2023长沙雅礼中学高三上学期月考试卷（二）数学含解析

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本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,时量120分钟，满分150分.
第I卷
一、选择题:本题共8小题 ,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合, 则
A. (0,2)B. [0,2]C. [-1,4)D. [-1,2]
2. 在平面直角坐标系中, 以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为
A. B.
C. D.
3．Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Lgistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为
A．60B．63C．66D．69
4．在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是
A．B．C．D．
5. 已知圆锥的母线长为 2 , 轴截面顶角的正弦值是, 过圆锥的母线作截面,则截面面积的最大值是
A. 1 B. C. 1 或 2 D. 2
6. 设函数, 若为函数的一个极值点, 则下列图象不可能为的图象的是
7. 已知分别是双曲线的左、右焦点, 过的直线与双曲线的左支相交于、两点, 且. 若, 则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
8. 在棱长为 6 的正方体中,是的中点, 点是面内的动点, 且满足 , 则三棱锥体积的最大值是
A. B. 24C. D. 36
二、选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分,有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.关于统计数据的分析,有以下几个结论，其中正确的是
A.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高
B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后， 期望与方差均没有变化
C.调查剧院中观众观后感时,从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法
D.样本数据9,3,5,7,12,13,1,8,10,18的第80百分位数是12.5
10．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有
A．B．
C．D．
11. 已知函数, 则下列结论正确的是
A. 是偶函数
B. 在区间单调递㖪
C. 的周期是
D. 的最大值为 2
12. 下列不等关系正确的是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 已知且, 则的夹角是_____.
14. 已知函数(为常数)为奇函数, 且为增函数, 则实数的取值范围是_____.
15. 已知抛物线, 直线与相交于两点, 若使, 则 _____.
16. 已知三角形数表:
现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列，记此数列的前项和为.若，则的最小值是_____.
四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
已知,抛物线与轴正半轴相交于点.设为该拋物线在点处的切线在轴上的截距.
(1)求数列的通项公式;
(2) 设, 求证: （且）.
18.（本小题满分 12 分)
在中, 角的对边分别为, 若.
(1) 求证: ;
(2) 对, 请你给出一个的值, 使不等式成立或不成立,并证明你的结论.
19. (本小题满分 12 分)
如图 1, 在中,是边的中点. 现把沿折成如图 2所示的三棱锥, 使得
(1)求证: 平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
20. (本小题满分 12 分)
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级．
现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令，
则是对两次排序的偏离程度的一种描述．
(1)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，写出的可能值集合，并求的分布列；
(2)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，
①试按(1)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．
21. (本小题满分 12 分)
已知是圆上的任意一点, 线段的垂直平分线交于点.
(1) 求动点的轨迹的方程;
(2) 设交轨迹于另两点. 记和的面积分别为. 求的取值范围.
22. (本小题满分 12 分)
已知函数 (为正有理数).
(1) 求函数的单调区间;
(2) 证明: 当时,.