，

且N为的中点，，

由双曲线的定义可得，

则，

即，，

可得双曲线的渐近线方程为，即．

故选D．

8．C【解析】由题意，，，

即，

故，

即，

所以，

∵，

∴，，

若对于任意的，都存在，使得成立，

则，

因为，所以，

对于A：当时，，的取值不符合条件，故A错误；

对于B：当时，，的取值不符合条件，故B错误；

对于C：当时，，的取值符合条件，故C正确；

对于D：当时，，的取值不符合条件，故D错误．

故选C．

9．ABC【解析】因为随机事件A，B发生的概率分别为，，

对于A，因为，所以A，B相互独立，故A正确；

对于B，若A，B相互独立，则，故B正确；

对于C，若，则，故C正确；

对于D，若，则，故D错误．

故选ABC．

10．BD【解析】向量，，

对A：因为，所以，所以，故选项A错误；

对B：因为在上的投影为，即，

所以，又，，

所以，

因为，所以向量与的夹角为，故选项B正确．

对C：与共线的单位向量有两个，分别为和，故选项C错误；

对D：当，时，，此时向量与共线同向，满足，所以存在，使得，故选项D正确．

故选BD．

11．AD【解析】对于A：时，直线与垂直；

时直线的斜率，的斜率为，

因为，所以与垂直，综上，一定垂直，故A正确；

对于B：过定点，过定点，在中，设，则．故B错误；

对于C：由可得点P轨迹方程为．

需要去掉这个点．故C错误；

对于D：作，则，

∴点D轨迹方程为．

∵，且的最小值为，

∴的最小值为，故D正确．

故选AD．

12．AD【解析】依题作图，如图1，并将其补成正方体，如图2．

对于A，因为，平面，所以平面，故A正确；

对于B，当D为的中点，CD与重合，根据正方体的性质可得，故B错；

对于C，判断以AC为直径的球与的交点情况，

如图3，取AC中点F，则，

当时，，

所以以AC为直径的球与没有交点，所以，故C错；

对于D，将平面翻折至与平面共面，此时点C与重合，所以的最小值为，故D正确．

故选AD．

三、填空题

13．（答案不唯一）【解析】设，

∵的图象关于y轴对称，

∴对称轴，∴，

∴，

联立，整理得，即，

∵的图象与直线相切，

∴，∴，

∴满足条件的二次函数可以为．

14．3【解析】∵，，

∴，，

∴，

∴，

由抛物线的定义知，，

∴．

15．54【解析】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；

再排甲，也有3种情况；

余下3人有种排法．

故共有种不同的情况．

故答案为：54．

16．（1）3  （2）33或34（第1空2分，第2空3分）【解析】（1）子集的“特征数列”为1，0，1，1，1，0，0，…，0，所以．

（2）P的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，1，0，

Q的“特征数列”为1，1，0，1，1，0，1，1．0，…，0，1或1，0，1，1，0，1，…，1，1．

的元素共33或34个．

四、解答题

17．【解析】（1）当时，，即，

当时，，

即，因此，

所以，

即，经检验，时成立，所以．

（2）因为，

．

18．【解析】（1）由，可得，

在中，，．

由余弦定理，知，

所以，即，

解得或（舍），

所以的面积．

（2）在中，因为，，

所以，，

由正弦定理，

所以，

又

，

在中，由余弦定理知，

所以．

19．【解析】（1）如图，延长BA，CD相交于E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l．

证明：在中，，，，则，∴．

由，，，得平面SAB，

又，∴平面SAB，则，

由，，，得，

∴，可得，

又∵，∴平面CSB，

即平面CSB．

（2）由（1）知，，，．

以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，设，则，

，

设是平面QBD的一个法向量，

则，取，可得，

是平面CBD的一个法向量，

由，

解得，∴点Q是SC的中点，

∴．

20．【解析】（1）的线性相关系数，

的线性相关系数，

∵，

∴更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型．

（2）（ⅰ），

，

∴，

∴y关于x的回归方程为．

（ⅱ）当时，平均金属含量的预报值为．

（3），

令，则，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

∴在处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值，

故时，开采成本最大．

21．【解析】（1）由已知条件得：，令，得，

由题意知：，解得，∴椭圆的标准方程为．

（2）①当直线PQ的斜率不存在时，显然不合题意；

②当直线PQ斜率存在时，设，

当时，此时P，Q关于y轴对称，令，，

∴，，且，则，又，

∴，解得或（含），则，，符合题设．

∴此时有；

当时，

设，，则，得，，

且，

由，即，

∴，

整理得，解得，（舍去），

代入得，

∴PQ为，得，，

则线段的PQ中垂线为，

∴在x轴上截距，而，∴且，

综合①②：线段PQ的中垂线在x轴上的截距的取值范围是．

22．【解析】（1）因为，则，

①当时，由可知，

又因为，当且仅当时，等号成立，

所以恒成立，且不恒为零，

所以函数在上为增函数．又，所以对恒成立；

②当时，令，则，

当时，，，则，

所以，函数在上单调递增，

因为，，

由零点存在定理可知，存在，使得．

当时，，此时函数单调递减，故，不合题意．

综上所述，．

（2）证明：要证，只需证，

即证，

即证，

即证（此时），

由（1）可知当时，函数在上恒为增函数，所以即证，

不妨令，其中，则．

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

故，即，

所以原结论得证．