备战中考初中数学导练学案50讲—第16讲几何图形初步（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第16讲 几何图形初步
【疑难点拨】
1. 直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换．在画线段时，为使结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度．
2. 平面上有个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：．
3. 求线段的长度，注意围绕线段的和、差、倍、分展开，若每一条线段长度均已确定，所求问题便可迎刃而解．
4. “两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．
5. 在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．
6. 比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．
7. 求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解；第二种方法直接根据图形求夹角．
【基础篇】
一、选择题：
1. 将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　）

A． B． C． D．
2. 下列说法中不正确的是（　　）
①过两点有且只有一条直线
②连接两点的线段叫两点的距离
③两点之间线段最短
④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点
A．① B．② C．③ D．④
3. 如图，C、D是线段AB上两点，若BC=3cm，BD=5cm，且D是AC的中点，则AC的长为（　　）

A．2cm B．4cm C．8cm D．13cm
4. （2018•德州）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（　　）

A．图① B．图② C．图③ D．图④
5. 平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题：
6. 如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体形，折好以后，与“静”字相对的字是　 　．

7. C、D在线段AB上，C为线段AB的中点，若AB=12，DB=8，则CD的长为　 　．
8. 如图，点A、O、B在一条直线上，且∠AOC=50°，OD平分∠AOC，则∠BOD=　 　度．

三、解答与计算题：
9. 如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°
（1）求∠AOB的度数；
（2）∠COD的度数．






10. 已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．





【能力篇】
一、选择题：
11. 用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状的结论：
①可能是锐角三角形；
②可能是直角三角形；
③可能是钝角三角形；
④可能是平行四边形．
其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④
12. 如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　）

A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
13. （2018•烟台）由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙．如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为（　　）

A．9 B．11 C．14 D．18
二、填空题：
14. 如图，已知直线AB和CD相交于O点，OC⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的度数　 　．






15. 如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过　 　秒时线段PQ的长为5厘米．

三、解答与计算题：
16. 如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．
（1）若AB=10cm，则MN=　 　cm；
（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．






17. 如图所示，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°．

(1)求∠AOB的度数．
(2)过点O作射线OD，使得∠AOC＝4∠AOD，
请你求出∠COD的度数







18. 如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放(∠MON＝90°) ．
(1)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC?请说明理由；
(2)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系? 请说明理由．






【探究篇】
19. .如图，点C在线段AB上，AC = 8 cm，CB = 6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点.
（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+ CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由.
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由.








20. 如图，已知∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）求∠EOF的度数；
（2）若∠AOC=x°，∠EOF=y°．则请用x的代数式来表示y；
（3）如果∠AOC+∠EOF=156°，则∠EOF是多少度？
O
B
C
E
A
F






21. 如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）
（1）数轴上点B对应的数是　 　．
（2）经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？
（3）当点M运动到什么位置时，恰好使AM=2BN？








第16讲 几何图形初步
【疑难点拨】
1. 直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换．在画线段时，为使结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度．
2. 平面上有个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：．
3. 求线段的长度，注意围绕线段的和、差、倍、分展开，若每一条线段长度均已确定，所求问题便可迎刃而解．
4. “两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．
5. 在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．
6. 比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．
7. 求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解；第二种方法直接根据图形求夹角．
【基础篇】
一、选择题：
1. 将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：题中的图是一个直角梯形，上底短，下底长，绕对称轴旋转后上底形成的圆小于下底形成的圆，因此得到的立体图形应该是一个圆台．
故选：D．
2. 下列说法中不正确的是（　　）
①过两点有且只有一条直线
②连接两点的线段叫两点的距离
③两点之间线段最短
④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：①过两点有且只有一条直线，正确；
②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，错误
③两点之间线段最短，正确；
④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点，正确；
故选：B．
3. 如图，C、D是线段AB上两点，若BC=3cm，BD=5cm，且D是AC的中点，则AC的长为（　　）

A．2cm B．4cm C．8cm D．13cm
【解答】解：∵BC=3cm，BD=5cm，
∴CD=BD﹣BC=2cm，
∵D是AC的中点，
∴AC=2CD=4cm，
故选：B．
4. （2018•德州）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（　　）

A．图① B．图② C．图③ D．图④
【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：图①，∠α+∠β=180°﹣90°，互余；
图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；
图③，根据等角的补角相等∠α=∠β；
图④，∠α+∠β=180°，互补．
故选：A．
5. 平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：两点确定一条直线；不同三点最多可确定3条直线；不同4点最多可确定（1+2+3）条直线，不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线，
因为1+2+3+4+5+6+7=28，
所以平面上不同的8个点最多可确定28条直线．
故选C．
二、填空题：
6. 如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体形，折好以后，与“静”字相对的字是　 　．

【解答】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“静”字相对的字是着．
7. C、D在线段AB上，C为线段AB的中点，若AB=12，DB=8，则CD的长为　 　．
【解答】解：
∵C为线段AB的中点，AB=12，
∴BC=AB=6，
∵DB=8，
∴CD=BD﹣BC=8﹣6=2，
故答案为：2．
8. 如图，点A、O、B在一条直线上，且∠AOC=50°，OD平分∠AOC，则∠BOD=　 　度．

【解答】解：∵点A、O、B在一条直线上，
∴∠COB=180°﹣∠AOC=180°﹣50°=130°，
∵OD平分∠AOC，∴∠COD=×50°=25°，
∴∠BOD=∠COB+∠COD=130°+25°=155°．
故答案为：155．
三、解答与计算题：
9. 如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°
（1）求∠AOB的度数；
（2）∠COD的度数．

【解答】解：（1）∵∠BOC=2∠AOC，∠AOC=40°，
∴∠BOC=80°，
∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=120°；
（2）∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠AOB=60°，
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=20°．
10. 已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．
【解答】解：如图1所示，∵AP=2PB，AB=6，
∴PB=AB=×6=2，AP=AB=×6=4；
∵点Q为PB的中点，
∴PQ=QB=PB=×2=1；
∴AQ=AP+PQ=4+1=5．

如图2所示，∵AP=2PB，AB=6，
∴AB=BP=6，
∵点Q为PB的中点，
∴BQ=3，
∴AQ=AB+BQ=6+3=9．
故AQ的长度为5或9．
【能力篇】
一、选择题：
11. 用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状的结论：
①可能是锐角三角形；
②可能是直角三角形；
③可能是钝角三角形；
④可能是平行四边形．
其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④
【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形．
【解答】解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，而三角形只能是锐角三角形，不能是直角三角形和钝角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了正方体的截面，注意：正方体的截面的四种情况应熟记．
12. 如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　）

A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：如图，
AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°．
∠3=∠4﹣∠2=80°﹣50°=30°，
此时的航行方向为北偏东30°，
故选：A．
13. （2018•烟台）由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙．如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为（　　）

A．9 B．11 C．14 D．18
【分析】由涂色部分面积是从上、前、右三个方向所涂面积相加，据此可得．
【解答】解：由图可知涂色部分是从上、前、右三个方向所涂面积相加，即涂色部分面积为4+4+3=11，
故选：B．
二、填空题：
14. 如图，已知直线AB和CD相交于O点，OC⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的度数　 　．

【解答】解：∵CO⊥OE，
∴∠COE=90°，
∵∠COF=34°
∴∠EOF=90°﹣34°=56°
又∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=56°
∵∠COF=34°
∴∠AOC=56°﹣34°=22°
则∠BOD=∠AOC=22°．
故答案为：22°
15. 如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过　 　秒时线段PQ的长为5厘米．

【解答】解：设运动时间为t秒．
①如果点P向左、点Q向右运动，
由题意，得：t+2t=5﹣4，
解得t=；
②点P、Q都向右运动，
由题意，得：2t﹣t=5﹣4，
解得t=1；
③点P、Q都向左运动，
由题意，得：2t﹣t=5+4，
解得t=9．
④点P向右、点Q向左运动，
由题意，得：2t﹣4+t=5，
解得t=3．
综上所述，经过或1或3秒时线段PQ的长为5厘米．
故答案为或1或3或9．
三、解答与计算题：
16. 如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．
（1）若AB=10cm，则MN=　 　cm；
（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．

【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，CN=BC
MN=MC+CN=．
故填：5．
（2）∵AC=3，CP=1，
∴AP=AC+CP=4，
∵P是线段AB的中点，
∴AB=2AP=8
∴CB=AB﹣AC=5，
∵N是线段CB的中点，CN=CB=，
∴PN=CN﹣CP=．
17. 如图所示，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°．

(1)求∠AOB的度数．
(2)过点O作射线OD，使得∠AOC＝4∠AOD，
请你求出∠COD的度数
【解析】
解：(1)设∠BOC＝x°则∠AOC＝2x°．
依题意列方程：90-2x＝x-30，
解得：3x＝120
x＝40．
∴ ∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝2x°- x°= 40°．
(2)由(1)有：∠AOC=2x°＝80°，
①当射线OD在∠AOC的内部时， ∵ ∠AOC＝4∠AOD，
∴ ∠AOD＝∠AOC＝20°．
∴ ∠COD＝∠AOC-∠AOD＝60°．
②当射线OD在∠AOC的外部时，∠COD＝∠AOD+∠AOC＝∠AOC+∠AOC
＝20°+80°＝100°．
18. 如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放(∠MON＝90°) ．
(1)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC?请说明理由；
(2)将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系? 请说明理由．

【解析】
解：(1)ON平分∠AOC．理由如下：
∵ ∠MON＝90°
∴ ∠BOM+∠AON＝90°
∠MOC+∠NOC＝90°
又∵ OM平分∠BOC
∴ ∠BOM＝∠MOC
∴ ∠AON＝∠NOC
∴ ON平分∠AOC
(2)∵ ∠CON+∠NOB＝60°
又∵ ∠BOM+∠NOB＝90°
∴ ∠BOM＝∠NOC+30°
【探究篇】
19. .如图，点C在线段AB上，AC = 8 cm，CB = 6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点.
（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+ CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由.
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由.
【解析】解：（1）如下图，
∵AC = 8 cm，CB = 6 cm
∴
又∵点M、N分别是AC、BC的中点
∴
∴
答：MN的长为7cm.
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC + CB = a cm，其它条件不变，则
理由是：
∵点M、N分别是AC、BC的中点
∴
∵AC+ CB=a cm
∴
（3）如图，
∵点M、N分别是AC、BC的中点
∴
∵
∴
20. 如图，已知∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）求∠EOF的度数；
（2）若∠AOC=x°，∠EOF=y°．则请用x的代数式来表示y；
（3）如果∠AOC+∠EOF=156°，则∠EOF是多少度？
O
B
C
E
A
F

【解析】解：（1）∵∠AOB是直角，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC=∠AOC=×150°=75°，∠COF=∠BOC==30°，
∴∠EOF=∠EOC-∠COF=75°-30°=45°；
（2）∵∠AOB是直角，∠AOC=x°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=x°-90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC=∠AOC= x°，∠COF=∠BOC=（x°-90°），
∴∠EOF=∠EOC-∠COF=x°-（x°-90°）=45°；
（3）根据（2）的规律发现，∠EOF的度数只与∠AOB有关，
∠EOF= ∠AOB=×90°=45°．
21. 如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）
（1）数轴上点B对应的数是　30　．
（2）经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？
（3）当点M运动到什么位置时，恰好使AM=2BN？

【解答】解：（1）OB=3OA=30．
故B对应的数是30；

（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等
①点M、点N在点O两侧，则
10﹣3x=2x，
解得x=2；
②点M、点N重合，则
3x﹣10=2x，
解得x=10．
所以经过2秒或10秒，点M、点N分别到原点O的距离相等；
（3）设经过y秒，恰好使AM=2BN．
①点N在点B左侧，则
3y=2（30﹣2y），
解得y=，
3×﹣10=；
②点N在点B右侧，则
3y=2（2y﹣30），
解得y=60，
3×60﹣10=170；
即点M运动到或170位置时，恰好使AM=2BN．
故答案为：30．