2020年北京市中考数学试卷含答案

这是一份2020年北京市中考数学试卷含答案，共12页。
-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------
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2020年北京市高级中等学校招生考试
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
数学
考生须知：
1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟.
2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1.如图是某几何体的三视图，该几何体是 （　　）

A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体
2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36 000用科学记数法表示应为 （　　）
A. B. C. D.
3.如图，和相交于点，则下列结论正确的是 （　　）

A. B. C. D.
4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是 （　　）




A
B
C
D
5.正五边形的外角和为 （　　）
A.180° B.360° C.540° D.720°
6.实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是
（　　）

A.2 B. C. D.
7.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是 （　　）
A. B. C. D.
8.有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是 （　　）

A.正比例函数关系 B.一次函数关系
C.二次函数关系 D.反比例函数关系
二、填空题（本题16分，每小题2分）
9.若代数式有意义，则实数的取值范围是________．
10.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是________．
11.写出一个比大且比小的整数________．
12.方程组的解为________．
13.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点．若点的纵坐标分别为，则的值为________．
14.如图在中，，点在上（不与点重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）.

15.如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：________（填“＞”，“＝”或“＜”）.

16.下图是某剧场第一排座位分布图：

甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买
到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序________．
三、解答题（本题共68分，第17~20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23~24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算：.
18.解不等式组：
19.已知，求代数式的值．
20.已知：如图，为锐角三角形，，．

求作：线段，使得点在直线上，
且.
作法：①以点为圆心，长为半径画圆，交直线于，两点；
②连接．
线段就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：，
=________.
，
点在上，
又点都在上，
（________）（填推理的依据）.
.
21.如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点在上，，．
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________


（1）求证：四边形是矩形；
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（2）若，，求和的长．
22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
23.如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
24.小云在学习过程中遇到一个函数．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，
对于函数，即，当时，随的增大而________，且；对于函数，当时，随的增大而________，且；
结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而________．
（2）当时，
对于函数，当时，与的几组对应值如下表：

0

1

2

3
…

0



1


…
综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．

（3）过点作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是________．
25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：
.小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：

.小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：
时段
1日至10日
11日至20日
21日至30日
平均数
100
170
250
（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为________（结果取整数）；
（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的________倍（结果保留小数点后一位）；
（3）记该小区5月1日至10日厨余垃圾分出量的方差为，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为．直接写出的大小关系．
26.在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中．
（1）若抛物线的对称轴为，当为何值时，；
（2）设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围．
27.在中，，，是的中点．为直线上一动点，连接，过点作，交直线于点，连接．

（1）如图1，当是线段的中点时，设，，求的长（用含的式子表示）；
（2）当点在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28.在平面直角坐标系中，的半径为1，为外两点，．
给出如下定义：平移线段，得到的弦（分别为点的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”.
（1）如图，平移线段得到的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是________；在点中，连接点与点________的线段的长度等于线段到的“平移距离”；

（2）若点都在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若点的坐标为，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围.









2020年北京市高级中等学校招生考试
数学答案解析
一、
1.【答案】D
【解析】长方体的三视图都是长方形，故选D.
【考点】几何体的三视图
2.【答案】C
【解析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．当原数绝对值大于1时，是正数；当原数绝对值小于1时，是负数．
解：，故选：C．
【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
3.【答案】A
【解析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B选项为，
C选项为，
D选项为．
故选：A．
【考点】三角形的外角性质，对顶角性质
4.【答案】D
【解析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．
解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项错误；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确．
故选：D．
【考点】中心对称图形的定义，轴对称图形的定义
5.【答案】B
【解析】任意多边形的外角和都为360°，与边数无关，故选：B．
【考点】多边形的外角和定理
6.【答案】B
【解析】先根据数轴的定义得出的取值范围，从而可得出的取值范围，由此即可得．
由数轴的定义得：


又
到原点的距离一定小于2
观察四个选项，只有选项B符合
故选：B．
【考点】数轴的定义
7.【答案】C
【解析】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．
解：画树状图如下：

所以共4种情况：其中满足题意的有两种，
所以两次记录的数字之和为3的概率是
故选C．
【考点】画树状图求解概率
8.【答案】B
【解析】设水面高度为，注水时间为分钟，根据题意写出与的函数关系式，从而可得答案．
【详解】解：设水面高度为注水时间为分钟，
则由题意得：，
所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，
故选B．
【考点】列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系
二、
9.【答案】
【解析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
解：代数式有意义，分母不能为0，可得，即，故答案为：.
【考点】分式有意义的条件
10.【答案】1
【解析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．
解：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式，
，
解得：．
故答案为：1
【考点】一元二次方程根的判别式
11.【答案】2（或3）
【解析】先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案．
解：，，
比大且比小的整数是2或3．
故答案为：2（或3）
【考点】实数的大小比较，无理数的估算的知识
12.【答案】
【解析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
解：两个方程相加可得，
，
将代入，
可得，
故答案为：．
【考点】二元一次方程组
13.【答案】0
【解析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
解：正比例函数和反比例函数均关于坐标原点对称，
正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
，
故答案为：0.
【考点】正比例函数和反比例函数的图像性质
14.【答案】（或）
【解析】证明，已经具备，根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案．
解：，
要使，
则可以添加：，
此时利用边角边判定：，
或可以添加：，
此时利用边边边判定：，
故答案为：（或）.
【考点】三角形全等的判定
15.【答案】
【解析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．
解：如下图所示，设小正方形网格的边长为1个单位，

由网格图可得个平方单位，
，
故有.
故答案为：“”
【考点】三角形的面积公式
16.【答案】丙，丁，甲，乙
【解析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可．
解：丙先选择：1，2，3，4．
丁选：5，7，9，11，13．
甲选：6，8．
乙选：10，12，14．
顺序为丙，丁，甲，乙．
（答案不唯一）
【考点】有理数的加法
三、
17.【答案】解：原式

.
【解析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．具体解题过程参照答案.
【考点】负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，合并同类二次根式
18.【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
此不等式组的解集为．
【解析】分别解每一个不等式，然后即可得出解集．解题过程参照答案.
【考点】一元一次不等式组
【考查能力】推理，空间观念与几何直观
19.【答案】解：原式=

，
，
，
原式=.
【解析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把变形后，整体代入求值即可．具体解题过程参照答案.
【考点】整式化简求值
20.【答案】（1）解：依据作图提示作图如下：

（2），在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
证明：，
=________________．
，
点在上，
又（在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．）（填推理依据）
.
故答案为：；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
【解析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；具体解题过程参照答案.
（2）利用平行线的性质证明：，再利用圆的性质得到：，从而可得答案．具体解题过程参照答案.
【考点】作图，平行线的性质，圆的基本性质
21.【答案】（1）四边形为菱形，
点为中点，
点为中点，
为的中位线，


四边形为平行四边形

平行四边形为矩形
（2）点为中点，

，
在中，
四边形为菱形


四边形为矩形

．
【解析】（1）根据菱形的性质得到，，得到，推出，求得四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论.具体解题过程参照答案.
（2）根据菱形的性质得到，，得到；由（1）知，四边形是矩形，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论.具体证明过程参照答案.
【考点】矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质
22.【答案】（1）一次函数由平移得到，
，
将点代入可得，
一次函数的解析式为；
（2）当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知：

临界值为当时，两条直线都过点，
当时，都大于，
又，
可取值2，即，
的取值范围为.
【解析】（1）根据一次函数由平移得到可得出k值，然后将点代入可得值即可求出解析式.具体解题过程参照答案.
（2）由题意可得临界值为当时，两条直线都过点，即可得出当时，都大于，根据，可得可取值2，可得出的取值范围．具体解题过程参照答案.
【考点】求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像
23.【答案】（1）解：连接，

为的直径，
，
，
，
，
，
是的切线，D为切点，
，
,
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的性质得到，等量代换即可得到结论.具体解题过程参照答案.
（2）根据三角形中位线定理得到,设，根据相似三角形的性质即可得到结论．具体解题过程参照答案.
【考点】切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质
24.【答案】（1）减小
减小
减小
根据题意，在函数中，
，
函数在中，随的增大而减小；
，
对称轴为：，
在中，随的增大而减小；
综合上述，在中，随的增大而减小；
故答案为：减小，减小，减小；
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：

（3）
由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值；
由（1）可知在中，随的增大而减小；
在中，有
当时，，
的最大值为；
故答案为：．
【解析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案.具体解题过程参照答案.
（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像.具体解题过程参照答案.
（3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．具体解题过程参照答案.
【考查能力】二次函数的性质，一次函数的性质，函数的最值问题
25.【答案】（1）173
平均数：（千克）；
故答案为：173；
（2）倍
倍；
故答案为：；
（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，
所以从图中可知：；
【解析】（1）利用加权平均数的计算公式进行计算，即可得到答案.具体解题过程参照答案.
（2）利用5月份的平均数除以4月份的平均数，即可得到答案.具体证明过程参照答案.
（3）直接利用点状图和方差的意义进行分析，即可得到答案.具体解题过程参照答案.
【考点】方差的意义，平均数，数据的分析处理
26.【答案】（1）解：（1）当时，，
即抛物线必过，
，抛物线的对称轴为，
点关于对称，
又，
；
（2）由题意知，，
抛物线开口向上
抛物线的对称轴为，
情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立
情况2：当都位于对称轴左侧时，即时，恒不成立
情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即
解得，
，
.
综上所述，．
【解析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过，因为，抛物线的对称轴为，可得点关于对称，从而得到的值.具体解题过程参照答案.
（2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，分别求出对应的值，再进行总结即可．
【考点】二次函数图象的性质
27.【答案】（1）是的中点，是线段的中点，
为的中位线





四边形为矩形．
，
，
，
．
故答案为：．
（2）过点作的平行线交延长线于点，连接，如下图所示：

，
，，
是的中点，
，
，
，，
，
是线段的垂直平分线，
，
，，
，
在中，，
．
故答案为：．
【解析】（1）由三角形中位线定理得到，，再在中由勾股定理即可求解.具体解题过程参照答案.
（2）先证明，由此得到是的垂直平分线，进而，最后在中由勾股定理即可求得．具体解题过程参照答案.
【考点】三角形中位线定理，勾股定理，三角形全等的性质和判定
28.【答案】（1）平行

（2）如图，线段在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为，，过点作于点，交弦于点，，令，直线与轴交点为，直线与轴夹角为，．
由垂径定理得：，
；

（3）线段的位置变换，可以看作是以点为圆心，半径为1的圆，只需在内找到与之平行，且长度为1的弦即可；
点到的距离为．
如图，平移距离的最小值即点到的最小值：；

平移距离的最大值线段是下图的情况，即当关于对称，且且时.，则，
，
,

的取值范围为：．
【解析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；
（2）过点作于点，交弦于点，分别求出的长，由得到的最小值；具体解题过程参照答案.
（3）线段的位置变换，可以看作是以点为圆心，半径为1的圆，只需在内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离的最大值即点点的位置，由此得出的取值范围．具体解题过程参照答案.
【考点】圆的基本性质，一次函数的综合运用