陕西省西安市雁塔区高新三中2020-2021学年八年级（下）第二次月考数学试卷（含解析）

陕西省西安市雁塔区高新三中2020-2021学年八年级（下）第二次月考数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线

2. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是

A.
B.
C.
D.

3. 下列各式变形正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，在中，，，，将沿着射线的方向平移个单位后，得到，连接，则的面积是

A.  B.  C.  D.

5. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6. 如图，是的角平分线，，垂足为若，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

7. 解关于的分式方程时会产生增根，则增根可能为

A. 或 B.  C.  D. 以上都不对

8. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为

A.
B.
C.
D.

9. 在平行四边形中，，，过点分别作，的垂线，垂足分别为、，连接，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，四边形中．，，为的平分线，，，分别是，的中点，则的长为

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共4小题，共12分）

11. 当______时，分式的值为零．
12. 已知一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角比每个内角小______ 度
13. 若关于的方程的解是正数，则的取值范围______．
14. 如图，边长为的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接则在点运动过程中，的最小值是______ ．
    
     

三．计算题（本题共3小题，共19分）

15. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
    
    
    
    
    
    
    
     
16. 因式分解
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
17. 解方程：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共8小题，共59分）

18. 先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 在中，，，且满足，试判定的形状，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在中，，用直尺和圆规在斜边上作一点，使得点到点的距离与点到边的距离相等．保留作图痕迹，不写作法

21. 如图，在中，点、在边上，，，垂足为，，垂足为，与交于点，且．
    求证：；
    求证：过点、的直线垂直平分线段．
    
     

22. 如图，已知四边形是平行四边形，，．
    求证：；
    过点作于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
     

23. 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元．
    该商家购进的第一批衬衫是多少件？
    若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于不考虑其他因素，那么每件衬衫的标价至少是多少元？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交两轴于点、，点的横坐标为，点在线段上，且．
    
    求点的坐标；
    求直线的解析式；
    在平面内是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，不必说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
25. 问题探究
    将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
    问题提出：如图，是边长为的等边三角形，为内部一点，连接、、，求的最小值．
    
    方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段星型线转化为两定点之间的折线化星为折，再利用“两点之间线段最短”求最小值化折为直．
    问题解决：如图，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，由，，可知为正三角形，有．
    故因此，当、、、共线时，有最小值是．
    学以致用：如图，在中，，，，为内部一点，连接、、，则的最小值是______．
    如图，在中，，，为内部一点，连接、、，求的最小值．
    如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
D、等于号左边是单项式，不符合因式分解，故本选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的基本性质，掌握分式的分子分母都乘或都除以同一个不为的整式，分式的值不变是解题的关键．
根据分式的性质分式的分子分母都乘或都除以同一个不为的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】
解：根据分式的基本性质可知：分子、分母的每一项都要除以，故此选项错误；
B.根据分式的基本性质可得：分式的分子分母应是同时乘或除以同一个不为的数，分式的值不变，故此选项错误；
C.，故此选项错误；
D.，故此选项正确；
故选D．  

4.【答案】
 

【解析】解：沿着射线的方向平移个单位后，得到，
，，
，
过点作于，
则，
的面积．
故选C．
根据平移的性质可得，，再求出，过点作于，再求出，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
故A项不符合题意．
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
故B项不符合题意．
，，
四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故C项不符合题意．
，无法证明四边形是平行四边形．
故选：．
根据平行四边形的四种推理判定方法进行判定即可．
本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的判定条件．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据角平分线的定义和垂直的定义得到，，推出，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】
解：是的角平分线，，
，，
在和中，
 

，

≌，
，，
，
在和中，

≌，
，，
，
，
，
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】解：由题意，则增根可能为或，
经检验不是整式方程的根，
故选：．
根据分式方程增根的定义得出或，再检验是不是整式方程的根即可解决问题．
本题考查了分式方程的增根，掌握增根的定义是解题的关键，
 

8.【答案】
 

【解析】解：把代入得，则，
所以化为，
因为，
所以，
所以．
故选：．
先把代入得，则不等式化为，然后在的情况下解不等式即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

9.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于，

四边形是平行四边形，
，，，
，，
，，
四边形是平行四边形，，，
，
，，
，
，，
，，
，
当时，有最小值为，
故选：．
由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求，，，的长，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，连接并延长交于，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】
解：，
，
，，
，
，
，
为的平分线，
，
，
，
连接并延长交于，

，
，
是的中点，
，
，
≌，
，，
，
是的中点，
．
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
要使分式的值为，必须分式分子的值为并且分母的值不为．
【解答】

解：要使分式为，则分子，解得：．
而时，分母．
时分母，分式没有意义．
所以的值为．
故答案为：．
 

12.【答案】
 

【解析】解：设正多边形的边数为，
正多边形的内角和为．
，
解得：，
每个内角为：，
正九边形的每个外角为：，
，
这个多边形的每个外角比每个内角小，
故答案为：．
首先根据多边形的内角和定理求得多边形的边数，然后求出每个内角和每个外角度数，进而求出答案．
本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是．
 

13.【答案】且
 

【解析】解：，
，
解得：，
方程的解是正数，
且，
且，
且，
故答案为：且．
先解分式方程，然后根据方程的解是正数，确定的取值范围即可．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程，解一元一次不等式是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可．
【解答】

解：取的中点，连接，

旋转角为，
，
又，
，
是等边的对称轴，
，
，
又旋转到，
，
在和中，
，
≌，
，
根据垂线段最短，时，最短，即最短，
此时，，
，
．
故答案为．

15.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

 

【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
 

16.【答案】解：

；



．
 

【解析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答；
先利用平方差公式，再提公因式分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

17.【答案】解：方程两边同乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
则是原方程的解；

去分母得：，
解得：，
经检验是增根，原方程无解．
 

【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

18.【答案】解：
，
，
，
，
且，，，是整数，
时，原式．
 

【解析】本题考查分式的化简求值、估算无理数的大小，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法，注意取得的的值必须使得原分式有意义．
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在中选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．
 

19.【答案】解：无法构成三角形，理由如下：
，
，
，
，，
，，
，
无法构成三角形．
 

【解析】先利用完全平方公式因式分解将等式进行整理，从而得出、与的关系，再根据三角形三边关系判断三角形是否成立．
本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式因式分解是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，点为所作．

 

【解析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
先作的角平分线，再过点作的垂线交于，则利用得到，于是可证明，所以．
 

21.【答案】证明：，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
；
连接并延长交于点，

≌，
，，
，
，，
，
，
又，，
平分，
即平分，
，，
即过点、的直线垂直平分线段．
 

【解析】利用等式的性质可知，再运用证明≌，得，则有；
连接并延长交于点，由知，再说明平分，从而证明结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，证明平分是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．

解：结论：四边形是平行四边形．
理由：，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形．
 

【解析】只要证明即可解决问题；
结论：四边形是平行四边形．只要证明，即可；
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：设该商家购进的第一批衬衫是件，则购进第二批这种衬衫是件，依题意有
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是件．
，
设每件衬衫的标价元，依题意有
，
解得．
答：每件衬衫的标价至少是元．
 

【解析】可设该商家购进的第一批衬衫是件，则购进第二批这种衬衫是件，根据第二批这种衬衫单价贵了元，列出方程求解即可；
设每件衬衫的标价元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．
 

24.【答案】解：直线分别交两轴于点、，
当时，，当时，，
点，点，
点在线段上，且，
，
点，
点的横坐标为，且在直线上，
，
点，
设直线的解析式，
，
解得：，，
直线解析式为：．
设点，
若以，为边，
四边形是平行四边形，
，互相平分，
点，点，点，点，
，
，，
点，
若以，为边，
四边形是平行四边形，
，互相平分，
点，点，点，点，
，
，，
点，
若以，为边，
四边形是平行四边形，
，互相平分，
点，点，点，点，
，
解得：，，
点，
综上所述：点的坐标是，，，
 

【解析】本题是一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了待定系数法求直线解析式，考查了平行四边形的性质和应用，要熟练掌握，熟练运用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
首先根据直线分别交两轴于点、，可得点的坐标是，点的坐标是；然后根据点为线段的中点，可得点的坐标是；最后求出的长，即可求出点的坐标；
利用待定系数法可求直线的解析式；
由平行四边形的性质和中点坐标公式，分三种情况求出点的坐标．
 

25.【答案】
 

【解析】解：如图中，

将绕点逆时针旋转得到，易知是等边三角形，，
在中，，
，
，
的最小值为．
故答案为．

如图中，

将绕点逆时针旋转得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延长线于．
在中，，，
，
在中，
，
，
的最小值为．

如图中，将绕点逆时针旋转得到，则易知是等边三角形，

作于，交于．
，
易知，，
，
，
的最小值为．
将绕点逆时针旋转得到，易知是等边三角形，，转化为两定点之间的折线化星为折，再利用“两点之间线段最短”求最小值化折为直．
将绕点逆时针旋转得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延长线于转化为两定点之间的折线化星为折，再利用“两点之间线段最短”求最小值化折为直．
如图中，将绕点逆时针旋转得到，则易知是等边三角形，转化为两定点之间的折线化星为折，再利用“垂线段最短”求最小值．
本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置．