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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册2.2 直线与圆的位置关系背景图ppt课件
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册2.2 直线与圆的位置关系背景图ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，内容索引，3没有公共点，课堂小结，m＜－2或，m＞2，基础巩固，x－y＋5＝0等内容，欢迎下载使用。
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系.
一、直线与圆位置关系的判定
二、直线与圆相切的有关问题
三、直线截圆所得弦长问题
问题1 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
提示 转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解.
1.直线与圆的三种位置关系
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
消元得到一元二次方程的判别式Δ
注意点：直线与圆的位置关系常用几何方法判断.
例1 已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？
判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).当－2＜b＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点.当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点.当b＜－2或b＞2时，Δ＜0，方程组没有实数解，直线与圆没有公共点.
当d＜r，即－2＜b＜2时，圆与直线相交，有两个公共点.当d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点.当d＞r，|b|＞2，即b＜－2或b＞2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点.
反思感悟 直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
跟踪训练1 已知直线方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；
解 方法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4).
即直线与圆有两个公共点.方法二 已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
(2)只有一个公共点；
直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.
即直线与圆没有公共点.
例2 (1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是A.2 B.3 C.4 D.6
点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，
(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为_____________________.
解析 ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外.当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意.设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.
y＝4或3x＋4y－13＝0
因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
反思感悟 求过某一点的圆的切线方程(1)点(x0，y0)在圆上.①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－ ，由点斜式可得切线方程.②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0) 在圆外.①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.③过圆外一点的切线有两条.
跟踪训练2 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0
解析 x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为
问题2 已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？
提示 将直线方程与圆的方程联立解出交点A和B的坐标，
问题3 若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？
提示 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，
求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有
即AB＝ .
(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
＝ (直线l的斜率k存在且不为0).
注意点：(1)弦长公式的前提是判别式大于零.(2)斜率不存在时AB＝|y1－y2|.
例3 (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长AB；
解 联立直线l与圆C的方程，
所以交点为A(1,3)，B(2,0).
(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果AB＝8，求直线l的方程.
解 将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
反思感悟 (1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式.(2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况.
跟踪训练3 直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4 ，求l的方程.
解 根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，解得k＞0.
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2).
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
方法二 如图所示，OH是圆心到直线l的距离，OA是圆的半径，AH是弦长AB的一半.在Rt△AHO中，OA＝5，
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
1.知识清单：(1)直线与圆的三种位置关系.(2)圆的切线方程.(3)弦长公式.2.方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法.3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离
又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0).∴直线与圆相交但不过圆心.
2.设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是
解析 设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
3.直线x＋2y－5＋ ＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为_____.
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，
4.若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是________________.
解析 因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，
1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心
解析 圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离
又直线不过圆心(1，－1)，所以直线与圆相交但不过圆心.
2.已知圆(x－2)2＋y2＝9，则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为A.4 B.6 C.8 D.10
解析 设圆心为C，则C(2,0)，过点M的弦为直径时，长度最长为2×3＝6，过点M的弦以M为中点且与CM垂直时，长度最短，
3.(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2 ，则实数a的值为A.－1 B.3 C.0 D.4
解析 设圆的弦长为l，半径为r，圆心到直线的距离为d，
4.若直线l：x－3y＋n＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0交于A，B两点，A，B关于直线3x＋y＋m＝0对称，则实数m的值为A.1 B.－1 C.－3 D.3
解析 由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心C的坐标为(－1,2)，由题意可得A，B关于直线3x＋y＋m＝0对称，则直线3x＋y＋m＝0过圆心，所以3×(－1)＋2＋m＝0，解得m＝1.
5.如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)
解析 以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k>0)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，
6.一条光线从点(－2,3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为
解析 点(－2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为(－2，－3)，圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圆心为(3,2)，半径r＝1.设过点(－2，－3)且与已知圆相切的直线的斜率为k，则切线方程为y＝k(x＋2)－3，即kx－y＋2k－3＝0，
7.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为____________.
解析 由圆的方程可得，圆心为P(－1,2)，
所以直线方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.
8.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为______.
解析 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，
9.已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
解 圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2.当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，
所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.
解 当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
10.一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.
11.已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆(x－3)2＋(y－4)2＝49相切，则满足条件的直线l有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析 方法一 显然直线l有斜率，
即b2＝4(k2＋1)， ①又直线l与圆相切，
故满足条件的直线l只有一条.
方法二 如图，设圆心为P(3,4)，则OP＝5，又O到直线l的距离为2，且半径为7，P到l的距离为7，即当OP⊥l时符合题意，且只有这种情况符合题意，故满足条件的直线l只有一条.
解析 圆M的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝52，圆心M(3，－4)，半径为5，要满足题意，
解析 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为C(－1,2)，半径为r＝2，直线被圆截得的弦长为4，则圆心在直线上，所以－2m－2n＝－2，m＋n＝1.又m>0，n>0，
14.在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝ 相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是____.
解析 直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，圆心C(1，a)，
故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，
其他位置符合条件时需－1＜b≤1.
16.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2.且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2 .(1)求圆C的方程；
解 设圆心C(a,0)(a>0)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标.
解 ∵P是直线x＋y＋4＝0上一点.设P(m，－m－4)，∵PA为圆C的切线，∴PA⊥AC，即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆.设圆上任一点Q(x，y)，
即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0，
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系.
一、直线与圆位置关系的判定
二、直线与圆相切的有关问题
三、直线截圆所得弦长问题
问题1 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
提示 转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解.
1.直线与圆的三种位置关系
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
消元得到一元二次方程的判别式Δ
注意点：直线与圆的位置关系常用几何方法判断.
例1 已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？
判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).当－2＜b＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点.当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点.当b＜－2或b＞2时，Δ＜0，方程组没有实数解，直线与圆没有公共点.
当d＜r，即－2＜b＜2时，圆与直线相交，有两个公共点.当d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点.当d＞r，|b|＞2，即b＜－2或b＞2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点.
反思感悟 直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
跟踪训练1 已知直线方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；
解 方法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4).
即直线与圆有两个公共点.方法二 已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
(2)只有一个公共点；
直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.
即直线与圆没有公共点.
例2 (1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是A.2 B.3 C.4 D.6
点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，
(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为_____________________.
解析 ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外.当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意.设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.
y＝4或3x＋4y－13＝0
因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
反思感悟 求过某一点的圆的切线方程(1)点(x0，y0)在圆上.①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－ ，由点斜式可得切线方程.②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0) 在圆外.①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.③过圆外一点的切线有两条.
跟踪训练2 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0
解析 x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为
问题2 已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？
提示 将直线方程与圆的方程联立解出交点A和B的坐标，
问题3 若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？
提示 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，
求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有
即AB＝ .
(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
＝ (直线l的斜率k存在且不为0).
注意点：(1)弦长公式的前提是判别式大于零.(2)斜率不存在时AB＝|y1－y2|.
例3 (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长AB；
解 联立直线l与圆C的方程，
所以交点为A(1,3)，B(2,0).
(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果AB＝8，求直线l的方程.
解 将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
反思感悟 (1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式.(2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况.
跟踪训练3 直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4 ，求l的方程.
解 根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，解得k＞0.
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2).
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
方法二 如图所示，OH是圆心到直线l的距离，OA是圆的半径，AH是弦长AB的一半.在Rt△AHO中，OA＝5，
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
1.知识清单：(1)直线与圆的三种位置关系.(2)圆的切线方程.(3)弦长公式.2.方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法.3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离
又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0).∴直线与圆相交但不过圆心.
2.设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是
解析 设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
3.直线x＋2y－5＋ ＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为_____.
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，
4.若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是________________.
解析 因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，
1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心
解析 圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离
又直线不过圆心(1，－1)，所以直线与圆相交但不过圆心.
2.已知圆(x－2)2＋y2＝9，则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为A.4 B.6 C.8 D.10
解析 设圆心为C，则C(2,0)，过点M的弦为直径时，长度最长为2×3＝6，过点M的弦以M为中点且与CM垂直时，长度最短，
3.(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2 ，则实数a的值为A.－1 B.3 C.0 D.4
解析 设圆的弦长为l，半径为r，圆心到直线的距离为d，
4.若直线l：x－3y＋n＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0交于A，B两点，A，B关于直线3x＋y＋m＝0对称，则实数m的值为A.1 B.－1 C.－3 D.3
解析 由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心C的坐标为(－1,2)，由题意可得A，B关于直线3x＋y＋m＝0对称，则直线3x＋y＋m＝0过圆心，所以3×(－1)＋2＋m＝0，解得m＝1.
5.如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)
解析 以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k>0)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，
6.一条光线从点(－2,3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为
解析 点(－2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为(－2，－3)，圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圆心为(3,2)，半径r＝1.设过点(－2，－3)且与已知圆相切的直线的斜率为k，则切线方程为y＝k(x＋2)－3，即kx－y＋2k－3＝0，
7.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为____________.
解析 由圆的方程可得，圆心为P(－1,2)，
所以直线方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.
8.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为______.
解析 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，
9.已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
解 圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2.当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，
所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.
解 当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
10.一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.
11.已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆(x－3)2＋(y－4)2＝49相切，则满足条件的直线l有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析 方法一 显然直线l有斜率，
即b2＝4(k2＋1)， ①又直线l与圆相切，
故满足条件的直线l只有一条.
方法二 如图，设圆心为P(3,4)，则OP＝5，又O到直线l的距离为2，且半径为7，P到l的距离为7，即当OP⊥l时符合题意，且只有这种情况符合题意，故满足条件的直线l只有一条.
解析 圆M的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝52，圆心M(3，－4)，半径为5，要满足题意，
解析 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为C(－1,2)，半径为r＝2，直线被圆截得的弦长为4，则圆心在直线上，所以－2m－2n＝－2，m＋n＝1.又m>0，n>0，
14.在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝ 相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是____.
解析 直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，圆心C(1，a)，
故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，
其他位置符合条件时需－1＜b≤1.
16.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2.且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2 .(1)求圆C的方程；
解 设圆心C(a,0)(a>0)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标.
解 ∵P是直线x＋y＋4＝0上一点.设P(m，－m－4)，∵PA为圆C的切线，∴PA⊥AC，即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆.设圆上任一点Q(x，y)，
即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0，
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