备战中考初中数学导练学案50讲—第30讲点直线与圆的位置关系（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第30讲 点直线与圆的位置关系
【疑难点拨】
1. 直线与圆位置关系的判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r.
2. 证明直线和圆相切的常见方法
证明直线和圆相切，一般有两种情况：
(1)已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线
(2)直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径.
3. 圆的切线判定的运用注意事项:
(1)解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论；
(2)解答此题的关键是两个基本图形的公共部分(即点D，E和直径AB)的运用；在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018年四川省内江市）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）
A．外高 B．外切 C．相交 D．内切
2. （2018·山东泰安·3分）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
3. （2018·江苏常州·2分）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（　　）

A．76° B．56° C．54° D．52°
4. （2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（　　）

A．2 B． C． D．
5. （2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（　　）

A．2 B． C． D．
二、填空题：
6.（2018·浙江省台州·5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=　 　度．

7. （2018·山东威海·3分）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　 　．

8. （2017浙江衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 　．

三、解答与计算题：
9. （2018·山东潍坊·8分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．









10. （2018·湖北省武汉· 8分）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．







【能力篇】
一、选择题：
11. （2018·台湾·分）如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID的度数为何？（　　）

A．174 B．176 C．178 D．180
12. （2018·四川宜宾·3分）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（　　）

A． B． C．34 D．10
13. （2018·山东泰安·3分）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题：
14. （2018年江苏省南京市•2分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为　 　．

15. （2018年江苏省泰州市•3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为 　．

三、解答与计算题：
16. （2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段 为直径的 上取一点，连接 、 .将 沿 翻折后得到 .

（1）试说明点 在 上；
（2）在线段 的延长线上取一点 ，使 .求证： 为 的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段 、 相交于点 ，若 ， ，求线段 的长.




17. （2018•山东滨州•12分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：
（1）直线DC是⊙O的切线；
（2）AC2=2AD•AO．













18. （2018•山东菏泽•10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．
（1）求∠DAF的度数；
（2）求证：AE2=EF•ED；
（3）求证：AD是⊙O的切线．








【探究篇】
19. （2018•四川凉州•8分）如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（﹣4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D．
（1）求直线l的解析式；
（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．




20. （2018年江苏省南京市）结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，
求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．
根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．
整理，得x2+7x=12．
所以S△ABC=AC•BC
=（x+3）（x+4）
=（x2+7x+12）
=×（12+12）
=12．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．
可以一般化吗？
（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．
倒过来思考呢？
（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．
改变一下条件……
（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．































第30讲 点直线与圆的位置关系
【疑难点拨】
1. 直线与圆位置关系的判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r.
2. 证明直线和圆相切的常见方法
证明直线和圆相切，一般有两种情况：
(1)已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线
(2)直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径.
3. 圆的切线判定的运用注意事项:
(1)解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论；
(2)解答此题的关键是两个基本图形的公共部分(即点D，E和直径AB)的运用；在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018年四川省内江市）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）
A．外高 B．外切 C．相交 D．内切
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，
又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．
故选：C．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
2. （2018·山东泰安·3分）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．
【解答】解：如图，连接OA、OB，

∵BM是⊙O的切线，
∴∠OBM=90°，
∵∠MBA=140°，
∴∠ABO=50°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=50°，
∴∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=40°，
故选：A．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
3. （2018·江苏常州·2分）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（　　）

A．76° B．56° C．54° D．52°
【分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA的度数．
【解答】解：∵MN是⊙O的切线，
∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°﹣∠MNB=90°﹣52°=38°，
∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
4. （2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2，可求出OD.AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得
OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．
【解答】解：连接OD
∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC
在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，
∴OD=OB=2，AO=4，
∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD
∴∠ODB=∠CBD
∴OD∥CB，
∴
即
∴CD=．
故选：B．

【点评】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．
5. （2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2，可求出OD.AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得
OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．
【解答】解：连接OD
∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC
在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，
∴OD=OB=2，AO=4，
∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD
∴∠ODB=∠CBD
∴OD∥CB，
∴
即
∴CD=．
故选：B．

【点评】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．
二、填空题：
6.（2018·浙江省台州·5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=　26　度．

【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．
【解答】解：连接OC，
由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°﹣∠COD=26°，
故答案为：26．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7. （2018·山东威海·3分）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　135°　．

【分析】如图，连接EC．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题；
【解答】解：如图，连接EC．

∵E是△ADC的内心，
∴∠AEC=90°+∠ADC=135°，
在△AEC和△AEB中，
，
∴△EAC≌△EAB，
∴∠AEB=∠AEC=135°，
故答案为135°．
【点评】本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8. （2017浙江衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是　2　．

【考点】MC：切线的性质；F5：一次函数的性质．
【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，根据两点间的距离公式得到AP=3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接AP，PQ，
当AP最小时，PQ最小，
∴当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，
∵A的坐标为（﹣1，0），y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0，
∴AP==3，
∴PQ==2．

三、解答与计算题：
9. （2018·山东潍坊·8分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．

【分析】（1）连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB=BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．
【解答】证明：（1）连接OA，交BC于F，则OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，（2分）
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，（3分）
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；（4分）
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，（5分）
∴，FB=BC，
∴AB=AC，
∵BC=2，AC=2，
∴BF=，AB=2，
在Rt△ABF中，AF==1，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，
∴OB=4，（7分）
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD====2．（8分）

【点评】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
10. （2018·湖北省武汉· 8分）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．

【分析】（1）想办法证明△PAO≌△PBO．可得∠PAO=∠PBO=90°；
（2）首先证明BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，再证明BC=PB=PA=2a，由△PAK∽△POA，可得PA2=PK•PO，设PK=x，则有：x2+ax﹣4a2=0，解得x=a（负根已经舍弃），推出PK=a，由PK∥BC，可得==；
【解答】（1）证明：连接OP、OB．
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO=90°，
∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）设OP交AB于K．
∵AB是直径，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵PA、PB都是切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO，
∵OA=OB，
∴OP垂直平分线段AB，
∴OK∥BC，
∵AO=OC，
∴AK=BK，
∴BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，
∵∠APC=3∠BPC，∠APO=∠OPB，
∴∠OPC=∠BPC=∠PCB，
∴BC=PB=PA=2a，
∵△PAK∽△POA，
∴PA2=PK•PO，设PK=x，
则有：x2+ax﹣4a2=0，
解得x=a（负根已经舍弃），
∴PK=a，
∵PK∥BC，
∴==．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018·台湾·分）如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID的度数为何？（　　）

A．174 B．176 C．178 D．180
【分析】连接CI，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由I点为△ABC的内心，可得出∠CAI、∠ACI、∠DCI的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC、∠CID的度数，再由∠AID=∠AIC+∠CID即可求出∠AID的度数．
【解答】解：连接CI，如图所示．
在△ABC中，∠B=44°，∠ACB=56°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．
∵I点为△ABC的内心，
∴∠CAI=∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI=∠ACB=28°，
∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，
又ID⊥BC，
∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，
∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°．
故选：A．

【点评】本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID的度数是解题的关键．
12. （2018·四川宜宾·3分）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（　　）

A． B． C．34 D．10
【考点】M8：点与圆的位置关系；LB：矩形的性质．
【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．
【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN=DE=2，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故选：D．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．
13. （2018·山东泰安·3分）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，

则OQ=3、MQ=4，
∴OM=5，
又∵MP′=2，
∴OP′=3，
∴AB=2OP′=6，
故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
二、填空题：
14. （2018年江苏省南京市•2分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为　4　．

【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′=∠B′CD′=90°、AB=CD=5、BC=B′C=4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE=OH=OC=2.5，继而求得CG=B′E=OH===2，根据垂径定理可得CF的长．
【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，

则∠OEB′=∠OHB′=90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，
∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=5、BC=B′C=4，
∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE=OH=OC=2.5，
∴B′H=OE=2.5，
∴CH=B′C﹣B′H=1.5，
∴CG=B′E=OH===2，
∵四边形EB′CG是矩形，
∴∠OGC=90°，即OG⊥CD′，
∴CF=2CG=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点．
15. （2018年江苏省泰州市•3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为　或　．

【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，
【解答】解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．

设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴=，
∴=，
∴r=．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，

∵△A′BT∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴A′T=，
∴r=A′T=．
综上所述，⊙P的半径为或．
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答与计算题：
16. （2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段 为直径的 上取一点，连接 、 .将 沿 翻折后得到 .

（1）试说明点 在 上；
（2）在线段 的延长线上取一点 ，使 .求证： 为 的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段 、 相交于点 ，若 ， ，求线段 的长.
【答案】（1）解：连接OC，OD，

由翻折可得OD=OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴点D在⊙O上。
（2）证明：∵点D在⊙O上，∴∠ADB=90°，
由翻折可得AC=AD，
∵AB2=AC·AE，
∴AB2=AD·AE，
∴ ，又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE~△ADB，
∴∠ABE=∠ADB=90°，
∵OB是半径，
∴BE为的⊙O切线。
（3）解：设EF=x，∵AB2=AC2+BC2=AC·AE，∴AE=5，DE=AE-AD=5-4=1，
∵∠BDF=∠C=90°，∠BFD=∠AFC，
∴△BDF~△ACF，
∴ 即
则BF= ，
在Rt△BDF中，由勾股定理得BD2+DF2=BF2 ，
则22+（1+x）2=( )2 ，
解得x1= ,x2=-1（舍去）,
则EF=
【考点】点与圆的位置关系，切线的判定，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证明点D在⊙O上，则需要证明点D到圆心的距离OD要等于半径，由折叠易知OD=OC；（2）证明BE为的⊙O切线，由切线判定定理可得需要证明∠ABE=90°；易知∠ADB=90°，由公共角∠BAE=∠DAB，则需要△ABE~△ADB，由AB2=AC·AE和AC=AD可证明；（3）易知∠BDF=∠ADB=90°，则△BDF是一个直角三角形，由勾股定理可得BD2+DF2=BF2 ， 而BD=BC=2，DF=DE+EF，EF就是要求的，不妨先设EF=x，看能否求出DE或都BF，求不出的话可用x表示出来，再代入BD2+DF2=BF2解得即可。
17. （2018•山东滨州•12分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：
（1）直线DC是⊙O的切线；
（2）AC2=2AD•AO．

【分析】（1）连接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知OC∥AD，根据AD⊥DC即可得证；
（2）连接BC，证△DAC∽△CAB即可得．
【解答】解：（1）如图，连接OC，

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；

（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AB=2AO，∠ACB=90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴=，即AC2=AB•AD，
∵AB=2AO，
∴AC2=2AD•AO．
【点评】本题主要考查圆的切线，解题的关键是掌握切线的判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质．
18. （2018•山东菏泽•10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．
（1）求∠DAF的度数；
（2）求证：AE2=EF•ED；
（3）求证：AD是⊙O的切线．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MD：切线的判定．
【分析】（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出∠BAF和∠BAD度数，即可求出答案；
（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可；
（3）连接AO，求出∠OAD=90°即可．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠D=∠CBD，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=×（180°﹣∠BAC）=72°，
∴∠AFB=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=72°=36°，
∴∠D=∠CBD=36°，
∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°，
∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°=36°；
（2）证明：∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，
∴∠FAC=36°=∠D，
∵∠AED=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴=，
∴AE2=EF×ED；
（3）证明：连接OA、OF，
∵∠ABF=36°，
∴∠AOF=2∠ABF=72°，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA=×（180°﹣∠AOF）=54°，
由（1）知∠ADF=36°，
∴∠OAD=36°+54°=90°，
即OA⊥AD，
∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
【探究篇】
19. （2018•四川凉州•8分）如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（﹣4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D．
（1）求直线l的解析式；
（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．

【分析】（1）求直线的解析式，可以先求出A、C两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析式．
（2）设⊙O2平移t秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P，⊙O3与x轴相切于D1点，连接O1O3，O3D1．
在直角△O1O3D1中，根据勾股定理，就可以求出O1D1，进而求出D1D的长，得到平移的时间．
【解答】解：（1）由题意得OA=|﹣4|+|8|=12，
∴A点坐标为（﹣12，0）．
∵在Rt△AOC中，∠OAC=60°，
OC=OAtan∠OAC=12×tan60°=12．
∴C点的坐标为（0，﹣12）．
设直线l的解析式为y=kx+b，
由l过A、C两点，
得，解得
∴直线l的解析式为：y=﹣x﹣12．

（2）如图，设⊙O2平移t秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P，⊙O3与x轴相切于D1点，连接O1O3，O3D1．
则O1O3=O1P+PO3=8+5=13．
∵O3D1⊥x轴，∴O3D1=5，
在Rt△O1O3D1中，．
∵O1D=O1O+OD=4+13=17，∴D1D=O1D﹣O1D1=17﹣12=5，
∴（秒）．
∴⊙O2平移的时间为5秒．

【点评】本题综合了待定系数法求函数解析式，以及圆的位置关系，其中两圆相切时的辅助线的作法是经常用到的．
20. （2018年江苏省南京市）结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，
求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．
根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．
整理，得x2+7x=12．
所以S△ABC=AC•BC
=（x+3）（x+4）
=（x2+7x+12）
=×（12+12）
=12．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．
可以一般化吗？
（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．
倒过来思考呢？
（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．
改变一下条件……
（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．

【分析】（1）由切线长知AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，根据勾股定理得（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，即x2+（m+n）x=mn，再利用三角形的面积公式计算可得；
（2）由由AC•BC=2mn得（x+m）（x+n）=2mn，即x2+（m+n）x=mn，再利用勾股定理逆定理求证即可；
（3）作AG⊥BC，由三角函数得AG=AC•sin60°=（x+m），CG=AC•cos60°=（x+m）、BG=BC﹣CG=（x+n）﹣（x+m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2+（m+n）x=3mn，最后利用三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，
根据切线长定理，得：AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，
（1）如图1，

在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，
整理，得：x2+（m+n）x=mn，
所以S△ABC=AC•BC
=（x+m）（x+n）
= [x2+（m+n）x+mn]
=（mn+mn）
=mn，
（2）由AC•BC=2mn，得：（x+m）（x+n）=2mn，
整理，得：x2+（m+n）x=mn，
∴AC2+BC2=（x+m）2+（x+n）2
=2[x2+（m+n）x]+m2+n2
=2mn+m2+n2
=（m+n）2
=AB2，
根据勾股定理逆定理可得∠C=90°；

（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，

在Rt△ACG中，AG=AC•sin60°=（x+m），CG=AC•cos60°=（x+m），
∴BG=BC﹣CG=（x+n）﹣（x+m），
在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x+m）]2+[（x+n）﹣（x+m）]2=（m+n）2，
整理，得：x2+（m+n）x=3mn，
∴S△ABC=BC•AG
=×（x+n）•（x+m）
= [x2+（m+n）x+mn]
=×（3mn+mn）
=mn．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应用及勾股定理及其逆定理等知识点．