2023届高考一轮复习加练必刷题第46练　平面向量小题综合练【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第46练　平面向量小题综合练【解析版】，共6页。试卷主要包含了已知a＝，b＝，c＝，则等内容，欢迎下载使用。
A．c＝a＋2b B．c＝a－2b
C．c＝2b－a D．c＝2a－b
答案 B
2．(2022·成都七中模拟)已知点P是△ABC所在平面内一点，且eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则( )
A.eq \(PA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(PA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))
D.eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
答案 D
解析 由题意得，eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，所以eq \(PA,\s\up6(→))＋(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))＋(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))＝0，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＋(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))＝0，
∴3eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))＝0，
∴3eq \(PA,\s\up6(→))＝2eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→)).
3．向量a与向量b的向量积仍是向量，记作a×b，它的模是|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉，则(a×b)2＋(a·b)2等于( )
A．a2·b2 B．a·b
C．a4·b4 D．0
答案 A
解析 (a×b)2＋(a·b)2＝a2·b2sin 2〈a，b〉＋a2·b2cs2〈a·b〉＝a2·b2(sin 2〈a，b〉＋cs2〈a，b〉)＝a2·b2.
4．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1,2)，a－eq \f(1,2)b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x等于( )
A．－2 B．－4 C．－3 D．－1
答案 D
解析 ∵a－eq \f(1,2)b＝(3,1)，a＝(1,2)，
∴a－(3,1)＝eq \f(1,2)b，
解得b＝(－4,2)．
∴2a＋b＝(－2,6)．
又(2a＋b)∥c，
∴－6＝6x，解得x＝－1.
5．已知平面向量a，b满足b＝(eq \r(3)，1)，|2a－b|＝1，则|a|的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5,2))) B．(1,3)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) D．(2,4)
答案 C
解析 由已知可得|b|＝eq \r(3＋12)＝2，
∵a＝eq \f(1,2)(2a－b)＋eq \f(1,2)b，
∴由三角不等式可得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)b))))≤|a|≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)b))，即eq \f(1,2)≤|a|≤eq \f(3,2).
6．(2022·四川省华蓥中学模拟)在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝2，M是CD的中点．若eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝3，则∠BAD等于( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,4)
答案 B
解析 eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))·eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2
＝1×2×cs∠BAD＋eq \f(1,2)×4＝3.
∴cs∠BAD＝eq \f(1,2)，
∵∠BAD∈(0，π)，
∴∠BAD＝eq \f(π,3).
7．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC＝4，S是平面ABC内一点，则eq \(SA,\s\up6(→))·(eq \(SB,\s\up6(→))＋eq \(SC,\s\up6(→)))的最小值为( )
A．－4 B．4 C．6 D．－6
答案 A
解析 如图建立坐标系，
则A(0,2eq \r(2))，B(－2eq \r(2)，0)，
C(2eq \r(2)，0)，设S(x，y)，
∵eq \(SA,\s\up6(→))＝(－x,2eq \r(2)－y)，eq \(SB,\s\up6(→))＋eq \(SC,\s\up6(→))＝(－2eq \r(2)－x，－y)＋(2eq \r(2)－x，－y)＝(－2x，－2y)，
∴eq \(SA,\s\up6(→))·(eq \(SB,\s\up6(→))＋eq \(SC,\s\up6(→)))＝2x2＋2y2－4eq \r(2)y＝2x2＋2(y－eq \r(2))2－4≥－4，当且仅当x＝0，y＝eq \r(2)时取等号，
∴eq \(SA,\s\up6(→))·(eq \(SB,\s\up6(→))＋eq \(SC,\s\up6(→)))的最小值为－4.
8．在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，有以下结论：①存在满足条件的△ABC，使得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝0；②存在满足条件的△ABC，使得eq \(CE,\s\up6(→))∥(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))．下列说法正确的是( )
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
答案 B
解析 如图，以D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．不妨设A(2x，2y)(xy≠0)，B(－1,0)，C(1,0)，则D(0,0)，
E(x，y)．①eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1－2x，－2y)，eq \(CE,\s\up6(→))＝(x－1，y)，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝0，则(－1－2x)(x－1)－2y2＝0，∴－(2x＋1)(x－1)＝2y2，满足条件的x，y明显存在，∴①成立；②记AB的中点为F，连接CF，则eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝2eq \(CF,\s\up6(→)).记CF与AD的交点为G，则G为△ABC的重心，∴G为AD的三等分点．又E为AD的中点，∴eq \(CE,\s\up6(→))与eq \(CG,\s\up6(→))不平行，故②不成立．
9．(多选)已知向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(t，eq \r(3))，则下列说法正确的是( )
A．若a∥b，则t＝3
B．若a⊥b，则t＝－1
C．若a与b的夹角为120°，则t＝0或t＝－3
D．若a与b的夹角为锐角，则t>－1
答案 AB
解析 由a∥b，得eq \r(3)×eq \r(3)－1×t＝0⇒t＝3，故A正确；由a⊥b，得eq \r(3)t＋1×eq \r(3)＝0⇒t＝－1，故B正确；当a与b的夹角为120°时，cs 120°＝eq \f(\r(3)t＋\r(3),2×\r(t2＋3))＝－eq \f(1,2)，
即t2＋3t＝0，解得t＝0或t＝－3.代入验证t＝0为增根，则t＝0舍去，故t＝－3，故C错误；
当a与b的夹角为锐角时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b>0，,b≠λa，))
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)t＋\r(3)>0，,t，\r(3)≠λ\r(3)，1，))
解得t>－1且t≠3，故D错误．
10．(多选)(2022·淮安模拟)已知P为△ABC所在平面内一点，则下列正确的是( )
A．若eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＋2eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则点P在△ABC的中位线上
B．若eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则P为△ABC的重心
C．若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))>0，则△ABC为锐角三角形
D．若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，则△ABC与△ABP的面积比为3∶2
答案 ABD
解析 对于A，设AB的中点为D，BC的中点为E，
∵eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＋2eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝－2(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))，
∴2eq \(PD,\s\up6(→))＝－4eq \(PE,\s\up6(→))，即eq \(PD,\s\up6(→))＝2eq \(EP,\s\up6(→))，
∴P，D，E三点共线，
又DE为△ABC的中位线，
∴点P在△ABC的中位线上，A正确；
对于B，设AB的中点为D，由eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝－eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(CP,\s\up6(→))，
又eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，
∴eq \(CP,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，
∴P在中线CD上，且eq \f(CP,PD)＝2，
∴P为△ABC的重心，B正确；
对于C，∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))>0，
∴eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))夹角为锐角，即A为锐角，但此时B，C有可能是直角或钝角，故无法说明△ABC为锐角三角形，C错误；
对于D，∵eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴P为线段BC上靠近C的三等分点，即eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
∴S△ABC∶S△ABP＝BC∶BP＝3∶2，D正确．
11．(2022·南通模拟)已知m，n均为正数，a＝(1，m)，b＝(2,1－n)，且a∥b，则eq \f(1,m)＋eq \f(m,n)的最小值为________．
答案 4
解析 因为a＝(1，m)，b＝(2,1－n)，且a∥b，
所以2m＝1－n，即2m＋n＝1，
因为m，n均为正数，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(m,n)＝eq \f(2m＋n,m)＋eq \f(m,n)＝2＋eq \f(n,m)＋eq \f(m,n)≥2＋2eq \r(\f(n,m)·\f(m,n))＝4，
当且仅当m＝n＝eq \f(1,3)时取得最小值．
12．(2022·武汉模拟)已知△ABC的顶点坐标分别为A(3,4)，B(6,0)，C(－5，－2)，则内角A的角平分线所在直线方程为________________．
答案 7x－y－17＝0
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－8，－6)，
∴△ABC的内角A的角平分线的方向向量为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,5)(3，－4)＋eq \f(1,10)(－8，－6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，－\f(7,5)))，直线的斜率为7，∴所求直线的方程为y－4＝7(x－3)，即7x－y－17＝0.
13．(2022·山东师大附中模拟)已知向量a，b，其中|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.
答案 eq \f(π,6) 6
解析 由题意，设向量a，b的夹角为θ，
因为|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，
所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|·cs θ＝3－2eq \r(3)cs θ＝0，
解得cs θ＝eq \f(\r(3),2).
又因为0≤θ≤π，
所以θ＝eq \f(π,6)，
则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cs θ＝3＋2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝6.
14．(2020·浙江)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤eq \r(2)，设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cs2θ的最小值是________．
答案 eq \f(28,29)
解析 设e1＝(1,0)，e2＝(x，y)，
则a＝(x＋1，y)，b＝(x＋3，y)．
由2e1－e2＝(2－x，－y)，
故|2e1－e2|＝eq \r(2－x2＋y2)≤eq \r(2)，
得(x－2)2＋y2≤2.
又有x2＋y2＝1，得(x－2)2＋1－x2≤2，
化简，得4x≥3，即x≥eq \f(3,4)，
因此eq \f(3,4)≤x≤1.
cs2θ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a·b,|a||b|)))2
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x＋1x＋3＋y2,\r(x＋12＋y2)\r(x＋32＋y2))))2
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4x＋4,\r(2x＋2)\r(6x＋10))))2＝eq \f(4x＋12,x＋13x＋5)
＝eq \f(4x＋1,3x＋5)＝eq \f(\f(4,3)3x＋5－\f(8,3),3x＋5)
＝eq \f(4,3)－eq \f(\f(8,3),3x＋5)，
当x＝eq \f(3,4)时，cs2θ有最小值，为eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)＋1)),3×\f(3,4)＋5)＝eq \f(28,29).