2022届中考数学专题练 专题09 一次函数和反比例函数

这是一份2022届中考数学专题练 专题09 一次函数和反比例函数，文件包含2022届中考数学专题练专题09一次函数和反比例函数解析版docx、2022届中考数学专题练专题09一次函数和反比例函数原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
专题09 一次函数和反比例函数
一．选择题
1．（2021·山东中考真题）一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】
先确定一次函数和反比例函数解析式，然后画出图象，再根据图象确定x的取值范围即可．
【详解】
解：∵两函数图象交于点，点
∴ ，，解得：，2=2
∴，
画出函数图象如下图：

由函数图象可得的解集为：0＜x＜2或x＜-1．
故填D．
【点睛】
本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及根据函数图象确定不等式的解集，根据题意确定函数解析式成为解答本题的关键．
2．（2021·山东中考真题）在平面直角坐标系中，直线垂直于轴于点（点在原点的右侧），并分别与直线和双曲线相交于点，，且，则的面积为（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【分析】
设点的坐标为，从而可得，，再根据可得一个关于的方程，解方程求出的值，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】
解：设点的坐标为，则，
，
，
，
解得或，
经检验，或均为所列方程的根，
（1）当时，，
则的面积为；
（2）当时，，
则的面积为；
综上，的面积为或，
故选：B．

【点睛】
本题考查了反比例函数与正比例函数的综合、解一元二次方程，正确求出点的坐标是解题关键．
3．（山东省淄博市2021年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线交于点．已知的面积为4.若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（ ）

A． B． C． D．12
【答案】B
【分析】
过点M作ME⊥x轴于点E，则有ME∥BD，，进而可得、，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可进行求解．
【详解】
解：过点M作ME⊥x轴于点E，如图所示：

∵轴，
∴ME∥BD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∵，
∴，
由题可知△OMB、△OBD的高是相同的，则有，
∴，
∵ME∥BD，
∴，
∴，
∴，
由反比例函数的几何意义可得：，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
4、（2020 德州）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵反比例函数和一次函数
∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确；
当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
5.（2020 济宁）数形结合是解决数学问题常用的思思方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）
A. x=20 B. x=5 C. x=25 D. x=15

【答案】A
【解析】
【分析】
两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】解：由图可知：
直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P（20，25），
∴方程x+5=ax+b的解为x=20．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
6、（2020 滨州）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S＝||即可判断．
解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y＝上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．
故选：C．

7．（潍坊市2020年）如图，函数与的图象相交于点两点，则不等式的解集为（ ）

A． B．或 C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：∵函数与的图象相交于点两点，
∴不等式的解集为：或，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
8、（2019 滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为12，则的值为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得的值，本题得以解决．
【解答】解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），
则，点D的坐标为（），
∴，
解得，＝4，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9、（2019 济南）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．
a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
10、（2019年山东临沂）下列关于一次函数y＝x+b(＜0，b＞0)的说法，错误的是（ ）
A．图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小
C．图象与y轴交于点(0，b) D．当x＞－时，y＞0
{答案}D
{解析}本题考查了一次函数的图象与性质．直线y＝x+b(＜0，b＞0)经过第一、二、四象限，与x轴的交点坐标是(－，0)，因此，当x＞－时，y＜0，故选项D错误．
11．（2019 济宁）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则的值是（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【解答】解：作A′H⊥y轴于H．

∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），
∴OA＝2，OB＝6，
∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，
∴OH＝4，
∴A′（6，4），
∵BD＝A′D，
∴D（3，5），
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴＝15．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
12、（2019 枣庄）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（　　）

A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8
【分析】设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的周长为8，可得到x、y之间的关系式．
【解答】解：如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，
设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限，
∴PD＝y，PC＝x，
∵矩形PDOC的周长为8，
∴2（x+y）＝8，
∴x+y＝4，
即该直线的函数表达式是y＝﹣x+4，
故选：A．

【点评】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝x+b．根据坐标的意义得出x、y之间的关系是解题的关键．
13、（2019 枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则的值为（　　）

A．1 B． C． D．2
【分析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得的值，本题得以解决．
【解答】解：∵等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1，
∴∠BAC＝∠BAO＝45°，
∴OA＝OB＝，AC＝，
∴点C的坐标为（，），
∵点C在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴＝＝1，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14、（2019 聊城）某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来搅收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（　　）

A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30
【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
【解答】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝1x+40，根据题意得601+40＝400，解得1＝6，
∴y1＝6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝2x+240，根据题意得602+240＝0，解得2＝﹣4，
∴y2＝﹣4x+240，
联立，解得，
∴此刻的时间为9：20．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
二、填空题
15．（2021·山东中考真题）已知点A为直线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为_____________．
【答案】或
【分析】
设点A坐标为，则点B的坐标为，将点B坐标代入，解出x的值即可求得A点坐标．
【详解】
解：∵点A为直线上一点，
∴设点A坐标为，
则点B的坐标为，
∵点B在双曲线上，
将代入中得：
，
解得：，
当时，，
当时，，
∴点A的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数综合问题，用到了关于一条直线的两个点的坐标关系，熟知对称点坐标的关系是解决问题的关键．
16．（2021·山东中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为1．当时，的取值范围是______．

【答案】或
【分析】
先根据正比例函数和反比例函数的性质求出点的横坐标，再利用函数图象法即可得．
【详解】
解：由正比例函数和反比例函数的对称性得：点的横坐标为，
不等式表示的是正比例函数的图象位于反比例函数的图象的下方，
则的取值范围是或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．
17．（2021·山东中考真题）如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的横坐标为_______．

【答案】
【分析】
由点A是直线与双曲线的交点，即可求出点A的坐标，且可知，又可知是等腰直角三角形，再结合可知是等腰直角三角形，同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形，由求的坐标，即的坐标（=1,2,3……），故想到过点作轴，即过作轴．设的纵坐标为，则的横坐标为，再利用点在双曲线上即可求解坐标，同理可得的坐标．
【详解】
解：过作轴于点
点A是直线与双曲线的交点
解得



是等腰直角三角形


是等腰直角三角形

设的纵坐标为，则的横坐标为
点在双曲线上

解得
设的纵坐标为，则的横坐标为

解得
同理可得
由以上规律知：
即的纵坐标为
的横坐标为
故答案是：．

【点睛】
本题考察一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探究，属于综合几何题型，难度偏大．解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线，并在计算过程中找到规律．
18、（2020 菏泽）.从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
从，，，中任取两个数值作为，的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可．
【详解】从，，，中任取两个数值作为，的值，其基本事件总数有：

共计12种；
其中积为负值的共有：8种，
∴其概率为：
故答案为：．
【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件的基本事件数，是解题的关键．
19、（2020 滨州）若正比例函数y＝2x的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为　　．
【分析】当y＝2时，即y＝2x＝2，解得：x＝1，故该点的坐标为（1，2），将（1，2）代入反比例函数表达式y＝，即可求解．
解：当y＝2时，即y＝2x＝2，解得：x＝1，
故该点的坐标为（1，2），
将（1，2）代入反比例函数表达式y＝并解得：＝2，
故答案为：y＝．
20、（青岛市2020年）如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为．△OAB的面积为6．若点也在此函数的图象上，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】
由△OAB的面积可得的值，再把代入解析式即可得到答案．
【详解】
解： △OAB的面积为6．

＞，


把代入


经检验：符合题意．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，的几何意义，掌握以上知识是解题的关键．
21、（2019 滨州）如图，直线y＝x+b（＜0）经过点A（3，1），当x+b＜x时，x的取值范围为　 　．

【分析】根据直线y＝x+b（＜0）经过点A（3，1），正比例函数y＝x也经过点A从而确定不等式的解集．
【解答】解：∵正比例函数y＝x也经过点A，
∴x+b＜x的解集为x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝x+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用数形结合是解题的关键．
22、（2019 济南）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多　 　元．

解：设当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝x+b，
，得，
即当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝6x﹣240，
当x＝150时，y＝6×150﹣240＝660，
由图象可知，去年的水价是480÷160＝3（元/m3），故小雨家去年用水量为150m3，需要缴费：150×3＝450（元），
660﹣450＝210（元），
即小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，
故答案为：210．
23、（2019 威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是　 　（用含的代数式表示）．

【解答】解：如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小，
∵M为线段AB的中点，
∴OA＝OB，
∵点A，B在反比例函数y＝（≠0）的图象上，
∴点A与点B关于直线y＝x对称，
∵AB＝4，
∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），
∴＝，
解得＝m2+4m，
∴A（m，m+4），B（m+4，m），
∴M（m+2，m+2），
∴OM＝＝＝，
∴OM的最小值为．
故答案为．

24、（2019年潍坊）当直线y=(2－2)x+－3经过第二、三，四象限时，则的取值范围是 ．
{答案}1＜＜3
{解析}本题考查了一次函数图象与系数的关系．当直线y=(2－2)x+－3经过第二、三，四象限时，有解得1＜＜3．
25、（2019年山东潍坊）如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A，B分别在反比例函数y=（x＞0）与y=（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为　 　．

{答案}11
{解析}本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及锐角三角函数的知识．如图，过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴于D，则∠BDO=∠ACO=90°，由反比例函数的几何意义，得S△BDO=，S△AOC=．∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，∴∠DBO=∠AOC，又∵∠BDO=∠OCA=90°，∴△BDO∽△OCA，∴S△BOD：S△OAC=：=()2，∴=，∴tan∠BAO==．

26、（2019 烟台）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为　 　．

【解答】解：点P（m，3）代入y＝x+2，
∴m＝1，
∴P（1，3），
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1；
故答案为x≤1；
三、解答题
27．（2021·山东中考真题）已知函数
（1）画出函数图象；
列表：
x
．．．








．．．
y
．．．








．．．
描点，连线得到函数图象：

（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；
（3）设是函数图象上的点，若，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）有，当时，最大值为3；当时，函数有最小值；（3）见解析
【分析】
（1）选取特殊值，代入函数解析式，求出y值，列表，在图像中描点，画出图像即可；
（2）观察图像可得函数的最大值；
（3）根据，得到和互为相反数，再分，，，分别验证．
【详解】
解：（1）列表如下：
x
．．．
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
．．．
y
．．．
-1

-3
0
3

1

．．．
函数图像如图所示：

（2）根据图像可知：
当x=1时，函数有最大值3；当时，函数有最小值；
（3）∵是函数图象上的点，，
∴和互为相反数，
当时，，
∴，，
∴；
当时，，
则；
同理：当时，，
，
综上：．
【点睛】
本题主要考查正比例函数，反比例函数的图像和性质，描点法画函数图像，准确画出图像，理解是解题的关键．
28．（2021·山东中考真题）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

【答案】（1）87.5m；（2）6秒时两车相距最近，最近距离是2米
【分析】
（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v=9求出t，代入求出s即可；
（2）分析得出当v=10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可．
【详解】
解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点，
设二次函数表达式为，一次函数表达式为，
∵一次函数经过（0，16），（8，8），
则，解得：，
∴一次函数表达式为，
令v=9，则t=7，
∴当t=7时，速度为9m/s，
∵二次函数经过（2，30），（4，56），
则，解得：，
∴二次函数表达式为，
令t=7，则s==87.5，
∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；
（2）∵当t=0时，甲车的速度为16m/s，
∴当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小，
当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大，
∴当v=10m/s时，两车之间距离最小，
将v=10代入中，得t=6，
将t=6代入中，得，
此时两车之间的距离为：10×6+20-78=2m，
∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图像，求出表达式是解题的基本前提．
29．（2021·山东中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．
（1）A，B两种花卉每盆各多少元？
（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
【答案】（1）A 种花弃每盆1元，B种花卉每盆1.5元；（2）购买A 种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为 8250元
【分析】
（1）设A 种花弃每盆x元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元，根据题意列分式方程，解出方程并检验；
（2）设购买A种花卉∶t盆，购买这批花卉的总费用为w元，则t≤（6000－t），w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000，w随t的增大而减小，所以根据t的范围可以求得w的最小值．
【详解】
解：（1）设A 种花弃每盆x元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元．
根据题意，得．
解这个方程，得x＝1.
经检验知，x＝1是原分式方程的根，并符合题意．
此时x＋0.5＝1＋0.5＝1.5（元）．
所以，A种花弃每盆1元，B种花卉每盆1.5元．
（2）设购买A种花卉∶t盆，购买这批花卉的总费用为w元，则t≤（6000－t），
解得∶t≤1500.
由题意，得w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000.
因为w是t的一次函数，＝－0.5＜0，w随t的增大而减小，所以当t＝1500 盆时，w最小．
w＝－0.5×1500＋9000＝8250（元）．
所以，购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为8250元．
【点睛】
本题主要考查了分式方程解决实际问题和一次函数求最值，根据等量关系列出方程和函数关系式及取值范围是解题关键．
30．（2021·山东中考真题）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点，，．

（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为；（3）或
【分析】
（1）过点A作轴于点E，根据三角函数的性质，得点A，将点A代入，得；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；
（2）连接OB、、，结合（1）的结论，得点B；结合题意得；把代入，得点C；设点的坐标为，通过计算即可得到答案；
（3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图像，即可得到答案．
【详解】
（1）如图，过点A作轴于点E，

∵，，
∴，，
∴点A，
∴双曲线的解析式为，
把，分别代入，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为；
（2）如图，连接OB、、

把代入，得，
∴点B，
∴，
∴，
把代入，得，
∴点C
设点的坐标为，
∵
∴，
∵，
∴点P的坐标为；
（3）根据（1）和（2）的结论，结合点A、点B
∴或．
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数、二元一次方程组、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数的性质，从而完成求解．
31．（2021·山东中考真题）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数的图象与性质进行探究．
因为，即，所以可以对比函数来探究．
列表：（1）下表列出与的几组对应值，请写出，的值： ， ；

…






1
2
3
4
…

…


1
2
4





…

…


2
3



0


…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（2）请把轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来：
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当时，随的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②函数的图象是由的图象向 平移 个单位而得到．
③函数图象关于点 中心对称．（填点的坐标）
【答案】（1）5，；（2）见解析；（3）①增大；②上，1；③．
【分析】
（1）将和分别代入函数中，即可求出的值；
（2）把轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来即可；
（3）①根据函数的增减性即可得；
②根据函数即可得；
③函数的图象关于原点中心对称，再根据平移的性质即可得．
【详解】
解：（1）对于函数，
当时，，即，
当时，，即，
故答案为：5，；
（2）把轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来如下：

（3）①当时，随的增大而增大，
故答案为：增大；
②因为函数，
所以函数的图象是由的图象向上平移1个单位而得到，
故答案为：上，1；
③因为函数的图象关于原点中心对称，
所以函数的图象关于点中心对称，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
32．（山东省淄博市2021年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．

（1）求对应的函数表达式；
（2）过点作轴交轴于点，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1），；（2）；（3）或
【分析】
（1）由题意先求出，然后得到点B的坐标，进而问题可求解；
（2）由（1）可得以PB为底，点A到PB的距离为高，即为点A、B之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解；
（3）根据函数图象可直接进行求解．
【详解】
解：（1）把点代入反比例函数解析式得：，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，
∴，解得：，
∴，
把点A、B作代入直线解析式得：，解得：，
∴；
（2）由（1）可得：，，
∵轴，
∴，
∴点A到PB的距离为，
∴；
（3）由（1）及图象可得：当时，x的取值范围为或．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．
33．（2021·山东中考真题）如图，中，，，点，点，反比例函数的图象经过点A．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移个单位后经过反比例函数，图象上的点，求，的值．
【答案】（1）；（2），
【分析】
（1）作轴，可知，得出点坐标，待定系数法求出解析式即可，
（2）将点代入（1）中解析式和直线的解析式中，分别求出，的值即可．
【详解】
（1）如图，作轴，则

，，




点，点

，
∴OD=OC+CD=6，

代入中，

．
（2）在上，


设直线OA解析式为
，

直线向上平移个单位后的解析式为：

图象经过（1，12）

解得：
，．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正比例函数解析式，函数图像的平移，三角形全等的性质与判定，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想．
34．（2021·山东中考真题）如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．

（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
【答案】（1）24；（2）M点的坐标为
【分析】
(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用=xy计算m即可；
（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.
【详解】
解：（1）∵点P纵坐标为4，
∴，解得，

∴，
∴．
（2）∵，
∴，
设，则，
当M点在P点右侧，

∴M点的坐标为，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得：，（舍去），
当时，，
∴M点的坐标为，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得：，，均舍去．
综上，M点的坐标为．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．
35．（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．

（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．
【答案】（1）, ；（2）
【分析】
（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，
由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；
（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求．
【详解】
（1） 四边形是矩形，，

为线段的中点

将代入，得




将，代入，得：
，解得

（2）如图：作关于轴的对称点，连接交轴于点P

当三点共线时，有最小值

，
设直线的解析式为

将，代入，得
，解得

令，得

【点睛】
本题考查了矩形的性质，反比例函数性质，反比例函数和一次函数待定系数法求解析式，反比例函数图像上点的特点，线段和距离最值问题，正确的作辅助线，理解并记忆待定系数法求解的技巧是解题关键．
36．（2021·山东中考真题）如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6
（1）求值和点D的坐标；
（2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标．

【答案】（1），点 D 坐标为（4，3）；（2）点E的坐标为（－8，2）
【分析】
（1）结合反比例函数的几何意义即可求解值；由轴可知轴，利用平行线分线段成比例即可求解D点坐标；
（2）可知和的面积相等，由函数图像可知、、的面积关系，再结合题意，即可求CD边上高的关系，故作，垂足为F，即可求解E点横坐标，最后由E点在直线AB上即可求解．
【详解】
解∶（1）设点 D 坐标为（m，n），
由题意得．
∵点 D在的图象上，．
∵直线的图象与轴交于点A，
∴点A 的坐标为（－4，0）．
∵CHx轴，CH//y 轴．．
点D在反比例函数的图象上，
点 D 坐标为（4，3）
（2）由（1）知轴，．
．
过点E作EFCD，垂足为点 F，交y轴于点M，
．
．
∴点 E 的横坐标为－8.
∵点E 在直线上，∴点E的坐标为（－8，2）．

【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形面积问题、的几何意义，属于中档难度的综合题型．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想．
37、（2020 滨州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求△PAB的面积；
（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y＝﹣x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．

【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；
（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据图象求得即可．
解：（1）由解得，
∴P（2，﹣2）；
（2）直线y＝﹣x﹣1与直线y＝﹣2x+2中，令y＝0，则﹣x﹣1＝0与﹣2x+2＝0，
解得x＝﹣2与x＝1，
∴A（﹣2，0），B（1，0），
∴AB＝3，
∴S△PAB＝＝＝3；
（3）如图所示：

自变量x的取值范围是x＜2．
38、（青岛市2020年）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）根据图象求游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
【答案】（1）y=140t+100，140m3/h；（2）8h
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求出y与t的函数关系式，然后求出注满水池用的时间，进而可求出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，根据单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍列方程求解即可．
【详解】
解：（1）设y=t+100，把(2，380)代入得，
2+100=380，
解得
=140，
∴y=140t+100，
当y=480时，
则480=140t+100，
解得t=，
(480-100)÷=140m3/h；
∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，由题意得
，
解得x=60，
经检验x=60符合题意，
(h)，
∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，掌握待定系数法是解（1）的关键，找出数量关系列出方程是解（2）的关键．
39、（2020 菏泽）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），
∵直线交轴于点，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，
∴
∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
40、（2020 聊城）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．

（1）求出直线的表达式；
（2）在轴上有一点使得的面积为18，求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）当点原点右侧时，，当点在原点左侧时，．
【解析】
【分析】
（1）通过点A的坐标确定反比例函数的解析式，再求得B的坐标，利用待定系数法将A，B的坐标代入，即可得到一次函数的解析式；
（2）直线与轴的交点为，过点，作轴的垂线，，垂足分别为，，得到，即，分情况讨论即可解决．
【详解】解：（1）∵在的图象上，
∴，，
又点在的图象上，，即．
将点，的坐标代入，得，
解得．
∴直线的表达式为．
（2）设直线与轴的交点为，
当时，解得．即．
分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，．

．
又，即，∴．
当点在原点右侧时，，
当点在原点左侧时，．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握数形结合的思想.
41、（2020 济宁）在△ABC中.BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为2．
(1)y关于x的函数关系式是________， x的取值范围是________；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
(3)将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．

【答案】（1）y=，x＞0；（2）见解析；（3）1
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的面积公式即可得出函数关系式，再根据实际意义得出x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出图像即可；
（3）得到平移后的一次函数表达式，再和反比例函数联立，得到一元二次方程，再结合交点个数得到根的判别式为零，即可求出a值.
【详解】解：（1）由题意可得：
S△ABC=xy=2，
则：y=，
其中x的取值范围是x＞0，
故答案为：y=，x＞0；
（2）函数y=（x＞0）的图像如图所示；
（3）将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后得到y=-x+3+a，
若与函数y=（x＞0）只有一个交点，
联立：，
得：，
则，
解得：a=1或-7（舍），
∴a的值为1.

【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意，将函数交点问题转化为一元二次方程根的问题.
42、（泰安市2020年）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求的面积．
【答案】（1）；（2）18
【解析】
【分析】
（1）根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关于a的方程，求出a，即可求出反比例函数解析式；
（2）根据点A、B都在一次函数的图象上，运用待定系数法求出直线解析式，进而求出点C坐标，求出CD长，即可求出的面积．
【详解】解：（1）∵点，点在反比例函数的图象上，
∴．
解得．
∴．
∴反比例函数的表达式是．
（2）∵，
∴点A，点B坐标分别是．
∵点A，点B在一次函数的图象上，
∴
解得
∴一次函数的表达式是．
当时，．
∴点C的坐标是．
∴．
∵点D是点C关于原点O的对称点，
∴．
作轴于点E，
∴．





【点睛】本题为一次函数与反比例函数综合题，难度不大，解题关键是根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关键a的方程，求出a，得到点A、B坐标．
43.（2020年枣庄市）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.

【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）的面积为.
【解析】
【分析】
（1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解；
（2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.
【详解】（1）由题意：联立直线方程，可得，故A点坐标为（-2,4）
将A（-2,4）代入反比例函数表达式，有，∴
故反比例函数的表达式为
（2）联立直线与反比例函数，
解得，当时，，故B（-8,1）

如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知
S梯形AMNB=S△AOB，
∴S梯形AMNB=S△AOB===
【点睛】此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.
44、（（2019 济南））如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．

（1）求a和的值；
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三形，求所有满足条件的m的值．
解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，
∴﹣2×0+b＝8，
∴b＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，
∴a＝4，
∴B（2，4），
将B（2，4）在反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得＝xy＝2×4＝8；
（2）①由（1）知，B（2，4），＝8，∴反比例函数解析式为y＝，
当m＝3时，
∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D（2+3，4），
即：D（5，4），
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，
∴E（5，），
∴DE＝4﹣＝，EF＝，
∴＝＝；
②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝m，
∵A（0，8），B（2，4），
∴C（m，8），D（（m+2，4），
∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，
∴Ⅰ、当BC＝CD时，
∴BC＝AB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴m＝2×2＝4，
Ⅱ、当BC＝BD时，
∵B（2，4），C（m，8），
∴BC＝，
∴＝m，
∴m＝5，
即：△BCD是以BC为腰的等腰三形，满足条件的m的值为4或5．

45、（2019 济宁）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（m）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；
（2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由图可得，
小王的速度为：30÷3＝10m/h，
小李的速度为：（30﹣10×1）÷1＝20m/h，
答：小王和小李的速度分别是10m/h、20m/h；
（2）小李从乙地到甲地用的时间为：30×20＝1.5h，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10×1.5＝15m，
∴点C的坐标为（1.5，15），
设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为y＝x+b，
，得，
即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是y＝30x﹣30（1≤x≤1.5）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
46、（2019 聊城）如图，点A（，4），B（3，m）是直线AB与反比例函数y＝（x＞0）图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．
（1）求直线AB的表达式；
（2）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2．求S2﹣S1．

【分析】（1）先将点A（，4）代入反比例函数解析式中求出n的值，进而得到点B的坐标，已知点A、点B坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的表达式；
（2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出S1，S2的值，即可求出S2﹣S1．
【解答】解：（1）由点A（，4），B（3，m）在反比例函数y＝（x＞0）图象上
∴4＝
∴n＝6
∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）
将点B（3，m）代入y＝（x＞0）得m＝2
∴B（3，2）
设直线AB的表达式为y＝x+b
∴
解得
∴直线AB的表达式为y＝﹣；
（2）由点A、B坐标得AC＝4，点B到AC的距离为3﹣＝
∴S1＝×4×＝3
设AB与y轴的交点为E，可得E（0，6），如图：

∴DE＝6﹣1＝5
由点A（，4），B（3，2）知点A，B到DE的距离分别为，3
∴S2＝S△BDE﹣S△ACD＝×5×3﹣×5×＝
∴S2﹣S1＝﹣3＝．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，属于中考常考题型．
47、（2019 青岛）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？

【分析】（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，即可求解；
（3）由题意得（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝x+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x＝50时，w由最大值，此时，w＝1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，
解得：x≤70，
∴每天的销售量y＝﹣2x+160≥20，
∴每天的销售量最少应为20件．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润＝w得出函数关系式是解题关键．
48、（2019 威海）（1）阅读理解
如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．
小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：
AE+BG＝2CF，CF＞DF
由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：
若n＞1，则　 　．
（2）证明命题
小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明（1）中的命题．

【解答】解：（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝，BG＝，DF＝，
∴+＞．
故答案为：+＞．
（2）方法一：∵+﹣＝＝，
∵n＞1，
∴n（n﹣1）（n+1）＞0，
∴+﹣＞0，
∴+＞．
方法二：∵＝＞1，
∴+＞．