专题21【精品】 最值之阿氏圆问题-2022年中考数学几何模型解题策略研究（课件+讲义）

专题21 最值之阿氏圆问题

一、方法突破

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．

如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．

“阿氏圆”的一些性质：

（1）．

应用：根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O．

（2）△OBP∽△OPA，即，变形为．

应用：根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置．

（3）．

应用：已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA：PB的值．

二、典例精析

1．如图，在中，，，，以点为圆心，3为半径做，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为 　　．

2．如图，与轴、轴的正半轴分别相交于点、点，半径为3，点，点，点在弧上移动，连接，，则的最小值为 　．

3．如图，在中，，，则的最大值为 　　．

4．【新知探究】新定义：平面内两定点，，所有满足为定值）的点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”

【问题解决】如图，在中，，，则面积的最大值为 　　．

5．如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 　　．

三、真题演练

1．如图，正方形的边长为4，为的中点，以为圆心，为半径作，点是上一动点，连接、，则的最小值为 　　．

2．如图，扇形中，，，是的中点，是上一点，，是上一动点，则的最小值为 　　．

3．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 　　．

4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

已知平面上两点、，则所有符合且的点会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．

阿氏圆基本解法：构造三角形相似．

【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在轴，轴上分别有点，，点是平面内一动点，且，设，求的最小值．

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1，在上取点，使得；

第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值．

下面是该题的解答过程（部分）

解：在上取点，使得，

又，．

任务：

（1）将以上解答过程补充完整．

（2）如图2，在中，，，，为内一动点，满足，利用（1）中的结论，请直接写出的最小值．

5．如图，在 与中，，，，点在上．

（1）如图1，若点在的延长线上，连接，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，若点与点重合，且，，将绕点旋转，连接，点为的中点，连接，在旋转的过程中，求的最小值；

（3）如图3，若点为的中点，连接、交于点，交于点，且，请直接写出的值．

6．在中，，．若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，交于点．

（1）如图1，若，，求的长；

（2）如图2，点为的中点，连接交于点．若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程；

（3）如图3，若，为的中点，将绕点旋转得△，连接、，当最小时，求．