2018年北京市中考数学试卷含答案

这是一份2018年北京市中考数学试卷含答案，共14页。试卷主要包含了下列几何体中,是圆柱的为，方程式的解为，如果,那么代数式的值为等内容，欢迎下载使用。
-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
绝密★启用前
北京市2018年高级中等学校招生考试
毕业学校_____________姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
数学
本试卷满分150分,考试时间120分钟.
一、 选择题（本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1.下列几何体中,是圆柱的为 （　　）




A
B
C
D
2.实数,,在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是 （　　）
A. B. C. D.
3.方程式的解为 （　　）
A. B. C. D.
4.被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。已知每个标准足球场的面积为7140m2,则FAST的反射面总面积约为 （　　）
A. B. C. D.
5.若正多边形的一个外角是,则该正多边形的内角和为 （　　）
A. B. C. D.
6.如果,那么代数式的值为 （　　）
A. B. C. D.
7.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系.下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为
（　　）
A.10m B.15m C.20m D.22.5m
（第7题图） （第8题图）
8.上图是老北京城一些地点的分布示意图。在图中,分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系,有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为,表示广安门的点的坐标为时,表示左安门的点的坐标为；
②当表示天安门的点的坐标为,表示广安门的点的坐标为时,表示左安门的点的坐标为；
③当表示天安门的点的坐标为,表示广安门的点的坐标为时,表示左安门的点的坐标为；
④当表示天安门的点的坐标为,表示广安门的点的坐标为时,表示左安门的点的坐标为。
上述结论中,所有正确结论的序号是 （　　）
A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②③④

二、填空题（本大题共8小题,每小题2分,共16分.把答案填写在题中的横线上）
9.右图所示的网络是正方形网格,　　　　。（填“＞”,“＝”或“＜”）



10.若在实数范围内有意义,则实数的取值范围是　　　　。
11.用一组,,的值说明命题“若,则”是错误的,这组值可以是　　　　,　　　　,　　　　。
12.如图,点,,,在⊙上,,,,则　　　　。
（第12题图） （第13题图）
13.如图,在矩形中,是边的中点,连接交对角线于点,若,,则的长为　　　　。
14.从甲地到乙地有A,B,C三条不同的公交线路。为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况,在每条线路上随机选取了500个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：





合计
A
59
151
166
124
500
B
50
50
122
278
500
C
45
265
167
23
500
早高峰期间,乘坐　　　　（填“A”,“B”或“C”）线路上的公交车,从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大。

15.某公园划船项目收费标准如下：
船型
两人船
（限乘两人）
四人船
（限乘四人）
六人船
（限乘六人）
八人船
（限乘八人）
每船租金（元/小时）
90
100
130
150
某班18名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为1小时,则租船的总费用最低为　　　　元。
16.2017年,部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示,中国创新综合排名全球第22,创新效率排名全球第　　　　。

三、解答题（本大题共12小题,共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分5分）
下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程。
已知：直线及直线外一点。
求作：直线，使得∥。
作法：如图，
①在直线上取一点，作射线以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点；
②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
画弧，交BC的延长线于点；
③作直线。所以直线就是所求作的直线。
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
毕业学校_____________姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
（2）完成下面的证明。
证明：　　　　，　　　　，
（　　　　　　　　）（填推理的依据）。



18.（本小题满分5分）
计算.



19.（本小题满分5分）
解不等式组：.


20.（本小题满分5分）
关于的一元二次方程.
（1）当时,利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的,的值,并求此时方程的根.



21.（本小题满分5分）
如图,在四边形中,,,对角线,交于点,平分,过点作交的延长线于点,连接.
（1）求证:四边形是菱形;
（2）若,,求的长.






22.（本小题满分5分）
如图,是的直径,过外一点作的两条切线,,切点分别为,,连接,.
（1）求证:;
（2）连接,,若,,,求的长.






23.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中,函数的图象经过点,直线与图象交于点,与轴交于点.
（1）求的值;
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象在点,之间的部分与线段,,围成的区域（不含边界）为.
①当时,直接写出区域内的整点个数;
②若区域内恰有4个整点,结合函数图象,求的取值范围





24.（本小题满分6分）
如图,是弦所围成的图形的内部的一定点,是弦上一动点,连接并延长交于点,连接.已知,设,两点间的距离为,,两点间的距离为,,两点间的距离为。
小腾根据学习函数的经验,分别对函数,,随自变量的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小腾的探究过程,请补充完整：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量,分别得到了,与的几组对应值;

0
1
2
3
4
5
6

5.62
4.67
3.76

2.65
3.18
4.37

5.62
5.59
5.53
5.42
5.19
4.73
4.11
（2）在同一平面直角坐标系中,描出补全后的表中各组数值所对应的点并画出函数,的图象;
（3）结合函数图象,解决问题:当为等腰三角形,的长度约为　　　　.






25.（本小题满分6分）
某年级共有300名学生.为了解该年级学生,两门课程的学习情况,从中随机抽取60名学生进行测试,获得了他们的成绩（百分制）,并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
毕业学校_____________姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
.课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：,,,,,）：
.课程成绩在这一组的是：
70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5
c.A,B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程
平均数
中位数
众数
A
75.8
m
84.5
B
72.2
70
83
-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
根据以上信息,回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在此次测试中,某学生的A课程成绩为76分,B课程成绩为71分,这名学生成绩排名更靠前的课程是　　　　（填“A”’或“B”）,理由是　　　　　　　　,
（3）假设该年级学生都参加此次测试,估计A课程成绩跑过75.8分的人数.


26.（本小题满分6分）
在平面直角坐标系中,直线y=4X+4与轴轴分别交于点,,抛物线经过点将点向右平移5个单位长度,得到点.
（1）求点的坐标;
（2）求抛物线的对称轴;
（3）若抛物线与线段恰有一个公共点,结合函数图象,求的取值范围

27.（本小题满分7分）
如图,在正方形中是边上的一动点（不与点,重合）,连接,点关于直线的对称点为,连接并延长交于点,连接,过点作交的延长线于点,连接.
（1）求证：;
（2）用等式表示线段与的数量关系,并证明.




28.（本小题满分7分）
对于平面直角坐标系元中的图形,,给出如下定义：为图形上任意一点为图形上任意一点,如果,两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形,间的"闭距离",记作.
已知点,,.
（1）求;
（2）记函数的图象为图形.若,直接写出的取值范围;
（3）的圆心为,半径为1.若,直接写出的取值范围.


北京市2018年高级中等学校招生考试
数学答案解析
1.【答案】A
【解析】解：A、此几何体是圆柱体；
B、此几何体是圆锥体；
C、此几何体是正方体；
D、此几何体是四棱锥；
故选：A．
【考点】立体图形
2.【答案】B
【解析】本题由图可知，a、b、c绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错．解：不正确；
又不正确；
又不正确；
又正确；
故选：B．
【考点】实数的绝对值及加减计算之间的关系
3.【答案】D
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可,解：
得：，即，
将代入①得：，
则方程组的解为；
故选：D．
【考点】解二元一次方程组
4.【答案】C
【解析】先计算FAST的反射面总面积，再根据科学记数法表示出来，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值是易错点，由于有6位，所以可以确定．
解：根据题意得：
故选：C．
【考点】科学记数法
5.【答案】C
【解析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解
解：该正多边形的边数为：，
该正多边形的内角和为：．
故选：C．
【考点】多边形的内角与外角
6.【答案】A
【解析】先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，继而代入计算可得．
解：当时，
原式，
故选：A．
【考点】分式的化简求值
7.【答案】B
【解析】将点分半代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
解：根据题意知，抛物线）经过点，
则
所以（）．
故选：B．
【考点】二次函数的应用
8.【答案】D
【解析】由天安门和广安门的坐标确定出每格表示的长度，再进一步得出左安门的坐标即可判断．
解：①当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为，此结论正确；
②当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为（，此结论正确；
③当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为，此结论正确；
④当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为，此结论正确．
故选：D．
【考点】坐标确定位置
9.【答案】
【解析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线，再分别求的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．
解：连接NH，BC，过N作于P，
，
中，，
中，，
∵正弦值随着角度的增大而增大，
，
故答案为：．

【考点】锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．
10.【答案】
【解析】根据二次根式有意义的条件可求出的取值范围．
解：由题意可知：．
故答案为：．
【考点】二次根式有意义，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
11.【答案】1
2
0
【解析】∵不等式的两边同乘一个正数，不等号的方向不变.∴若,则对任意实数，结论都是错误的.
【考点】不等式的性质
【提示】答案不唯一
12.【答案】
【解析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出，进而得出答案．
解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【考点】圆周角定理以及三角形内角和定理
13.【答案】
【解析】根据矩形的性质可得出，进而可得出，结合（对顶角相等）可得出，利用勾股定理可求出的长度，即可求出的长．
解：∵四边形为矩形，
，
，
又，
，
．
故答案为：．

【考点】相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理
14.【答案】C
【解析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．
解：A线路公交车用时不超过45分钟的可能性，
B线路公交车用时不超过45分钟的可能性，
C线路公交车用时不超过45分钟的可能性，
C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，
故答案为：C
【考点】可能性的大小
15.【答案】380
【解析】分四类情况，分别计算即可得出结论．
解：共有18人，
当租两人船时，（艘），每小时90元，租船费用为元，
当租四人船时，余2人，要租4艘四人船和1艘两人船，四人船每小时100元，
租船费用为元，
当租六人船时，（艘），每小时130元，∴租船费用为元，
当租八人船时，余2人，要租2艘八人船和1艘两人船，8人船每小时150元，
如果租1艘8人船，1艘6人船，1艘4人船时，租船费用为150+130+100=380元
而，
租1艘八人船、1艘六人船和1艘四人船费用最低是380元，
故答案为：380．
【考点】有理数的运算．
16.【答案】3
【解析】两个排名表相互结合即可得到答案．
解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3
故答案为：3
【考点】平面直角坐标系中点的坐标确定问题，解答时注意根据具体题意确定点的位置和坐标．
17.【答案】（1）解：直线如图所示；


（2）

三角形的中位线平行于三角形的第三边
【解析】（1）根据题目要求作出图形即可；
（2）利用三角形中位线定理证明即可。
18.【答案】解：
【解析】解：
19.【答案】解：
∵解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【解析】解：
∵解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
20.【答案】解：（1），
，
，
，
方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根，
，
若，则方程变形为，解得．
【解析】（1）计算判别式的值得到，则可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；
（2）利用方程有两个相等的实数根得到，设，方程变形为，然后解方程即可．
【考点】根的判别式
21.【答案】解：（1），
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
（2）四边形是菱形，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故人时，需要一等奖奖品（份）．
【解析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
【考点】菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理
22.【答案】解：（1）连接，
，
是的切线，
，
在和中，，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
，
，，
，，
，
，
是等边三角形，
由（1）知，，
在中，．

【解析】（1）先判断出，得出，即可得出结论；
（2）先求出，得出是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．
【考点】等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数
23.【答案】解：（1）把代入y=得；
（2）①当时，直线解析式为，y=x﹣1，
解方程得，
而，
如图1所示，区域W内的整点有，有3个；
②如图2，直线在的下方时，当直线：过时，，
且经过，
∴区域内恰有4个整点，的取值范围是．
如图3，直线在的上方时，
点在函数的图象，
当直线：过时，，
当直线：过时，，
区域内恰有4个整点，的取值范围是．
综上所述，区域内恰有4个整点，的取值范围是或．



【解析】（（1）把代入中可得的值；
（2）直线的解析式为：，可知直线与平行，
①将时代入可得：直线解析式为，画图可得整点的个数；
②分两种情况：直线在的下方和上方，
画图计算边界时点的值，可得的取值．
24.【答案】解：（1）当时，，
，
故答案为3．
（2）函数图象如图所示：

（3）观察图象可知：当，即当或时，或4.91，
当时，即时，，
综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77．
故答案为3或4.91或5.77．
【解析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题；
（2）利用描点法画出图象即可．
（3）图中寻找直线与两个函数的交点的横坐标以及与的交点的横坐标即可；
25.【答案】解：（1）课程总人数为，
中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在这一组，
中位数在这一组，
这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，
A课程的中位数为，即；
（2）该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，
这名学生成绩排名更靠前的课程是B，
故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．
（3）估计A课程成绩跑过75.8分的人数为人．
【解析】（1）先确定A课程的中位数落在第4小组，再由此分组具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；
（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；
（3）用总人数乘以样本中超过75.8分的人数所占比例可得．
26.【答案】解：（1）与轴交点：令代入直线得，
，
点向右平移5个单位长度，得到点，
；
（2）与轴交点：令代入直线得，
，
点向右平移5个单位长度，得到点，
将点代入抛物线中得，即，
抛物线的对称轴；
（3）抛物线经过点且对称轴，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过的对称点，
①时，如图1，
将代入抛物线得，
抛物线与线段恰有一个公共点，
，
，
将代入抛物线得，
，
，
；
②时，如图2，
将代入抛物线得，
抛物线与线段恰有一个公共点，
，
；
③当抛物线的顶点在线段上时，则顶点为，如图3，
将点代入抛物线得，
解得．
综上所述，或或．



【解析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点的坐标，根据平移的性质可求点的坐标；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；
（3）结合图形，分三种情况：①；②，③抛物线的顶点在线段上；进行讨论即可求解．
27.【答案】证明：（1）如图1，连接，
四边形是正方形，
，，
点关于直线的对称点为，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2），理由是：
证法一：如图2，在线段上截取，使，
，
，
由（1）知：，，
，
，
，
，
即，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在和中，

，
，
中，，
，
；
证法二：如图3，过点作于，
，
由方法一可知：，，
在和中
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．



【解析】（1）如图1，连接，根据对称得：，再由证明，可得结论；
（2）证法一：如图2，作辅助线，构建，先证明，得，证明，则，根据等腰直角得：，得结论；
证法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，，再说明是等腰直角三角形，可得结论．
28.【答案】解：（1）如图所示，点到的距离的最小值为2，

；
（2）经过原点，在范围内，函数图象为线段，
当经过时，，此时；
当经过时，，此时；
，
，
且；
（3）与的位置关系分三种情况：
①当在的左侧时，由知此时；
②当在内部时，
当点T与原点重合时，，知此时；
当点T位于位置时，由知，
、，
，
则，
，
故此时；
③当在右边时，由知，
，

；
综上，或或．
【解析】（1）根据点三点的坐标作出，利用“闭距离”的定义即可得；
（2）由题意知在范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过和时的值即可得；
（3）分在的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．