选择性必修第一册 第4章 习题课　等差数列的性质的综合问题试卷

这是一份选择性必修第一册 第4章 习题课　等差数列的性质的综合问题试卷，共10页。

习题课　等差数列的性质的综合问题学习目标　1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.2.掌握等差数列中项的设法．一、等差数列的实际应用例1　《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为(　　)A．15.5尺 B．12.5尺 C．9.5尺 D．6.5尺答案　D解析　设该等差数列为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，冬至、小寒、大寒…芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，由题意可得，a1＋a4＋a7＝37.5，即a4＝12.5，又a12＝4.5，所以d＝eq \f(a12－a4,12－4)＝－1.所以立夏的日影子长为a10＝a4＋6d＝12.5－6＝6.5(尺)．反思感悟　解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中．(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．跟踪训练1　某企业2020年7月份到12月份的月产量(单位：吨)逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产量为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为(　　)A．48吨 B．54吨C．60吨 D．66吨答案　C解析　设2020年n(1≤n≤12，n∈N*)月的产量为an，由题意可知，数列{an}是等差数列，则a7＝10，a12＝20，则8月到11月这四个月的产量之和为a8＋a9＋a10＋a11＝2(a7＋a12)＝60(吨)．二、等差数列中项的设法例2　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解　(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－da＝6a＋d，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－1，))所以这三个数为4,3,2.(2)设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.反思感悟　等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式．(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出．(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出．跟踪训练2　已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为eq \f(85,9)，求这5个数．解　设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，,a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝\f(85,9)，))整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5a＝5，,5a2＋10d2＝\f(85,9).))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,d＝±\f(2,3).))当d＝eq \f(2,3)时，这5个数分别是－eq \f(1,3)，eq \f(1,3)，1，eq \f(5,3)，eq \f(7,3)；当d＝－eq \f(2,3)时，这5个数分别是eq \f(7,3)，eq \f(5,3)，1，eq \f(1,3)，－eq \f(1,3).综上，这5个数分别是－eq \f(1,3)，eq \f(1,3)，1，eq \f(5,3)，eq \f(7,3)或eq \f(7,3)，eq \f(5,3)，1，eq \f(1,3)，－eq \f(1,3).三、等差数列的综合应用例3　若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为eq \f(1,4)的等差数列，则数列的公差d＝________，m＋n的值为________．答案　eq \f(1,6)　eq \f(31,72)解析　设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m>0,1－4n>0)．设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.由题意知x1＝eq \f(1,4)，∴x2＝eq \f(3,4)，数列的公差d＝eq \f(\f(3,4)－\f(1,4),4－1)＝eq \f(1,6)，∴数列的中间两项分别为eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＝eq \f(5,12)，eq \f(5,12)＋eq \f(1,6)＝eq \f(7,12).∴x1·x2＝m＝eq \f(3,16)，x3·x4＝n＝eq \f(5,12)×eq \f(7,12)＝eq \f(35,144).∴m＋n＝eq \f(3,16)＋eq \f(35,144)＝eq \f(31,72).反思感悟　解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项．(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式．(3)利用函数或不等式的有关方法解决．跟踪训练3　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.答案　27解析　方法一　由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.方法二　设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.1．知识清单：(1)等差数列的实际应用．(2)等差数列中项的设法．(3)等差数列的综合应用．2．方法归纳：解方程组法．3．常见误区：对等差数列的性质不理解而致错．1．已知等差数列1，a1，a2,9，则a2－a1的值为(　　)A．8 B．－8 C．±8 D.eq \f(8,3)答案　D解析　根据等差数列1，a1，a2,9知，1和9是该数列的第一项和第四项，所以a2－a1＝eq \f(9－1,4－1)＝eq \f(8,3).2．在等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a2＋a5＝10，a3＋a6＝14，则a5＋a8等于(　　)A．12 B．22 C．24 D．34答案　B解析　设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公差为d，则d＝eq \f(a3＋a6－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋a5)),2)＝eq \f(14－10,2)＝2，故a5＋a8＝a5＋a2＋6d＝10＋6×2＝22.3．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是(　　)A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为d的等差数列C．新数列是公差为2d的等差数列D．新数列是公差为3d的等差数列答案　C解析　因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．4．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金(　　)A．多eq \f(8,21)斤 B．少eq \f(8,21)斤C．多eq \f(1,3)斤 D．少eq \f(1,3)斤答案　A解析　设十等人得金从高到低依次为a1，a2，…，a10，则{an}为等差数列，设公差为d，则由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝4，,a8＋a9＋a10＝3，))∴a2＝eq \f(4,3)，a9＝1，∴d＝eq \f(a9－a2,7)＝－eq \f(1,21)，∴a1－a9＝－8d＝eq \f(8,21).即等级较高一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多eq \f(8,21)斤．课时对点练1．已知各项不为0的等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))满足a6－aeq \o\al(2,7)＋a8＝0，则a7等于(　　)A．1 B．8 C．4 D．2答案　D解析　因为各项不为0的等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))满足a6－aeq \o\al(2,7)＋a8＝0，所以2a7－aeq \o\al(2,7)＝0，解得a7＝2或a7＝0(舍去)．2．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为(　　)A．0 B．37 C．100 D．－37答案　C解析　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列．又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.3．已知等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的首项是2，公差为deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d∈Z))，且eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中有一项是14，则d的取值的个数为(　　)A．3 B．4 C．6 D．7答案　C解析　等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的首项是2，公差为deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d∈Z))，有一项是14，∴设第n项为14，有an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)d＝14，即(n－1)d＝12，由n∈N*知，n－1>0，n－1∈N*，而12＝1×12＝2×6＝3×4，∴d的取值有1,2,3,4,6,12.4．若三个数成等差数列，它们的和为12，积为－36，则这三个数的平方和为(　　)A．98 B．88 C．78 D．68答案　A解析　设这三个数为a－d，a，a＋d，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝12，,a－daa＋d＝－36，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝－5.))∴这三个数为－1,4,9或9,4，－1.∴它们的平方和为98.5．已知等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)A．无实根 B．有两个相等的实根C．有两个不等的实根 D．不能确定有无实根答案　A解析　因为a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，所以a5＝3，则方程为x2＋6x＋10＝0，因为Δ＝62－4×10＝－4<0，所以方程无实根．6．(多选)已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2 021是该数列的一项，则公差d不可能是(　　)A．2 B．3 C．4 D．5答案　BCD解析　由2 021是该数列的一项，得2 021＝3＋(n－1)d，所以n＝eq \f(2 018,d)＋1，因为d∈N*，所以d是2 018的约数，故d不可能是3,4和5.7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．答案　－21解析　设这三个数为a－d，a，a＋d，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－d2＋a2＋a＋d2＝59.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－4.))∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.8．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．答案　1或2解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.9．四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数．解　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a＝26，,a2－d2＝40，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝\f(3,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝－\f(3,2).))又四个数成递减等差数列，所以d<0，所以d＝－eq \f(3,2)，故所求的四个数为11,8,5,2.10．已知数列{an}满足an＋1＝eq \f(1＋an,3－an)(n∈N*)，且a1＝0.(1)求a2，a3；(2)是否存在一个实数λ，使得数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))为等差数列，请说明理由．解　(1)因为a1＝0，an＋1＝eq \f(1＋an,3－an)(n∈N*)，所以a2＝eq \f(1＋a1,3－a1)＝eq \f(1,3)，a3＝eq \f(1＋a2,3－a2)＝eq \f(1,2).(2)假设存在一个实数λ，使得数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))为等差数列，所以eq \f(2,a2－λ)＝eq \f(1,a1－λ)＋eq \f(1,a3－λ)，即eq \f(2,\f(1,3)－λ)＝eq \f(1,0－λ)＋eq \f(1,\f(1,2)－λ)，解得λ＝1.因为eq \f(1,an＋1－1)－eq \f(1,an－1)＝eq \f(1,\f(1＋an,3－an)－1)－eq \f(1,an－1)＝eq \f(3－an,2an－1)－eq \f(1,an－1)＝eq \f(1－an,2an－1)＝－eq \f(1,2)，又eq \f(1,a1－1)＝－1，所以存在一个实数λ＝1，使得数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))是首项为－1，公差为－eq \f(1,2)的等差数列．11．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则(　　)A．d>0 B．d<0C．a1d>0 D．a1d<0答案　D解析　由数列为递减数列，得，再由指数函数性质得a1an－1>a1an，由等差数列的公差为d知，an－an－1＝d，所以a1an－1>a1an⇒a1an－a1an－1<0⇒a1(an－an－1)<0⇒a1d<0.12．周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))等于(　　)A.eq \f(5,16) B.eq \f(5\r(3),16) C.eq \f(11,16) D.eq \f(3\r(15),16)答案　D解析　由题可设三边长分别为a－1，a，a＋1，因为三角形周长为9，∴a－1＋a＋a＋1＝9，解得a＝3，所以三边长分别为2,3,4，由余弦定理可得cos α＝eq \f(22＋32－42,2×2×3)＝－eq \f(1,4)，∴sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \f(\r(15),4)，同理cos β＝eq \f(7,8)，sin β＝eq \f(\r(15),8)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝sin αcos β＋cos αsin β＝eq \f(\r(15),4)×eq \f(7,8)－eq \f(1,4)×eq \f(\r(15),8)＝eq \f(3\r(15),16).13．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的eq \f(1,7)等于较小的两份之和，则最小的一份为(　　)A.eq \f(5,3) B.eq \f(10,3)C.eq \f(5,6) D.eq \f(11,6)答案　A解析　设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d>0，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，∴a＝20.由eq \f(1,7)(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a，∴d＝eq \f(55,6)，∴最小的一份为a－2d＝20－eq \f(110,6)＝eq \f(5,3).14．在等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a2＝3，若从第5项开始为负数，则公差d的取值范围是________．答案　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))解析　∵等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))从第5项开始为负数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a5<0，,a4≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋3d<0，,a2＋2d≥0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3＋3d<0，,3＋2d≥0，))解得－eq \f(3,2)≤d<－1.15．一个三角形的三个内角A，B，C成等差数列，其三边a，b，c也成等差数列，则该三角形的形状为________．答案　等边三角形解析　由三边成等差数列，得2b＝a＋c，三角形的三个内角A，B，C成等差数列，则2B＝A＋C且A＋B＋C＝π，得B＝eq \f(π,3).由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos 60°，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2＝a2＋c2－ac.即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))2＝4a2＋4c2－4ac，整理得a2＋c2－2ac＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c))2＝0，所以a＝c.所以在三角形中A＝C，B＝eq \f(π,3)，则A＝C＝B＝eq \f(π,3).所以该三角形为等边三角形．16．设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))(n＝1,2，…)是等差数列，且公差为d，若数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．(1)若a1＝4，d＝2，求证：该数列是“封闭数列”；(2)试判断数列an＝2n－7eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))是否为“封闭数列”，为什么？(1)证明　∵a1＝4，d＝2，∴an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.∴对任意的m，n∈N*，有am＋an＝(2m＋2)＋(2n＋2)＝2(m＋n＋1)＋2.∵m＋n＋1∈N*，令p＝m＋n＋1，则有ap＝2p＋2，它是该数列的项．∴该数列是“封闭数列”．(2)解　∵an＝2n－7eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))，∴a1＝－5，a2＝－3.∴a1＋a2＝－8.令an＝a1＋a2＝－8⇒2n－7＝－8⇒n＝－eq \f(1,2)∉N*.∴数列an＝2n－7eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))不是“封闭数列”．