三角函数4三角函数求锐角和特殊角学案-无答案

由三角函数求锐角和特殊角的三角函数

一、教学目的

1.经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.

2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算.

3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.

使学生理

角三角形        4、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、

5、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

重点与难点：

重点：直角三角形的解法．

难点：用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

用计算器由已知三角函数值求锐角.

能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.

二、知识梳理

已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角a 吗？

变：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α（如图）。

你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？

二、新课

1、像这样，在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，

叫做解直角三角形.

在三角形中共有几个元素？

直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

(1)三边之间关系：a2  +b2  =c2 (勾股定理)

(2)锐角之间关系∠A+∠B=90°．

(3)边角之间关系

三、典例精讲

由三角函数求锐角

一、   复习特殊角的三角函数值。

       三角函数值的逆运算的复习。（用相似稍微说明锐角的唯一性）

二、   引入：

若不是特殊角呢？比如32°

sin32°你知道是多少吗？（计算器）

练习： (1)sin56°；(2)sin15°49′； (3)cos20°；(4)tan29°； (5)tan44°59′59″；

(6)sin15°+cos61°+tan76°.

(1)≈0.8290； (2)≈0.2726； (3)≈0.9397；

(4)≈0.5543； (5)″≈1.0000；

(6)≈0.2588+0.4848+4.0108=4.7544.

(1)sin15°+sin25°＝sin40°(2)cos20°+cos26°=cos46°(3)tan25°+tan15°＝tan40°

(1)sin15°+sin25°≈0.2588+0.4226＝0.6814；

sin40°≈0.6428，∴sin15°+sin25°≠sin40°；

 (2)cos20°+cos26°≈0.9397+0.8988＝1.8385。

cos46°≈0.6947，∴cos20°+cos26°≠cos46°；

 (3)tan25°+tan15°≈0.4663+0.2679＝0.7342，

tan40°≈0.8391，∴tan25°+tan15°≠tan40°.

应用：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠a＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少?

sin16°=,

∴BC＝ABsin16°＝200 sin16°(米).

反之，若已知sinA=0.1234，你知道∠A的值是多少吗？

学习计算器求锐角：

练习：

已知sinA=0.9816，求锐角A，已知cosA＝0.8607，求锐角A；

已知tanA=0.1890，求锐角A；已知tanA＝56.78，求锐角A.

练习：根据下列条件求锐角θ的大小：

(1)  tanθ＝2.9888；(2)sinθ=0.3957；（3）cosθ＝0.7850；(4)tanθ＝0.8972；

(5)sinθ＝；(6)cosθ＝； (7)tanθ=；

经典例题：

1、如图,为了方便行人，市政府在10m高的天桥.两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?

2、如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.

2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到10 ).

3.如图,一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效,并且防止伤害器官,射线必需从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3cm的A处,射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体,求射线的入射角度.

.

三、随堂练习：

1、图中的螺旋形由一系列直角三角形组成.每个三角形都不得是以点O为一顶点.

(1)求∠A0OA1,∠A1OA2,∠A2OA3,的大小.

(2)已知∠An-1OAn,是一个小于200的角,求n的值.

2、如图,物华大厦离小伟家60m,小伟从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶部仰角是45o ,而大厦底部的俯角是37o ,求该大厦的的高度(结果精确到0.1m).

由三角函数求锐角练习

特殊角的三角函数

例1在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B, ∠C的对边.解下列直角三角形

(1)  已知a=3,b=3,                   (2)已知c=8,b=4,               (3)已知c=8,∠A=450,

强调与说明：解直角三角形，只有下面两种情况：

  （1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角   （两个已知元素中至少有一条边）

问题分类：

解直角三角形：(如图)

在⊿ABC中，∠C=900，

（1）.已知a,b.解直角三角形(即求：∠A，∠B及C边)

（2）. 已知∠A，a.解直角三角形

（3）.已知∠A，b. 解直角三角形

（4） 已知∠A，c. 解直角三角形

例2 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10米，∠A=26º,求中柱BC（C为底边中点）和上弦AB的长（精确到0.01米）tan26º=0.4877,cos26º=0.8988)

例3  为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52º,已知人的高度是1.72米，求树高（精确到0.01米）（tg52º=1.2799）

练习

A类1、在下列直角三角形中不能求解的是（  ）

A、已知一直角边一锐角           B、已知一斜边一锐角

C、已知两边                     D、已知两角

2. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90，b=2√3,c=4.

求:(1)a=                 (2) ∠B=               ∠A=

3   解直角三角形在Rt△ABC中

B类4：在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=50 °，AB=3。求∠B和a，b（边长保留2个有效数字）

5：（引入题中）已知平顶屋面的宽度L为10m，坡顶的设计高度h为3.5m，（或设计倾角a ）（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角a。(长度精确到0.1米,角度精确到1度)

C类 5如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角a＝300测得点C的俯角    ＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．

（结果保留根号）

四、巩固练习

解直角三角形作业（一）

1、由下列条件解题：在Rt△ABC中，∠C=90°：

（1）已知a=4，b=8，求c．

（2）已知b=10，∠B=60°，求a，c．

（3）已知c=20，∠A=60°，求a，b．

2、已知等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求顶角∠A的四种三角函数值．

3、在△ABC中，∠C＝90°，，求∠A、∠B、c边.

解直角三角形作业（二）

1、一坡面的坡角为600，则坡度i=            ；

2、在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，b=，则a=        ，c=         ；

3、已知在直角梯形ABCD中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=，则底角∠B=     ；

4、若∠A是锐角，且cosA=，则cos（900-A）=            ；

5、如图，塔AB和楼CD的水平距离为80m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为450和600，试求塔高和楼高。

6、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修一条笔直的公路，经测量在A地北偏东600方向，B地北偏西450方向的C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？

解直角三角形作业（三）

1、若∠A是锐角，且cosA=sinA，则∠A的度数是（      ）

  A、300         B、450        C、600        D、不能确定

2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD的长为（    ）

  A、        B、           C、         D、

3、在Rt△ABC中，∠C=900，AB=2AC，在BC上取一点D，使AC=CD，则CD：BD=（     ）

  A、        B、         C、         D、不能确定

4、在Rt△ABC中，∠C=900，AC=1，sinA=，求tanA，BC。

5、在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AB=，AC=BC=，求AD的长。

6、某市为加固长90米，高30米，坝顶宽为6米，迎水坡和背水坡都是1：1的横断面是梯形的防洪大坝，要将大坝加高2米，背水坡坡度改为1：1.5，已知坝顶宽不变，求大坝横截面积增加多少平方米。

五、拓展提升

一、选择题（每题5分，共25分）

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列结论成立的是（     ）

A、c=a·sinA　  B、b=c·cosA    C、b=a·tanA    D、a=c·cosA

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9．sin∠B=,则AB=（    ）

A．15            B．12                C．9                D．6

3．已知∠A是锐角，sinA=，则5cosA=（ ）

A．      B．        C．        D．

5． 在△ABC中，∠B=45°, cosC=,   AC=5a, 则△ABC的 面积用a的式子表示是（   ）

    A、10a2                 B、12 a2              C 、13a2          D、14a2

二、填空题（每题5分，共25分）

6．在Rt△ABC中∠C=90°，c=2，∠B=30°，则∠A=______，a=______，b=______.

7．已知△ABC中，∠C=90°， 3 cosB=2, AC=2,  则AB=___________.

8．已知一元二次方程3x2-13x＋4=0的解分别是Rt△ABC的一直角边长和∠A的正弦值，∠C=90°, 则AC= ____.

9．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N 两点关

于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN=    ．

10．（常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanB=       ，sinA=        。

三、解答题（每题10分，共50分）

11．在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：

（1）b=，c=4；            （2）b=7，∠A=45°；            （3）a=24，b=.

12．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=15，求△ABC的周长和tanA的值

13．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a+b=，解这个直角三角形.

14．（山东菏泽）如图，在△ABC中，∠C＝90º，∠A＝30º，BD是∠ABC的平分线，

CD＝5cm，求AB的长．

15．（青岛）

小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）

（参考数据：）

解：

六、课后总结

通过本节课的学习，你有什么收获？