专题8锐角三角函数实际应用题学案

专题八　锐角三角函数的实际应用

类型1　仰角、俯角问题

1．(2019内江改编)如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为43°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？(结果保留小数点后一位．参考数据：sin 43°≈0.64，cos 43°≈0.73，           tan 43°≈0.93，≈1.73)

2．如图，小明在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100 m，若热气球以10 m/s的速度竖直下落，求热气球落到地面所需的时间．(结果保留整数．参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)

3．(2019河南二模)郑州大学(Zhengzhou University)，简称“郑大”，是中华人民共和国教育部与河南省人民政府共建的全国重点大学，首批“双一流”世界一流大学、“211工程”．某学校兴趣小组3人来到郑州大学门口进行测量，如图，在某建筑物AC的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡DE＝4米，∠DBE＝90°，坡角∠DEB＝41°，小红在斜坡下的点E处测得楼顶A的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶A的仰角为45°，其中点B，C，E在同一直线上，求建筑物AC的高度．(结果精确到整数．参考数据：≈1.73，sin 41°≈0.6，cos 41°≈0.75，tan 41°≈0.87)

类型2　方向角问题

4．如图，一轮船向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东42°方向，航行30海里到达B处，测得灯塔C在南偏东60°方向，求B处与灯塔C的距离BC．(结果保留1位小数．参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，≈1.73)

5．如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处，甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东63°方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发，求出发后几小时乙船在甲船的正东方向？(结果精确到0.1小时．参考数据：sin 63°≈0.89，cos 63°≈0.45，tan 63°≈1.96，≈1.41)

类型3　坡度、坡角问题

6．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m，扶梯AB的坡度i＝1∶.改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27)

类型4　其他问题

7．如图①，②所示分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A，H，F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.5米，EF段与地面垂直，HE段与地面平行，篮板底部支架HE的长为0.75米．求篮板顶端F到地面的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：cos 75°≈0.259，           sin 75°≈0.966，tan 75°≈3.732，≈1.732，≈1.414)

图①              图②

8．(2019宿迁)宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，车轮半径为32 cm，∠BCD＝64°，BC＝60 cm，坐垫E与点B的距离BE为15 cm.

(1)求坐垫E到地面的距离；

(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80 cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长．

(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05)

图①                 图②

参考答案

1．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E.

易得四边形ADCE为矩形，∴AE＝CD.

设AE＝CD＝x.

在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，tan∠BAE＝，

∴BE＝AE·tan 30°＝x≈0.58x.

在Rt△ACE中，∠EAC＝43°，tan∠EAC＝，∴CE＝AE·tan 43°≈0.93x.

∵BC＝BE＋CE＝120，

∴0.58x＋0.93x≈120.解得x≈79.5.

∴CD≈79.5.

答：这两座建筑物的地面距离CD约为79.5米．

2．解：如图，作AD⊥BC交CB的延长线于点D，设AD＝x.

由题意得∠ABD＝45°，∠ACD＝35°.

在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴DB＝AD＝x.

∴DC＝DB＋BC＝x＋100.

在Rt△ADC中，∠ACD＝35°，tan∠ACD＝.

∴≈0.70，解得x≈.

∴÷10≈23(s)．

答：热气球落到地面所需的时间约为23 s.

3．解：如图，过点D作DF⊥AC于点F.

由题意知四边形CBDF为矩形，CF＝BD，BC＝DF.

设CE＝x.

在Rt△DEB中，∠DEB＝41°，sin∠DEB＝，

∴DB＝DE·sin∠DEB≈4×0.6＝2.4.

∵cos∠DEB＝，

∴BE＝DE·cos∠DEB≈4×0.75＝3.

在Rt△AEC中，∠AEC＝60°，tan∠AEC＝，

∴AC＝CE·tan∠AEC＝x.

在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴FA＝FD，即AC－CF＝CE＋BE.

∴x－2.4＝x＋3.解得x＝.

∴AC＝x≈13.

答：建筑物AC的高度约为13米．

4．解：如图，过C作CH⊥AB于H.

根据题意，得∠BAC＝42°，∠ABC＝60°.

设BH＝x，

在Rt△BCH中，∠CBH＝60°，cos∠CBH＝，tan∠CBH＝，

即cos 60°＝＝，tan 60°＝＝，

∴BC＝2x，CH＝x.

在Rt△ACH中，∠CAH＝42°，tan∠CAH＝，

即tan 42°＝≈0.90，解得x≈10.27，

∴BC＝2x≈20.5.

答：B处与灯塔C的距离BC的长度约为20.5海里．

5．解：设出发后x小时乙船在甲船的正东方向．如图，设此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处，连接CD，过点P作PE⊥CD，垂足为点E，则点E在点P的正南方向．

由题可知PC＝AD－AC＝81－9x，PD＝18x.

在Rt△CEP中，∠CPE＝45°，

∴PE＝PC·cos 45°＝(81－9x)．

在Rt△PED中，∠EPD＝63°，

∴PE＝PD·cos 63°≈18x×0.45＝8.1x.

∴(81－9x)＝8.1x.解得x≈4.0.

答：出发后约4.0小时乙船在甲船的正东方向．

6．解：∵扶梯AB的坡度i＝1∶，∴AD∶DB＝1∶，即DB＝AD.

在Rt△ADB中，AD2＋DB2＝AB2，∴AD2＋3AD2＝102.

解得AD＝5(负值舍去)．

在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，∴AC＝≈≈19.2(m)．

答：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2 m.

7．解：如图，延长FE交CB的延长线于点M，过点A作AG⊥FM于点G.

由题意可得四边形ABMG为矩形，

∴AB＝MG.

在Rt△FHE中，cos∠FHE＝＝，

∴∠FHE＝60°.

在Rt△ABC中，∠ACB＝75°，tan∠ACB＝，

∴GM＝AB＝BC·tan 75°.

在Rt△AGF中，∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，AF＝AH＋HF＝2.50(米)．

∴FG＝AF·sin 60°.

∴FM＝GM＋FG≈0.6×3.732＋2.5×≈4.4(米)．

答：篮板顶端F到地面的距离约是4.4米．

8．解：(1)如图，过点E作EM⊥CD于点M.

由题意知∠BCM＝64°，EC＝BC＋BE＝60＋15＝75(cm)，

在Rt△EMC中，sin∠ECM＝，

∴EM＝EC·sin∠ECM＝75×sin 64°≈67.5(cm)．

∴坐垫E到地面的高度为67.5＋32＝99.5(cm)．

答：坐垫E到地面的距离约为99.5 cm.

(2)如图，过点E′作E′H⊥CD于点H.

由题意知E′H＝80×0.8＝64(cm)，

在Rt△E′MC中，∠E′CM＝64°，sin∠E′CM＝，

∴E′C＝＝≈71.1(cm)．

∴EE′＝EC－E′C＝75－71.1＝3.9(cm)．

答：EE′的长约为3.9 cm.