2023届天津市耀华中学高三二模数学试题含解析

2023届天津市耀华中学高三二模数学试题

一、单选题

1．设全集，或，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先计算得到，进而求出交集.

【详解】，故

故选：D

2．设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据面面平行的定义以及判定定理，举例即可得出答案.

【详解】

如图，长方体中，平面.

在平面内，除直线外，其他所有与平行的直线，都与平面平行，但是平面与平面不平行；

若，根据面面平行的定义可知，平面内的直线都与平面平行.

所以，“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3．函数的图象大致为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断函数的奇偶性，利用x=0时的函数值判断选项即可．

【详解】因为函数,函数是偶函数，

所以函数图象关于轴对称，可排除选项，由，可排除选项，故选C.

【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．

4．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为（    ）

A．13 B．12 C． D．

【答案】D

【分析】根据频率分布直方图，结合中位数公式，即可求解.

【详解】设中位数为，则，

解得：.

故选：D

5．已知，则（    ）

A．25 B．5 C． D．

【答案】C

【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．

【详解】因为，，即，所以．

故选：C.

6．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据幂函数和指数函数的单调性比较判断．

【详解】∵，，∴.

故选：C．

7．粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节的节庆食物．现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线段CD（含端点）上运动，若此六面体的体积为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】D

【分析】设，然后求出正四面体的高，然后由体积可求得，然后由侧面展开图可求的最小值.

【详解】设，则正四面体的高为，

因为六面体的体积为，所以，解得，

的最小值为等边三角形高的2倍，即，

故选：D

8．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由得抛物线方程，在抛物线上求得坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线平行可得答案.

【详解】根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为5，

则点到抛物线的准线的距离也为5，即，解得，

所以抛物线的方程为，则，所以，即M的坐标为，

又双曲线的左顶点，一条渐近线为，

而，由双曲线的一条渐近线与直线平行，则有，解得.

故选：A

9．已知函数的部分图像如图，将函数的图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得函数图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的个数为（    ）

①点是图像的一个对称中心

②是图像的一条对称轴

③在区间上单调递增

④若，则的最小值为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由三角函数的图像与性质可得，再由三角函数图象变换法则可得，再结合三角函数的图像与性质逐项判断即可得解.

【详解】由图像可知函数的最大值为2，最小正周期满足，即，

所以，，，

又点在函数的图像上，所以，

所以，即，

又，所以，，

将函数的图像所有点的横坐标伸长到原来的，可得的图像，

再将所得函数图像向左平移个单位长度，可得的图像，

所以，

因为，

所以点不是图像的一个对称中心，是图像的一条对称轴，

故①错误，②正确；

当时，，

所以在区间上不单调，故③错误；

若，则、分别为函数的最大值、最小值；

由函数的最小正周期为可得的最小值为，故④正确.

故选：B.

二、填空题

10．i是虚数单位，若复数为纯虚数，则______．

【答案】

【分析】根据复数的除法运算与概念即可得的值.

【详解】,

所以，所以.

故答案为：.

11．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______．

【答案】80

【分析】根据题意，由各项系数之和可得，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果.

【详解】由题意，令，则，解得，

则的展开式第项，

令，解得，所以.

故答案为：

12．圆与圆的公共弦所在的直线方程为______．

【答案】

【分析】两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程.

【详解】联立，两式相减得.

故答案为：

13．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为______．

【答案】

【分析】求出甲获得冠军的概率，比赛进行了局的概率，根据条件概率公式，得到答案.

【详解】根据题意，甲获得冠军的概率为，

其中，比赛进行了局的概率为，

所以，在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为

.

故答案为.

【点睛】本题考查条件概率，相互独立事件概率公式，属于中档题.

三、双空题

14．在矩形ABCD中，，，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是_____，的最大值是__________．

【答案】         

【分析】根据投影向量的概念，可求得向量在向量上的投影向量的长度；

建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算，表示出，利用二次函数的性质求得答案.

【详解】由题意可得 ，

即向量在向量上的投影向量的长度是 ；

如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，

设 ，则 ,

故 ，

则，

当时，取最大值为 ，

故答案为：；

四、填空题

15．设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是______．

【答案】

【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑求解即可.

【详解】最多有2个根，所以至少有4个根由，可得，

由可得.

时，当时，有4个零点，即；

当，有5个零点，即；

当，有6个零点，即；

当时，，

，

当时，，无零点；

当时，，有1个零点;

当时，令，则，

此时有2个零点；

所以若时，有1个零点.

综上，要使在区间内恰有6个零点，

则应满足或或，

则可解得的取值范围是：.

故答案为：.

【点睛】解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.

五、解答题

16．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，．

(1)求和的值；

(2)记，求的值．

【答案】(1),

(2)

【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理求解即可；

（2）先利用平方和关系求出，进而求，，然后用两角和的余弦公式求解即可.

【详解】（1）在中，由正弦定理得．

由题设知，，所以．

所以．

在中，由余弦定理得

．

所以．

（2）因为，所以．

，．

所以．

17．如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面ABCD，，，E是PD的中点．

(1)证明：平面PAB；

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求平面MAB与平面ABD夹角的余弦值；

(3)在（2）的条件下，求点D到平面MAB的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据，即可证明；

（2）根据线面角的向量公式，求点的坐标，再根据二面角的向量公式，计算求值；

（3）根据（2）的结果，可知平面的法向量为，代入点面距离的向量公式，即可求解.

【详解】（1）连接OC，因为，所以四边形OABC为平行四边形，

所以，所以，以OC，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，．

，，，

设平面的一个法向量为，

则，则，令，，

平面PAB的一个法向量，

，则，又平面PAB，所以平面PAB．

（2），设，

则，

因为点M在棱PC上，所以，，

即，

所以，所以，

平面ABCD的法向量为，

因为直线BM与底面ABCD所成角为，

所以，

，

解得，所以，

设平面MAB的法向量为，

则，即，

令，则，

所以，

所以平面MAB与平面ABD夹角的余弦值．

（3），点D到平面MAB的距离．

18．已知椭圆的焦距为 ,短轴长为.

(1)求的方程;

(2)直线与相切于点M,与两坐标轴的交点为A与B,直线经过点M且与垂直,与的另一个交点为N.当取得最小值时,求的面积.

【答案】(1)(2)

【解析】（1）直接计算得到，，得到椭圆方程.

（2）联立，计算得到，，根据均值不等式得到，，再计算面积得到答案.

【详解】(1)因为,所以 又,所以,所以,

所以的方程为.

(2)联立,消去y,得.

因为直线l与相切,所以,

即.

在x轴､y轴上的截距分别为,

则

,

当且仅当,即时取等号.

所以当时,取得最小值,此时.

根据对称性,不妨取,此时,

即,从而

联立消去y,得,

则,解得,

所以,故的面积为

【点睛】本题考查了椭圆方程，面积的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.

19．已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，．

(1)证明：是等比数列；

(2)证明：；

(3)设数列满足：．证明：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据等比数列的定义，结合递推公式，即可证明；

（2）根据条件求和，再代入不等式，利用作差法，即可化简证明；

（3）根据数列的通项公式，分别求奇数项和偶数项的和，再分别利用裂项相消法和错位相减法求和，即可证明.

【详解】（1）由，得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，．

（2）设等差数列的公差为，

，得，

所以，，

，，

，得证．

（3）当n为奇数时，，

，

当n为偶数时，，

，

设，

，

两式相减得

得，

所以，

所以．

20．已知，设函数的表达式为（其中）

(1)设，，当时，求x的取值范围；

(2)设，，集合，记，若在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s，t，均有成立，求c的取值范围；

(3)当，，时，记，其中n为正整数．求证：．

【答案】(1)；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）由题设可得，解不等式求x的取值范围；

（2）问题化为在上成立，根据单调性、导数研究单调性求最值，即可求参数范围；

（3）问题化为证，令则，结合二项式定理有，且及基本不等式证，即可证结论.

【详解】（1）由题设，则，即，故，

又，则，所以.

（2）由题设，要使D上的任意两个变量s，t均有成立，

所以在上成立，

又在D上为严格增函数，即，

同时在上恒成立，

由解析式知：在上递减，只需，故，

由且，，即在上递减，

所以，故，可得.

综上，；

（3）由题设，则且，，故，

所以，

而，

，

所以，

又，且，当且仅当时等号成立，

所以，同理，.......，且均在时等号成立，

所以，

综上，，即成立.

【点睛】关键点点睛：第三问，首先转化问题为证，再应用二项式定理展开左侧，结合组合数性质、基本不等式证明结论.