苏教版 (2019)选择性必修第一册2.2 直线与圆的位置关系练习

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册2.2 直线与圆的位置关系练习，共6页。
1．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2 B．1
C.eq \r(3) D.eq \r(2)
解析：选B x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0，0)间距离的平方，又点(0，0)在圆内，所以由几何意义可知最小值为14－eq \r(52＋122)＝1.
2．已知点A(－1，1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
A．6eq \r(2)－2 B．8
C．4eq \r(6) D．10
解析：选B 点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5，7)的距离为eq \r(（5＋1）2＋（7＋1）2)＝10.∴所求最短路程为10－2＝8.
3．已知点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2(r>0)内异于圆心的点，则直线x0x＋y0y＝r2与此圆的交点的个数为( )
A．2 B．1
C．0 D．不能确定
解析：选C ∵点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2内异于圆心的点，∴xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)eq \f(r2,r)＝r，故直线x0x＋y0y＝r2与此圆没有交点．
4．方程 eq \r(1－x2)＝kx＋2有唯一解，则实数k满足( )
A．k＝±eq \r(3)
B．k∈(－2，2)
C．k2
D．k2或k＝±eq \r(3)
解析：选D y＝eq \r(1－x2)表示单位圆x2＋y2＝1的上半部分，y＝kx＋2表示过定点(0，2)的直线，如图，当直线y＝kx＋2在l1，l4的位置或在l2，l3之间时满足条件．
易求得k2＝2，k3＝－2.
又由y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相切求得k1＝eq \r(3)，k4＝－eq \r(3).
故k2或k＝±eq \r(3).
5．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：选B 如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
6．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是________．
解析：圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，
圆心为(2，2)，半径为3eq \r(2).
圆心(2，2)到直线x＋y－14＝0的距离为eq \f(|2＋2－14|,\r(2))＝5eq \r(2)>3eq \r(2)，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r＝6eq \r(2).
答案：6eq \r(2)
7．过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．
解析：由题意知，点P(1，1)在圆x2＋y2＝4内，
则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，
则所求直线与圆心O和P(1，1)的连线垂直，
∴该直线斜率为－1，
由点斜式方程，得y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
8．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h.
解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得|MN|＝20，
所以时间为1 h.
答案：1
9. 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
解：以O为坐标原点，OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为eq \f(x,8)＋eq \f(y,8)＝1，即x＋y＝8.
当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为eq \f(|0＋0－8|,\r(2))－1＝(4eq \r(2)－1)km.
10．设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
解：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系．
设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>3，b>3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.
依题意，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(|ab|,\r(a2＋b2))＝3，,\f(\r(a2＋b2)＋a,3v)＝\f(b,v).))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝3.75.))
所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇．
[B级 综合运用]
11．已知集合M＝{(x，y)|y＝eq \r(9－x2)，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是( )
A．[－3eq \r(2)，3eq \r(2) ] B．[－3，3]
C．(－3，3eq \r(2) ] D．[－3eq \r(2)，3)
解析：选C 数形结合法，注意y＝eq \r(9－x2)，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，
它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示)．
结合图形不难求得，
当－30)有公共点．
12．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2，0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为________．
解析：由题意知，AB所在直线与圆C相切或相离时，视线不被挡住，直线AB的方程为y＝eq \f(a,5)(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，所以d＝eq \f(|3a|,\r(a2＋（－5）2))≥1，即a≥eq \f(5\r(2),4)或a≤－eq \f(5\r(2),4).
答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5\r(2),4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(2),4)，＋∞))
13．某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低________ m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m)
解析：以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，
∵圆经过点B(10，0)，C(0，4)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(100＋b2＝r2，,（4－b）2＝r2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－10.5，,r＝14.5.))
∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)，令x＝4.5，得y≈3.28，故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22(m)，船才能安全通过桥洞．
答案：1.22
14．已知铁路线上线段|AB|＝100 km，工厂C到铁路的距离|CA|＝20 km.现要在A，B之间某一点D处，向C修一条公路．已知每吨货物运输1 km的铁路费用与公路费用之比为3∶5，为了使原料从供应站B运到工厂C的费用最少，点D应选在何处？
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
先求到定点A，C的距离之比为3∶5的动点P(x，y)的轨迹方程，即eq \f(\r(x2＋y2),\r(x2＋（y－20）2))＝eq \f(3,5)，整理得动点P(x，y)的轨迹方程为2x2＋2y2＋45y－450＝0，
令y＝0，得x＝±15(舍去正值)，即点D(－15，0)，|DA|＝15，|DC|＝25.下面证明点D即所求点：
自点B作CD延长线的垂线，垂足为点E，在线段BA上任取点D1，连接CD1，再作D1E1⊥BE于点E1.
设每吨货物运输1 km的铁路费用为3k(k>0)，则每吨货物运输1 km的公路费用为5k，如果选址在D1处，那么总运输费用为y＝3k|BD1|＋5k|D1C|＝(3|BD1|＋5|D1C|)k，
而△BE1D1∽△BED∽△CAD，∴eq \f(|BD1|,|E1D1|)＝eq \f(|CD|,|AD|)＝eq \f(25,15)＝eq \f(5,3)，
∴3|BD1|＝5|E1D1|，那么总费用y＝(3|BD1|＋5|D1C|)k＝(|E1D1|＋|D1C|)·5k≥(|CD|＋|DE|)·5k＝5k|CE|，
当且仅当点C，D1，E1共线时取等号．故点D即为所求点．
[C级 拓展探究]
15.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO＝eq \f(4,3).
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
解：(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
由条件知，A(0，60)，C(170，0)，
直线BC的斜率kBC＝－tan ∠BCO＝－eq \f(4,3).
又因为AB⊥BC，
所以直线AB的斜率kAB＝eq \f(3,4).
设点B的坐标为(a，b)，
则kBC＝eq \f(b－0,a－170)＝－eq \f(4,3)，
kAB＝eq \f(b－60,a－0)＝eq \f(3,4)，
解得a＝80，b＝120.
所以BC＝eq \r(（170－80）2＋（0－120）2)＝150.
因此新桥BC的长为150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM＝d m(0≤d≤60)．
由条件知，直线BC的方程为y＝－eq \f(4,3)(x－170)，
即4x＋3y－680＝0.
由于圆M与直线BC相切，
故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即r＝eq \f(|3d－680|,\r(42＋32))＝eq \f(680－3d,5).
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r－d≥80，,r－（60－d）≥80，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(680－3d,5)－d≥80，,\f(680－3d,5)－（60－d）≥80，))
解得10≤d≤35.
故当d＝10时，r＝eq \f(680－3d,5)最大，即圆面积最大．
所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．