高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第一课时导学案

正弦函数、余弦函数的性质

第一课时　正、余弦函数的周期性与奇偶性

①盛夏到来，天气异常炎热．随着人民生活水平的提高，外出旅游，消夏避暑成为人们生活的一种常态．当我们来到内蒙古大草原，顿时感到心旷神怡，精神焕发，密密麻麻的风力发电机成为一道靓丽的风景．风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动，这种周而复始的转动就是周期现象．

②

[问题]　(1)你能用数学语言刻画出函数的周期性吗？

(2)从它们的图象上你能得到哪些信息？

知识点一　函数的周期性

1．周期函数

一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

1．对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求．

2．形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函数的周期常用公式T＝来求．　　　　

是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？

提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．

1．函数f(x)＝2cos 2x的最小正周期是(　　)

A.　　　　　 B.

C．π  D．2π

答案：C

2．若函数f(x)的周期3，且f(1)＝－2，则f(7)＝________．

答案：－2

知识点二　正、余弦函数的周期性和奇偶性

对正、余弦函数奇偶性的再理解

因为sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，所以正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称．

正、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)由于sin＝sin ，则是正弦函数y＝sin x的一个周期．(　　)

(2)函数y＝3sin 2x是奇函数．(　　)

(3)函数y＝－cos x是偶函数．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

2．函数f(x)＝2sin是(　　)

A．T＝2π的奇函数　　 B．T＝2π的偶函数

C．T＝π的奇函数  D．T＝π的偶函数

答案：B

3．函数f(x)＝sin xcos x是________(填“奇”或“偶”)函数．

答案：奇

[例1]　(链接教科书第201页例2)求下列函数的最小正周期：

(1)ƒ(x)＝cos；

(2)ƒ(x)＝|sin x|.

[解]　(1)法一(定义法)：∵ƒ(x)＝cos

＝cos

＝cos

＝ƒ(x＋π)，

即ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，

∴函数ƒ(x)＝cos的最小正周期T＝π.

法二(公式法)：∵y＝cos，∴ω＝2.

又T＝＝＝π.

∴函数ƒ(x)＝cos的最小正周期T＝π.

(2)法一(定义法)：∵ƒ(x)＝|sin x|,

∴ƒ(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝ƒ(x)，

∴ƒ(x)的最小正周期为π.

法二(图象法)：∵函数y＝|sin x|的图象如图所示．

由图象可知最小正周期T＝π.

求三角函数的周期的方法

(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；

(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用T＝来求；

(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．　　　　

[跟踪训练]

1．函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B．π

C．2π  D．4π

解析：选D　函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝4π.

2．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值为________．

解析：∵k>0，∴T＝≤2，即k≥4π，∴正整数k的最小值是13.

答案：13

[例2]　(链接教科书第203页练习3题)判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝cos＋x2sin x；

(2)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x；

(3)f(x)＝＋.

[解]　(1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．

(2)函数的定义域为R，关于原点对称，

∵f(x)＝cos x－x3·sin x，

∴f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x)

＝cos x－x3·sin x＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(3)由得cos x＝，此时f(x)＝0，f(x)的定义域为，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

判断函数奇偶性的方法

[跟踪训练]

判断下列函数的奇偶性：

(1)ƒ(x)＝x2cos；

(2)ƒ(x)＝sin(cos x)．

解：(1)函数ƒ(x)的定义域为R，

∵f(x)＝x2cos＝－x2sin x，

∴f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sin x＝－f(x)，

∴ƒ(x)为奇函数．

(2)函数ƒ(x)的定义域为R，

∴ƒ(－x)＝sin＝sin(cos x)＝ƒ(x)，

∴ƒ(x)为偶函数．

[例3]　(链接教科书第203页练习4题)定义在R上的函数ƒ(x)既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x)的最小正周期是π，且当x∈时，ƒ(x)＝sin x，求ƒ的值．

[解]　∵ƒ(x)的最小正周期是π，

∴ƒ＝ƒ＝ƒ.

∵ƒ(x)是R上的偶函数，

∴ƒ＝ƒ＝sin＝.

∴ƒ＝.

[母题探究]

1．(变条件)若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ的值．

解：ƒ＝ƒ＝－ƒ＝－sin＝－.

2．(变设问)若本例条件不变，求ƒ的值．

解：ƒ＝ƒ＝ƒ

＝ƒ＝sin ＝.

1．解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．

2．推得函数周期的若干形式：

(1)若f(x＋t)＝f(x)，则函数周期为t；

(2)若f(x＋t)＝－f(x)，则函数周期为2t；

(3)若f(x＋t)＝，则函数周期为2t；

(4)若f(x＋t)＝－，则函数周期为2t.　　　　

[跟踪训练]

1．下列函数中是奇函数，且最小正周期为π的函数是(　　)

A．y＝cos|2x|  B．y＝|sin 2x|

C．y＝sin  D．y＝cos

解析：选D　y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.

2．函数ƒ(x)为偶函数且ƒ＝－ƒ(x)，ƒ＝1，则ƒ＝________．

解析：∵ƒ＝－ƒ(x)，∴ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，即T＝π，ƒ＝ƒ＝ƒ＝ƒ＝1.

答案：1

正弦函数图象对称性问题探究(探究型)

1．下列图案中，哪些是轴对称图形？(①②⑤⑥⑦)哪些是中心对称图形？(③④⑥)有没有既是轴对称又是中心对称的图形？(⑥)

2．正弦函数的图象如下图．利用图象探索正弦函数图象的对称性．

[问题探究]

1．正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由．

提示：由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形，有无数条对称轴，经过最高点或最低点且与x轴垂直的直线都是它的对称轴，对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.

2．正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，如果没有，请说明理由．

提示：由正弦函数的图象可以看出，它也是中心对称图形，有无数个对称中心，图象与x轴的交点都是它的对称中心，对称中心坐标为(kπ，0)，k∈Z.

3．画出函数y＝sin |x|的图象，并利用图象说明它的对称性．

提示：由图象可知，函数y＝sin |x|的图象是轴对称图形，对称轴为y轴，它不是中心对称图形．

[迁移应用]

1．求函数y＝2sin的对称轴方程及对称中心坐标．

解：由x－＝＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝π＋kπ，k∈Z.由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，∴对称中心坐标为，k∈Z.

2．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，那么a的值是多少？

解：∵函数的图象关于直线x＝－对称，

∴f(0)＝f，

即sin 0＋acos 0＝sin＋acos，

∴a＝－1.

1．函数f(x)＝sin(－x)是(　　)

A．奇函数　　　　　　　　 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数  D．非奇非偶函数

解析：选A　由于x∈R，

且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

2．函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，则ω等于(　　)

A．5  B．10

C．15  D．20

解析：选B　由题意知T＝＝，所以ω＝10.

3．(多选)下列函数中，周期为2π的是(　　)

A．y＝cos   B．y＝cos

C．y＝  D．y＝|cos 2x|

解析：选BC　y＝cos 的周期为T＝＝4π；

y＝cos的周期为T＝2π；

y＝的周期为T＝2π；

y＝|cos 2x|的周期为T＝.故选B、C.

4．若函数f(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称，则a＝________．

解析：∵f(x)的图象关于直线x＝对称，

∴f(0)＝f，即a＝sin ＋acos ，∴a＝.

答案：

5．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．

解析：因为f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0.

答案：0