高中3.3 对数函数y=loga x的图像和性质教学设计

这是一份高中3.3 对数函数y=loga x的图像和性质教学设计，共14页。教案主要包含了教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。


《对数函数及其性质》
◆ 教材分析
本节内容是在学习了指数函数后， 通过具体实例了解对数函数模型的实际背景， 学习对
数的概念进而学习对数函数． 教材的编写中反映了指数函数与对数函数的很多对应关系， 为
反函数的提出作为铺垫． 本本节的重难点是对数函数的定义、 图像和性质．
数的问题时， 一要注意对数函数的定义域， 二要注意底数的取值范围的限制，
时一定要分类讨论．
解决有关对数函
需要分类讨论
◆ 教学目标
1．对数函数的概念， 熟悉对数函数的图像与性质规律 ． 掌握对数函数的性质，能初步运用
性质解决问题．
2． 让学生通过观察对数函数的图像， 数图像，体会两种函数的单调性差异
发现并归纳对数函数的性质 ． 学生通过观察和类比函
．
3．培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力，体会指数函数与对数函数互为反函数，
培养学生严谨的科学态度 ．
◆ 教学重难点
【教学重点】
理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质 ． 理解指数函数与对数函数内在联系 ．
【教学难点】
底数 a 对图像的影响及对数函数性质的作用．
◆ 课前准备
回顾指数与指数函数的性质和对数与对数的运算，阅读材料《对数的发明》 ．
◆ 教学过程
1．设置情境
1 / 7
y lg 0.5 的图象。
x
2 2． 58
4 6
1
2
－ 1
2
1
1
0
8
3
在 2． 2． 1
每一个 C14 含量
的例 6 中， 考古学家利用 lg 1 P 估算出土文物或古遗址的年代，对于
5730
2
P，通过关系式，都有唯一确定的年代 t与之对应．同理，对于每一个对数
式 y lg 中的 x， 任取一个正的实数值， y 均有唯一的值与之对应， 所以
的函数．
2．探索新知
一般地，我们把函数 y lga x （ a ＞0 且 a ≠1）叫做对数函数，其中 数的定义域是（ 0， +∞）．
y lg 关于 x
x
是自变量，函
提问： （ 1）在函数的定义中，为什么要限定 a ＞0 且 a ≠1．
（2）为什么对数函数 y lga x （ a ＞ 0 且 a ≠1）的定义域是（ 0， +∞）．组织学生充
分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解 ．
答：①根据对数与指数式的关系，知 y lga x 可化为 ay x ，由指数的概念，要使
ay x 有意义，必须规定 a ＞ 0 且 a ≠1．
②因为 y lga x 可化为 x ay ，不管 y 取什么值，由指数函数的性质，
x (0, )．
下面我们来研究函数的图像，并通过图像来研究函数的性质：
ay ＞0，所以
先完成 P81 表 2 －3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数
电脑软件画出
x
y
y lg2 x的图象, 再利用
12 16
3． 58 4
y
y lg 0.5 x
０ x
y lg 2 x
2 / 7
注意到：
( x, y)在y
的图像与 y
lg 2 x 的图像关于 x 轴对称 ． 所以，由此我们可以画出 y lg 1 x 的图像 ．
2
y lg 1 x lg 2 x ，若点 (x , y)在y
2
lg 1 x 的图像上 ． 由于（ x, y）与（ x,
2
lg 2 x 的图像上，则点
y）关于 x 轴对称， 因此， y lg 1 x
2
先由学生自己画出 y lg 1 x 的图像，再由电脑软件画出 y lg 2 x 与 y lg 1 x 的图像 ．
2 2
探究： 选取底数 a( a＞ 0，且 a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的
对数函数的图像．观察图像，你能发现它们有哪些特征吗？
-5 5
0
y lg 1 x
-2 y lg x
3
提问： 通过函数的图像， 你能说出底数与函数图像的关系吗？函数的图像有何特征， 性质又
-4
如何？
先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质 ． （投影）
作法：
用多媒体再画出4
y
lg 4 x，
y
lg3 x， y lg 1 x 和 y
3
y lg 3 x
y lg 4 x
lg 1 x
4
2
图像的特征
（ 1）图像都在 y 轴的右边
函数的性质
（ 1）定义域是（ 0， +∞）
（2）函数图像都经过（ 1， 0）点
（ 3） 从左往右看， 当 a ＞ 1 时，图像逐渐上 升，当 0＜ a＜ 1 时，图像逐渐下降
（ 2） 1 的对数是 0
（ 3）当 a ＞ 1 时， y lg 是增函数，
当 0＜ a ＜1 时， y lga x是减函数
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图 像 性 质
x |x 0 ． x |x ＜ 4 ．
（4）当 a ＞1 时，函数图像在（ 1， 0）点右
边的纵坐标都大于 0，在（ 1， 0）点左边的
纵坐标都小于 0． 当 0＜ a＜ 1 时， 图像正好
相反，在（ 1， 0）点右边的纵坐标都小于 0，
在（ 1， 0）点左边的纵坐标都大于 0．
（ 4）当 a ＞ 1 时：
x ＞ 1，则 lga x ＞ 0；
0＜ x ＜ 1， lga x ＜0；
当 0＜ a ＜1 时：
x ＞1，则 lga x ＜0；
0＜ x ＜ 1， lga x ＜0．
由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、
引导）：
a ＞ 1
y
3
2
1
O
-1 1 2 3 4 x
-1
-2
-3
（ 1）定义域（ 0， +∞）；
（2）值域 R；
（ 3）过点（ 1， 0），即当 x =1， y =0；
（4）在（ 0， +∞）上是增函数
0＜ a ＜ 1
y
3
2
1
O
-1 1 2 3 4 x
-1
-2
-3
在（ 0， +∞）是上减函数
3．例题讲解
例 1 求下列函数的定义域
（ 1） y lg a x2
分析：由对数函数的定义知：
（2） y lg a(4 x) （ a ＞0 且 a ≠1） x2 ＞0； 4 x ＞0，解出不等式就可求出定义域．
解： （ 1）因为 x 2 ＞0，即 x ≠0，所以函数 y lg ax2 的定义域为
（2）因为 4 x ＞0，即 x ＜4，所以函数 y lga(4 x ) 的定义域为 例 2 比较下列各组数中的两个值大小
（ 1） lg2 3.4 , lg2 8.5
（2） lg0.3 1.8 , lg 0.3 2.7
（ 3） lga5.1, lg a 5.9 （ a ＞0，且 a ≠1）
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分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：
（ 1）解法 1：用图形计算器或多媒体画出对数函数
y lg 2 x 的图像． 在图像上，横
坐标为 3、 4 的点在横坐标为 8． 5 的点的下方：
所以， lg 2 3.4 lg2 8.5
解法 2：由函数 y lg 2 x在R +上是单调增函数， 且 3．4＜ 8．5，所以 lg2 3.4 lg 2 8.5．
解法 3：直接用计算器计算得： lg2 3.4 1.8， lg2 8.5 3.1
（2）第（ 2）小题类似
（ 3）注：底数是常数，但要分类讨论 a 的范围，再由函数单调性判断大小 ． 解法 1：当 a ＞ 1 时， y lga x在（ 0，＋ ∞）上是增函数，且 5． 1＜ 5． 9．
所以， lg a 5.1 lga 5.9
当 a 1 时， y lga x 在（ 0，＋ ∞）上是减函数，且 5． 1＜ 5． 9．
所以， lg a 5.1 lga 5.9
解法 2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，
令 b1 lga 5.1,则ab1 5.1, 令 b2 lga5.9,则ab2 5.9, 则 则ab2 5.9
当 a ＞ 1 时， y ax 在 R 上是增函数，且 5． 1＜ 5． 9
所以， b1 ＜ b2 ，即 lg a 5.1 ＜ lga 5.9
当 0＜ a ＜ 1 时， y ax 在 R 上是减函数，且 5． 1＞ 5． 9
所以， b1 ＜ b2 ，即 lg a 5.1 ＞ lga 5.9
说明：先画图像，由数形结合方法解答
4．课堂练习：
教材对应习题．
5．反函数
5 / 7
x
2 得x
探究：在指数函数 y 2x 中， x为自变量， y 为因变量，如果把 y 当成自变量， x 当
成因变量， 那么 x是 y 的函数吗？如果是， 那么对应关系是什么？如果不是， 请说明理由 ．
引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论 ．
在指数函数 y 2x 中， x 是自变量， y 是 x 的函数（ x R, y R ），而且其在 R 上
是单调递增函数 ． 过 y 轴正半轴上任意一点作 x轴的平行线，与 y 2x 的图像有且只有一
个交点 ． 由指数式与对数式关系， y x lg 2 y ，即对于每一个 y ，在关系式
x lg2 y 的作用之下，都有唯一的确定的值 x和它对应，所以，可以把 y 作为自变量， x
作为 y 的函数，我们说 x lg 2 y是y 2x (x R)的反函数 ．
从我们的列表中知道， y 2x与x lg2 y是同一个函数图像 ．
引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）
当一个函数是一一映射时， 可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量， 而把这
个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数 ．
由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数 ．
如 x lg3 y是y 3 的反函数，但习惯上，通常以
x lg 3 y 中的 x , y写成 y lg3 x， 这样 y lg3 x
的反函数 ．
以后，我们所说的反函数是 x , y对调后的函数，如
x 表示自变量， y 表示函数，对调
x
x (0, ) 是指数函 y 3 (x R)
y 2x(x R) 的反函数是
y lg 2 x x (0, )．
同理， y ax ( a 1且a ＞ 1）的反函数是 y lga x(a ＞0 且 a 1)．
课堂练习：求下列函数的反函数
（ 1） y 5x （2） y lg 0.5 x
补充练习
1．已知函数 y f (2x ) 的定义域为 [-1， 1]，则函数 y f (lg 2 x) 的定义域为 ．
6 / 7
b b
1 1
2．求函数 y 2 lg 2 x(x 1) 的值域 ．
3．已知 lgm 7 ＜ lgn 7 ＜0，按大小顺序排列 m， n， 0， 1．
4．已知 0＜ a ＜ 1， b＞ 1， ab＞ 1．
6．归纳小结：
（ 1）对数函数的概念必要性与重要性；
（2）对数函数的性质，列表展现 ．
（ 3）反函数．
7．布置作业
教材对应习题．
◆ 教学反思
略．
比较 lga ,lga b,lg b 的大小 ．
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