2021-2022学年福建省漳州市龙海市第二中学中考数学四模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（   ）

A． B．

C． D．

2．如图，PB切⊙O于点B，PO交⊙O于点E，延长PO交⊙O于点A，连结AB，⊙O的半径OD⊥AB于点C，BP=6，∠P=30°，则CD的长度是（　　）

A． B． C． D．2

3．中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是(    )

A． B． C． D．

4．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）

A．4    B．5    C．6    D．7

5．的倒数的绝对值是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为(   )

A．2 B．3 C．4 D．5

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sin∠B等于(　　)

A． B． C． D．

8．如图，在中，，，，则等于（   ）

A． B． C． D．

9．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．对于一条直线，当它与一个圆的公共点都是整点时，我们把这条直线称为这个圆的“整点直线”．已知⊙O是以原点为圆心，半径为 圆，则⊙O的“整点直线”共有（    ）条

A．7 B．8 C．9 D．10

10．下列算式中，结果等于a5的是（　　）

A．a2+a3 B．a2•a3 C．a5÷a D．（a2）3

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，已知，点为边中点，点在线段上运动，点在线段上运动，连接，则周长的最小值为______．

12．对于任意非零实数a、b，定义运算“”，使下列式子成立：，，，，…，则ab=　  　．

13．因式分解：a2b-4ab+4b=______．

14．钓鱼岛周围海域面积约为170000平方千米，170000用科学记数法表示为______．

15．已知b是a，c的比例中项，若a=4，c=16，则b=________．

16．如图，以原点O为圆心的圆交X轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD=      .

17．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　   　．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C；抛物线y=x2+bx+c经过点B、C，与x轴的另一个交点为点A（点A在点B的左侧），对称轴为l1，顶点为D．

（1）求抛物线y=x2+bx+c的解析式．

（2）点M（1，m）为y轴上一动点，过点M作直线l2平行于x轴，与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），且x2＞x1＞1．

①结合函数的图象，求x3的取值范围；

②若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，求m的值．

19．（5分）中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富．某班模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全班同学成绩进行统计后分为“A优秀”、“B一般”、“C较差”、“D良好”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，回答下列问题：

（1）本班有多少同学优秀？

（2）通过计算补全条形统计图．

（3）学校预全面推广这个比赛提升学生的文化素养，估计该校3000人有多少人成绩良好？

20．（8分）计算: .

21．（10分）解不等式组．

22．（10分）计算：|﹣2|+2cos30°﹣（﹣）2+（tan45°）﹣1

23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为弧BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由若AD=2，AC=，求⊙O的半径．

24．（14分）解不等式组：．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】
此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．

【详解】

解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，

又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．

故选D．

点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．

2、C

【解析】
连接OB，根据切线的性质与三角函数得到∠POB=60°，OB=OD=2，再根据等腰三角形的性质与三角函数得到OC的长，即可得到CD的长.

【详解】

解：如图，连接OB，

∵PB切⊙O于点B，

∴∠OBP=90°，

∵BP=6，∠P=30°，

∴∠POB=60°，OD=OB=BPtan30°=6×=2，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=30°，

∵OD⊥AB，

∴∠OCB=90°，

∴∠OBC=30°，

则OC=OB=，

∴CD=.

故选：C．

【点睛】

本题主要考查切线的性质与锐角的三角函数，解此题的关键在于利用切线的性质得到相关线段与角度的值，再根据圆和等腰三角形的性质求解即可.

3、C

【解析】
根据中心对称图形的概念进行分析．

【详解】

A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．

【点睛】

考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4、C

【解析】

试题分析：∵解不等式得：，解不等式，得：x≤5，∴不等式组的解集是，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，故选C．

考点：一元一次不等式组的整数解．

5、D

【解析】
直接利用倒数的定义结合绝对值的性质分析得出答案．

【详解】

解：−的倒数为−,则−的绝对值是：.

故答案选：D.

【点睛】

本题考查了倒数的定义与绝对值的性质，解题的关键是熟练的掌握倒数的定义与绝对值的性质.

6、B

【解析】

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=90°，

∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，

∵∠GEF=90°，

∴∠GEA+∠FEB=90°，

∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，

∴△AEG∽△BFE，

∴，

又∵AE=BE，

∴AE2=AG•BF=2，

∴AE=（舍负），

∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，

∴GF的长为3，

故选B.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．

7、A

【解析】
根据锐角三角函数的定义得出sinB等于∠B的对边除以斜边，即可得出答案．

【详解】

根据在△ABC中，∠C=90°，

那么sinB= =，

故答案选A.

【点睛】

本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练的掌握锐角三角函数的定义.

8、A

【解析】

分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．

详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，

∴BC=，

∴sinA=.

故选：A．

点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．

9、D

【解析】

试题分析：根据圆的半径可知：在圆上的整数点为(2，2)、(2，-2)，(-2，-2)，(-2，2)这四个点，经过任意两点的“整点直线”有6条，经过其中的任意一点且圆相切的“整点直线”有4条，则合计共有10条.

10、B

【解析】

试题解析：A、a2与a3不能合并，所以A选项错误；

B、原式=a5，所以B选项正确；

C、原式=a4，所以C选项错误；

D、原式=a6，所以D选项错误．

故选B．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、

【解析】
作梯形ABCD关于AB的轴对称图形，将BC'绕点C'逆时针旋转120°，则有GE'=FE'，P与Q是关于AB的对称点，当点F'、G、P三点在一条直线上时，△FEP的周长最小即为F'G+GE'+E'P，此时点P与点M重合，F'M为所求长度；过点F'作F'H⊥BC'，M是BC中点，则Q是BC'中点，由已知条件∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，可得C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，所以F'H=，HC'=1，在Rt△MF'H中，即可求得F'M．

【详解】

作梯形ABCD关于AB的轴对称图形，

作F关于AB的对称点G，P关于AB的对称点Q，

∴PF=GQ，

将BC'绕点C'逆时针旋转120°，Q点关于C'G的对应点为F'，

∴GF'=GQ，

设F'M交AB于点E'，

∵F关于AB的对称点为G，

∴GE'=FE'，
∴当点F'、G、P三点在一条直线上时，△FEP的周长最小即为F'G+GE'+E'P，此时点P与点M重合，

∴F'M为所求长度；
过点F'作F'H⊥BC'，
∵M是BC中点，
∴Q是BC'中点，
∵∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，
∴C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，
∴F'H=，HC'=1，

∴MH=7，
在Rt△MF'H中，F'M；
∴△FEP的周长最小值为．
故答案为：．

【点睛】

本题考查了动点问题的最短距离，涉及的知识点有：勾股定理，含30度角直角三角形的性质，能够通过轴对称和旋转，将三角形的三条边转化为线段的长是解题的关键．

12、

【解析】

试题分析：根据已知数字等式得出变化规律，即可得出答案：

∵，，，，…，

∴。

13、

【解析】
先提公因式b，然后再运用完全平方公式进行分解即可.

【详解】

a2b﹣4ab+4b

=b（a2﹣4a+4）

=b（a﹣2）2，

故答案为b（a﹣2）2.

【点睛】

本题考查了利用提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键.

14、

【解析】

解：将170000用科学记数法表示为：1.7×1．故答案为1.7×1．

15、±8

【解析】
根据比例中项的定义即可求解.

【详解】

∵b是a，c的比例中项，若a=4，c=16，

∴b2=ac=4×16=64，

∴b=±8，

故答案为±8

【点睛】

此题考查了比例中项的定义，如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a∶b=b∶c或，那么线段b叫做线段a、c的比例中项.

16、65°

【解析】
解：由题意分析之，得出弧BD对应的圆周角是∠DAB，

所以，=40°，由此则有：∠OCD=65°

考点：本题考查了圆周角和圆心角的关系

点评：此类试题属于难度一般的试题，考生在解答此类试题时一定要对圆心角、弧、弦等的基本性质要熟练把握

17、．

【解析】
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，

要使在实数范围内有意义，必须.

故答案为

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（2）y=x2﹣4x+3；（2）①2＜x3＜4，②m的值为或2．

【解析】
（2）由直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C求得点B、C的坐标，再代入y=x2+bx+c求得b、c的值，即可求得抛物线的解析式；（2）①先求得抛物线的顶点坐标为D（2，﹣2），当直线l2经过点D时求得m=﹣2；当直线l2经过点C时求得m=3，再由x2＞x2＞2，可得﹣2＜y3＜3，即可﹣2＜﹣x3+3＜3，所以2＜x3＜4；②分当直线l2在x轴的下方时，点Q在点P、N之间和当直线l2在x轴的上方时，点N在点P、Q之间两种情况求m的值即可.

【详解】

（2）在y=﹣x+3中，令x=2，则y=3；

令y=2，则x=3；得B（3，2），C（2，3），

将点B（3，2），C（2，3）的坐标代入y=x2+bx+c

得：，解得

∴y=x2﹣4x+3；

（2）∵直线l2平行于x轴，

∴y2=y2=y3=m，

①如图①，y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣2，

∴顶点为D（2，﹣2），

当直线l2经过点D时，m=﹣2；

当直线l2经过点C时，m=3

∵x2＞x2＞2，

∴﹣2＜y3＜3，

即﹣2＜﹣x3+3＜3，

得2＜x3＜4，

②如图①，当直线l2在x轴的下方时，点Q在点P、N之间，

若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则得PQ=QN．

∵x2＞x2＞2，

∴x3﹣x2=x2﹣x2，

即 x3=2x2﹣x2，

∵l2∥x轴，即PQ∥x轴，

∴点P、Q关于抛物线的对称轴l2对称，

又抛物线的对称轴l2为x=2，

∴2﹣x2=x2﹣2，

即x2=4﹣x2，

∴x3=3x2﹣4，

将点Q（x2，y2）的坐标代入y=x2﹣4x+3

得y2=x22﹣4x2+3，又y2=y3=﹣x3+3

∴x22﹣4x2+3=﹣x3+3，

∴x22﹣4x2=﹣（3x2﹣4）

即 x22﹣x2﹣4=2，解得x2=，（负值已舍去），

∴m=（）2﹣4×+3=

如图②，当直线l2在x轴的上方时，点N在点P、Q之间，

若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则得PN=NQ．

由上可得点P、Q关于直线l2对称，

∴点N在抛物线的对称轴l2：x=2，

又点N在直线y=﹣x+3上，

∴y3=﹣2+3=2，即m=2．

故m的值为或2．

【点睛】

本题是二次函数综合题，

本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、线段的中点及分类讨论思想等知识．在（2）中注意待定系数法的应用；在（2）①注意利用数形结合思想；在（2）②注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

19、（1）本班有4名同学优秀；（2）补图见解析；（3）1500人.

【解析】
（1）根据统计图即可得出结论；

（2）先计算出优秀的学生，再补齐统计图即可；

（3）根据图2的数值计算即可得出结论.

【详解】

（1）本班有学生：20÷50%=40（名），

本班优秀的学生有：40﹣40×30%﹣20﹣4=4（名），

答：本班有4名同学优秀；

（2）成绩一般的学生有：40×30%=12（名），

成绩优秀的有4名同学，

补全的条形统计图，如图所示；

（3）3000×50%=1500（名），

答：该校3000人有1500人成绩良好．

【点睛】

本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的知识点.

20、10

【解析】

【分析】先分别进行0次幂的计算、负指数幂的计算、二次根式以及绝对值的化简、特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.

【详解】原式=1+9-+4

=10-+

=10.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到0指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.

21、x＜﹣1．

【解析】

分析：

按照解一元一次不等式组的一般步骤解答即可.

详解：

，

由①得x≤1，

由②得x＜﹣1，

∴原不等式组的解集是x＜﹣1．

点睛：“熟练掌握一元一次不等式组的解法”是正确解答本题的关键.

22、1

【解析】
本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值、负指数幂、二次根式化简、乘方5个考点，先针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．

【详解】

解：原式＝2﹣+2×﹣3+1

＝1．

【点睛】

本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型，解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、特殊角的三角函数值、负指数幂、二次根式化简、乘方等考点的运算．

23、（1）直线CD与⊙O相切；（2）⊙O的半径为1.1．

【解析】
（1）相切，连接OC，∵C为的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，∴∠2=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；

（2）连接CE，∵AD=2，AC=，∵∠ADC=90°，∴CD==，∵CD是⊙O的切线，∴=AD•DE，∴DE=1，∴CE==，∵C为的中点，∴BC=CE=，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==2．

∴半径为1.1

24、﹣4≤x＜1

【解析】
先求出各不等式的

【详解】

解不等式x﹣1＜2，得：x＜1，

解不等式2x+1≥x﹣1，得：x≥﹣4，

则不等式组的解集为﹣4≤x＜1．

【点睛】

考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．