绵阳市高中2019级第三次诊断性考试——理数（WORD版含答案）练习题

这是一份绵阳市高中2019级第三次诊断性考试——理数（WORD版含答案）练习题，共10页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数，则z的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．估计这批产品该项质量指标的众数为45
C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5
4．已知，是两个不同的平面，m是一条直线，若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
5．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．的图象关于点对称
C．为奇函数D．的图象关于直线对称
6．若抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，且，则（ ）
A．B．C．2D．4
7．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）
A．B．1C．D．
8．在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（ ）
A．11.5尺B．13.5尺C．12.5尺D．14.5尺
9．已知曲线在处的切线为l，若l与相切，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．将5名支援某地区抗疫的医生分配到A、B、C三所医院，要求每所医院至少安排1人，则其中甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形．将该几何体完全放置在一个球内，则满足条件的球的最小体积为（ ）
A．B．C．D．
12．在给出的①；②；③．三个不等式中，正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线（其中，）的焦距为，其中一条渐近线的斜率为2，则______．
14．在等边△ABC中，，，则______．
15．已知数列的前n项和为，若，，则______．
16．在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近于点的三等分点，点Q为棱CD上一动点．若M为平面与平面的公共点，N为平面与平面ABCD的公共点，且点M，N都在正方体的表面上，则由所有满足条件的点M，N构成的区域的面积之和为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积S．
18．（12分）
随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：
（1）根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；（结果保留整数）
（2）若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程为，经计算该模型和第（1）问中模型的（为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别利用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值 ；
（3）你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由．
参考数据：设，其中．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
19．（12分）
在四棱锥中，底面ABCD为梯形，已知，，，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）证明：平面PCD；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
20．（12分）
已知椭圆（其中）的离心率为，直线与E交于，两点，且，当时，．
（1）求椭圆E的方程；
（2）在直线上是否存在点P，使得，，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）
函数．
（1）若函数有2个零点，求实数a的取值范围；
（2）若函数在区间上最大值为m，最小值为n，求的最小值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的方程为．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线E的极坐标方程为，．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；
（2）若E与l交于点A，E与C交于点B，求的取值范围．
23．【选修4—5：不等式选讲】（10分）
已知函数．
（1）求关于x的不等式的解集；
（2）求证：．
绵阳市高中2019级第三次诊断性考试
理科数学参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
DBCAD ABBAB DC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．24． 15．91 16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解：（1）∵，
由正弦定理得，
即． ……………………………………………………………………2分
∵tanC=-3，A+B+C=π，
∴，
解得tanB=1或-2．
∵tanC=-3，
∴C为钝角，B为锐角，
∴tanB=1，即．……………………………………………………………………6分
（2）∵tanC=-3，
∴，． ……………………………………………………8分
∵A+B+C=π，∴A =π-(B+C)，
∴
． ………10分
由正弦定理，得．
∵c=3，
∴．
∴△ABC的面积． ……………………………12分
18．解：（1）∵，∴，
∴． …………………………………………………3分
又，∴．
∴y关于x的线性回归方程为． …………………………………………5分
（2）若利用线性回归模型，可得2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为
（万辆）．…………………………………………………………7分
若利用模型，则，
即．
∴2022年我国新能源乘用车的年销售量的
预测值为（万辆）．…………………………………………9分
（3）∵0.71<0.87，且越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，
∴用模型得到的预测值更可靠． ……………………………………12分
19．解：（1）证明：设点M为BC的中点，连接PM，MA．
∴，且PM=1．
在△ABM中，可得，且，
又//AD，且，
∴四边形AMCD为矩形，
∴//CD． …………………………………………………………………………2分
在△PAM中，可得，
∴，即．
又，，直线PM，BC均在平面PBC内，
∴．……………………………………………………………………4分
又平面PBC，
∴，
又，，
∴． ……………………………………………………………………6分
z
y
x
（2）以M为坐标原点，分别以MA，MC，MP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz．
由题意得M(0，0，0)，A(，0，0)，
P(0，0，1)，B(0，，0)，D(，1，0)，
∴(，0，)，(0，，)，
设平面PAB的一个法向量为n1=(x，y，z)．
不妨设，则n1=(，，3)．………………………………9分
同理可得平面PAD的一个法向量为n2=(，0，3)．
∴cs=．…………………………………………11分
由图可知，所求二面角的平面角为钝角，
∴二面角B-PA-D的平面角的余弦值为．……………………………………12分
20．解：（1）∵，，∴．…………………………………2分
∴，由题意得点A的坐标为．
代入椭圆方程得．
联立解得，．
∴椭圆E的方程为．………………………………………………………5分
（2）联立消y整理得．
由，解得．
由韦达定理得，① ．② …………………………7分
若存在点P，使得，，则．
且直线AP的斜率为，即．③ ………………9分
联立①②③得，解得或．
∴存在点P满足题意，此时或．………………………………………12分
21．解：（1）．
令，解得，，解得．
∴函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增． …………3分
当时，f(x)；当时，f(x)=x[lnx-(a+1)]+1．
∴要使得f(x)有2个零点，则，
解得a>0．………………………………………………………………………………5分
（2），．
= 1 \* rman i)当a≤0时，恒成立，函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，
∴m= f(e)=1-ae，n= f(1)=-a．∴m-n=(1-e)a+1．
令p(a)= (1-e)a+1，则函数p(a)在区间上单调递减，
∴函数p(a)最小值为h(0)=1． …………………………………………………………7分
= 2 \* rman ii) 当a≥1时，恒成立，函数f(x)在区间[1，e]上单调递减．
∴m= f(1)=-a，n= f(e)=1-ae，∴m-n=(e-1)a-1．
令h(a)=(e-1)a-1，则函数h(a)在区间上单调递增，
∴函数h(a)最小值为h(1)=e-2． ………………………………………………………9分
= 3 \* rman iii) 当0∴函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．
∴n= f(ea)=1- ea．
= 1 \* GB3 ①当时，f(1)- f(e)= (e-1)a-1≥0，此时m= f(1)=-a．
∴m-n= f(1)- f(ea)=ea-a-1．
令q(a)= ea-a-1，则>0．
∴函数q(a)在区间上单调递增，
∴函数q(a)的最小值为，
∴．………………………………………………11分
= 2 \* GB3 ②当时，由f(1)- f(e)= (e-1)a-1<0，∴m= f(e)=1-ae．
∴m-n= f(e)- f(ea)=ea-ae．
令(a)= ea-ae，则<0．
∴函数在区间(0，1)上单调递减，
∴．
综上，m-n的最小值为． ………………………………………………12分
22．解：（1）将直线l的参数方程消参，得直线l的普通方程为．
∵
又，∴，
∴曲线C的极坐标方程为． ……………………………………5分
（2）联立解得
∴点B的坐标为．…………………………………………………7分
由题意得直线l的极坐标方程为．
联立 解得
∴点A的坐标为．………………………………………………8分
∴．
∵∴ ∴，
∴，∴．
∴，即的取值范围是．……………………………………10分
23．解： = 1 \* GB3 ①当x≤1时，不等式等价于，解得，综合，；
当1当x≥2时，不等式等价于2x-3≥x+1，解得x≥4，综合，x≥4；
综上，不等式的解集为．…………………………………………5分
（2）证明：不等式等价于，
要证，只要证，
只要证，只要证，
上式显然成立，所以原不等式成立．…………………………………………………10分
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
6
新能源乘用车年销售y（万辆）
50
78
126
121
137
352
144
4.78
841
5.70
37.71
380
528