备战中考初中数学导练学案50讲—第19讲全等三角形（讲练版）

这是一份备战中考初中数学导练学案50讲—第19讲全等三角形（讲练版），共26页。学案主要包含了疑难点拨，问题发现，类比探究，拓展应用等内容，欢迎下载使用。

备战中考初中数学导练学案50讲
第19讲 全等三角形
【疑难点拨】
1. 注意全等三角形的构造方法
(1）截长补短法：补短法或补全法，截长法或分割法；（2）平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线．（3）旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。（4）倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。（5）翻折法:若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
2. 巧用全等三角形证明线段相等：三角形全等是证明线段相等、角相等的重要工具。
（1）当待证线段所处的图形与线段的中垂线有关时，一般可利用线段中垂线的性质（线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等）直接得出两线段相等。
（2）当待证线段所处的图形与角平分线有关时，一般可利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）直接得出两线段相等。
3.巧用角平分线解题：
（1）显“距离”, 用性质
很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）
（2）构距离,造全等
有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．
例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？
（3）巧翻折, 造全等
以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．
【基础篇】
一、选择题：
1. 如图，两个三角形为全等三角形，则∠α的度数是（　　）

A．72° B．60° C．58° D．50°
2. 如图，△ACF≌△BDE，点A、B、C、D在同一条直线上，下列结论中错误的是（　　）

A．AF∥BE B．∠ACF=∠DBE C．AB=CD D．CF∥DE
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（　　）

A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
4. （2018·台湾·分）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（　　）

A．115 B．120 C．125 D．130
5. 已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确
二、填空题：
6. 如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是　 　．（只需写一个，不添加辅助线）

7. （2018·浙江衢州·4分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　 　（只需写一个，不添加辅助线）．

8. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D点，PD=6，则P到OB的距离为　 　cm．

三、解答与计算题：
9. （2018年江苏省泰州市•8分）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．









10. （2018·湖南省衡阳·6分）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当AB=5时，求CD的长．






【能力篇】
一、选择题：
11. （2018年江苏省南京市•2分）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（　　）

A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c
12. （2018·山东临沂·3分）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）

A． B．2 C．2 D．
13. 如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是(　　)

A．AD＋BC＝AB B．与∠CBO互余的角有两个
C．∠AOB＝90° D．点O是CD的中点
二、填空题：
14. （2018·湖北荆州·3分）已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是　 　．

15. 在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是　 　度．

三、解答与计算题：
16. （2018·浙江宁波·10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．





17. 如图，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．
（1）BD是∠ABE的平分线吗？为什么？
（2）点E平分线段BC吗？为什么？
（3）DE⊥BC吗？为什么？




18. 如图1所示，A、E、F、C在同一直线上，AF=CE，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．
（1）试说明ME=MF；
（2）若将E、F两点移至如图2中的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由．




【探究篇】
19. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，写出线段DE、AD和BE的数量关系，并说明理由．
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，直接写出DE、AD和BE的数量关系（不用说明理由）





20. （1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：　AD=DE　；

（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请直接写出△ABC与△ADE的面积之比．


















第19讲 全等三角形
【疑难点拨】
1. 注意全等三角形的构造方法
(1）截长补短法：补短法或补全法，截长法或分割法；（2）平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线．（3）旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。（4）倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。（5）翻折法:若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
2. 巧用全等三角形证明线段相等：三角形全等是证明线段相等、角相等的重要工具。
（1）当待证线段所处的图形与线段的中垂线有关时，一般可利用线段中垂线的性质（线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等）直接得出两线段相等。
（2）当待证线段所处的图形与角平分线有关时，一般可利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）直接得出两线段相等。
3.巧用角平分线解题：
（1）显“距离”, 用性质
很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）
（2）构距离,造全等
有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．
例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？
（3）巧翻折, 造全等
以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．
【基础篇】
一、选择题：
1. 如图，两个三角形为全等三角形，则∠α的度数是（　　）

A．72° B．60° C．58° D．50°
【解答】解：根据三角形内角和可得∠1=180°﹣50°﹣58°=72°，
因为两个全等三角形，
所以∠α=∠1=72°，
故选：A．

2. 如图，△ACF≌△BDE，点A、B、C、D在同一条直线上，下列结论中错误的是（　　）

A．AF∥BE B．∠ACF=∠DBE C．AB=CD D．CF∥DE
【解答】解：∵△ACF≌△BDE，
∴∠A=∠EBD，
∴AF∥BE，A正确，不符合题意；
∴∠ACF=∠BDE，B错误，符合题意；
∴AC=BD，
∴AB=CD，C正确，不符合题意；
∴∠D=∠FCA，
∴CF∥DE，D正确，不符合题意；
故选：B．
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（　　）

A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
【分析】在△ABC中，AB=AC则三角形是等腰三角形，做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
【解答】解：∵AB=AC，BD，CE分别是三角形的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE，
∴CE=BD，
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠ABD=∠ACE，
∴∠BCE=∠CBD，
∴△BCE≌△CBD
同理还有△ABF≌△ACF；△AEO≌△ADO；△ABO≌△ACO；△OBE≌△OCD；△BFO≌△CFO，总共7对．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，做题时要从很容易的找起，由易到难，不重不漏．
4. （2018·台湾·分）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（　　）

A．115 B．120 C．125 D．130
【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．
【解答】解：∵正三角形ACD，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，
∵AB=DE，BC=AE，
∴△ABC≌△AED，
∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，
故选：C．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．
5. 已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确
【考点】全等三角形的判定．
【专题】压轴题．
【分析】根据SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2，判断①正确；根据“两角法”推知两个三角形相似，然后结合两个三角形的周长相等推出两三角形全等，即可判断②．
【解答】解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，
∴B1C1=B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确；
∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2
∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2
∴②正确；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判断两三角形全等．
二、填空题：
6. 如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是　∠ABD=∠CBD或AD=CD．　．（只需写一个，不添加辅助线）

【解答】解：答案不唯一．
①∠ABD=∠CBD．
在△ABD和△CBD中，
∵，
∴△ABD≌△CBD（SAS）；
②AD=CD．
在△ABD和△CBD中，
∵，
∴△ABD≌△CBD（SSS）．
故答案为：∠ABD=∠CBD或AD=CD．
7. （2018·浙江衢州·4分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　AB=ED　（只需写一个，不添加辅助线）．

【考点】三角形全等的判定方法
【分析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加AB=ED．
∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF．
∵AB∥DE，∴∠B=∠E．在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：AB=ED．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D点，PD=6，则P到OB的距离为　 　cm．

【分析】可过点P作PE⊥OB，由角平分线的性质可得，PD=PE，进而可得出结论．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB，
∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，又PD=6cm，
∴PE=PD=6cm．
故填6．

【点评】本题考查了角平分线的性质；要熟练掌握角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．
三、解答与计算题：
9. （2018年江苏省泰州市•8分）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．

【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，证明△ABO与△CDO全等，所以有OB=OC．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
10. （2018·湖南省衡阳·6分）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当AB=5时，求CD的长．

【解答】（1）证明：在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△AEB≌△DEC，
∴AB=CD，
∵AB=5，
∴CD=5．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018年江苏省南京市•2分）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（　　）

A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c
【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c；
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠A=∠C，∵AB=CD，
∴△ABF≌△CDE，
∴AF=CE=a，BF=DE=b，
∵EF=c，
∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
12. （2018·山东临沂·3分）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）

A． B．2 C．2 D．
【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．
【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE=DC=1，CE=AD=3．
∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2
故选：B．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．
13. 如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是(　　)

A．AD＋BC＝AB B．与∠CBO互余的角有两个
C．∠AOB＝90° D．点O是CD的中点
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB的度数，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，同理可得OC=OE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．
【详解】∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE．
∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；
与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误；
∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=12∠EOD，∠BOC=12∠MOE，∴∠AOB=12(∠EOD+∠MOE)=12×180°=90°，故C选项结论正确；
在Rt△AOD和Rt△AOE中，&AO=AO&AD=AE，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
二、填空题：
14. （2018·湖北荆州·3分）已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是　 　．

【解答】解：由作法①知，OM=ON，
由作法②知，CM=CN，
∵OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
故答案为：SSS．
15. 在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是　35　度．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，即可求得∠EAB的度数．
【解答】解：过点E作EF⊥AD，
∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，
∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠EAB=∠EAF．
又∵∠CED=35°，∠C=90°，
∴∠CDE=90°﹣35°=55°，
即∠CDA=110°，∠DAB=70°，
∴∠EAB=35°．

【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
三、解答与计算题：
16. （2018·浙江宁波·10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．

【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）
（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数．
【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，
∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=67.5°
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．
17. 如图，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．
（1）BD是∠ABE的平分线吗？为什么？
（2）点E平分线段BC吗？为什么？
（3）DE⊥BC吗？为什么？

【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD=∠EBD即可求解；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出BE=CE即可求解；
（3）先由全等三角形的对应边相等得出BD=CD，BE=CE，再根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解答】解：（1）BD是∠ABE的平分线，理由如下：
因为△ADB≌△EDB，
所以∠ABD=∠EBD，
即BD是∠ABE的平分线；
（2）点E平分线段BC，理由如下：
因为△BDE≌△CDE，
所以BE=CE，
即点E平分线段BC；
（3）DE⊥BC，理由如下：
因为△BDE≌△CDE，
所以BD=CD，BE=CE，
所以DE⊥BC．
【点评】本题考查了全等三角形及等腰三角形的性质，难度适中．
18. 如图1所示，A、E、F、C在同一直线上，AF=CE，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．
（1）试说明ME=MF；
（2）若将E、F两点移至如图2中的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由．

【分析】（1）由DE⊥AC，BF⊥AC得到∠AFB=90°，∠DEC=90°，可根据“HL”证明Rt△ABF≌Rt△CDE，则BF=DE，然后根据“ASA”可证明△BFM≌△DEM，根据全等的性质即可得到ME=MF；
（2）上述结论仍然成立．证明的方法与（1）一样．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=90°，∠DEC=90°，
∵在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE，
∵在△BFM和△DEM中，
，
∴△BFM≌△DEM（AAS），
∴ME=MF；
（2）解：上述结论仍然成立．理由如下：
与（1）一样可证得Rt△ABF≌Rt△CDE得到BF=DE，
与（2）一样可证得△BFM≌△DEM，
所以ME=MF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了直角三角形的判定方法．
【探究篇】
19. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，写出线段DE、AD和BE的数量关系，并说明理由．
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，直接写出DE、AD和BE的数量关系（不用说明理由）
【解答】（1）证明：如图1，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，[来源:学#科#网]
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
（2）解：结论：DE=AD﹣BE．
理由：如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC﹣CD=AD﹣BE．
（3）解：结论：DE=BE﹣AD．
理由如下：如图3，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CED=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．
20. （1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：　AD=DE　；

（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请直接写出△ABC与△ADE的面积之比．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BFD=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴DF=BD，∠BFD=60°，
∵BD=CD，
∴DF=CD
∴∠AFD=120°．
∵EC是外角的平分线，
∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠EDC=30°，
在△AFD与△EDC中，
，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；[来源:学科网]
（2）AD=DE；
证明：如图2，过点D作DF∥AC，交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，[来源:Zxxk.Com]
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BFD=60°，
∴△BDF是等边三角形，BF=BD，∠BFD=60°，
∴AF=CD，∠AFD=120°，
∵EC是外角的平分线，
∠DCE=120°=∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠FAD=∠EDC，
在△AFD≌△DCE中，
，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；
（3）解：∵BC=CD，
∴AC=CD，
∵CE平分∠ACD，
∴CE垂直平分AD，
∴AE=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴△ABC∽△ADE，
在Rt△CDO中，，
∴，∴，
∴==．