高考复习《空间中两直线的位置关系》课时作业8.3

这是一份高考复习《空间中两直线的位置关系》课时作业8.3，共9页。
1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
D 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.
2．(2020·佛山模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线( )
A．不存在 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有无数条
D
在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交．
3．(2020·济南模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
C 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.
4.
(2020·福州月考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C或其补角为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.
5．下列命题中，正确的是( )
A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线
B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面
C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行
D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条
D 对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．
对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，故B错误．
对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.
6．以下四个命题中，
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B
①显然是正确的；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③中构造长方体(或正方体)，如图所示，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．
7.
(2020·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析
还原成正四面体A－DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．
易知GH与EF异面，BD与MN异面．
又△GMH为等边三角形，
∴GH与MN成60°角，
易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.
因此正确的序号是②③④.
答案 ②③④
8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
解析 取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，且EH∩FH＝H，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交．
答案 4
9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为________．
解析 如图所示，
取BC中点D，连接MN，ND，AD.
∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，
∴MN綊eq \f(1,2)B1C1.又BD綊eq \f(1,2)B1C1，
∴MN綊BD，则四边形BDNM为平行四边形，因此ND∥BM，
∴∠AND为异面直线BM与AN所成的角(或其补角)．
设BC＝2，则BM＝ND＝eq \r(6)，AN＝eq \r(5)，AD＝eq \r(5)，
在△ADN中，由余弦定理得
cs∠AND＝eq \f(ND2＋AN2－AD2,2ND·AN)＝eq \f(\r(30),10).
故异面直线BM与AN所成角的余弦值为eq \f(\r(30),10).
答案 eq \f(\r(30),10)
10．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是
正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
解析 取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝eq \r(2)AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为eq \r(2)，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为eq \r(2).
答案 eq \r(2)
11．(2020·石家庄调研)如图，在
正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．
证明 如图，连接BD，B1D1，
则BD∩AC＝O，
∵BB1綊DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，
B1D⊂平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.
即D1，H，O三点共线．
12．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90
°，BC＝eq \r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
解 如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，
∵在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，
∴EF∥CD.
∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角．
在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)，
∴BE＝eq \f(\r(5),2).
在Rt△EAF中，AF＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)，AE＝eq \f(1,2)，
∴EF＝eq \f(\r(2),2).
在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝eq \f(1,2)，∴BF＝eq \f(\r(5),2).
在等腰三角形EBF中，cs∠FEB＝eq \f(\f(1,2)EF,BE)＝eq \f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(10),10).
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).
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13．(2019·江西百所名校模拟)已知△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD.在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D．π
C 由题意知，平面BCD⊥平面ACD，且BP⊥平面ACD，那么随着点D的变化，BP⊥CD始终成立，可得在平面ABC中，BP⊥CP始终成立，即得点P的轨迹是以BC为直径的圆的一部分，由题知随着点D的变化，∠BCD的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，可得点P的轨迹是以BC为直径的圆的eq \f(1,3)，即得点P的轨迹长度为eq \f(1,3)×2π×1＝eq \f(2π,3).
14．(2020·山西四校联考)如图，
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是( )
A．4π B．π
C．2π D.eq \f(π,2)
D 连接DN，则△MDN为直角三角形，
在Rt△MDN中，MN＝2，P为MN的中点，连接DP，则DP＝1，所以点P在以D为球心，半径R＝1的球面上，又因为点P只能落在正方体上或其内部，所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的eq \f(1,8)，故所求面积S＝eq \f(1,8)×4πR2＝eq \f(π,2).
15．(2020·郑州质检)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是________．(填序号)
①BM是定值；
②点M在某个球面上运动；
③存在某个位置，使DE⊥A1C；
④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.
解析 取DC的中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D且MF＝eq \f(1,2)A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.
由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cs∠MFB 是定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得①②正确；由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；若存在某个位置，使DE⊥A1C，则因为DE2＋CE2＝CD2，即CE⊥DE，因为A1C∩CE＝C，则DE⊥平面A1CE，所以DE⊥A1E，与DA1⊥A1E矛盾，故③不正确．
答案 ③
16．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(1,3)
A 如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，
∵α∥平面CB1D1，则m1∥m，
又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面CB1D1∩平面A1B1C1D1
＝B1D1，∴B1D1∥m1，
∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.
故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，
即∠CD1B1的大小．
又∵B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，
∴∠CD1B1＝eq \f(π,3)，
得sin∠CD1B1＝eq \f(\r(3),2)，故选A.