2023届高考一轮复习加练必刷题第77练　圆锥曲线中二级结论的应用【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第77练　圆锥曲线中二级结论的应用【解析版】，共4页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知双曲线C，椭圆C，已知F1，F2分别为双曲线C等内容，欢迎下载使用。
考点一 中点弦斜率公式
1．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上存在两点M，N关于直线2x－3y－1＝0对称，且线段MN中点的纵坐标为eq \f(2,3)，则椭圆C的离心率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(2\r(2),3)
答案 B
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点坐标为(x0，y0)，
∵MN⊥l，
∴kMN＝－eq \f(1,kl)＝－eq \f(3,2)，由线段MN中点的纵坐标y0＝eq \f(2,3)，可得 2x0－3×eq \f(2,3)－1＝0，
∴x0＝eq \f(3,2).
由中点弦斜率公式得
kMN＝－eq \f(b2,a2)×eq \f(x0,y0)＝－eq \f(9,4)×eq \f(b2,a2)＝－eq \f(3,2)，
∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,3)，
∴椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(3),3).
2．已知双曲线方程为x2－y2＝4，过点A(3,1)作直线l与该双曲线交于M，N两点，若点A恰好为MN中点，则直线l的方程为( )
A．y＝3x－8 B．y＝－3x＋8
C．y＝3x－10 D．y＝－3x＋10
答案 A
解析 直线l的斜率为k＝3，所以直线方程为y－1＝3(x－3)，即y＝3x－8.
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
答案 B
解析 由k＝eq \f(p,y中点)，得1＝eq \f(p,2)，所以p＝2，所以准线方程为x＝－1.
4．若点M(1,1)是抛物线y2＝4x的弦中点，则弦AB的长为________．
答案 eq \r(15)
解析 设A，B两点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，k＝eq \f(2,1)＝2，所以直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，代入y2＝4x可得4x2－8x＋1＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝eq \f(1,4)，所以|AB|＝eq \r(1＋22)|x1－x2|＝eq \r(15).
考点二 周角定理
5．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，P是双曲线上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率为kPA，kPB，且满足kPA·kPB＝eq \f(3,4)，则双曲线C的离心率为( )
A.eq \f(\r(7),4) B.eq \f(\r(7),2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 由双曲线的周角定理可得kPA·kPB＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，
即eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，则e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(7),2).
6．椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA2斜率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
答案 B
解析 由椭圆的周角定理可得＝－eq \f(3,4)，因为∈[－2，－1]，
所以∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4))).
7．已知P是椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2的值为________．
答案 －eq \f(1,3)
解析 由椭圆周角定理得k1k2＝－eq \f(4,12)＝－eq \f(1,3).
考点三 焦点三角形面积公式
8．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则等于( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(3) C．3eq \r(3) D．3
答案 B
解析 由＝eq \f(b2,tan \f(∠F1PF2,2))＝eq \f(1,tan 30°)＝eq \r(3).
9．已知点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( )
A．4eq \r(3) B.eq \f(4,3)
C.eq \f(4\r(3),3) D．8(2－eq \r(3))
答案 C
解析 ＝b2·tan eq \f(∠F1PF2,2)＝4×tan 30°＝eq \f(4\r(3),3).
10．双曲线eq \f(x2,36)－eq \f(y2,16)＝1上一点P，其焦点为F1，F2，PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为 ________.
答案 16
解析 S＝eq \f(b2,tan 45°)＝16.
11．(多选)如图，F1，F2是双曲线C1：x2－eq \f(y2,3)＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点，设C2的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则有( )
A．a2＋b2＝4
B．a2－b2＝4
C．若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1A))，则C2的离心率为eq \f(2,3)
D．若AF1⊥AF2，则椭圆方程为eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,3)＝1
答案 BCD
解析 a2－b2＝4，故A错误，B正确；因为|F1F2|＝|F1A|＝4，所以|F2A|＝|F1A|－2＝2，所以椭圆中2a＝|F1A|＋|F2A|＝4＋2＝6，a＝3，所以e＝eq \f(2,3)，故C正确；由面积公式可得在双曲线中，S＝eq \f(3,tan 45°)＝3，在椭圆中S＝b2×tan 45°＝3，故b2＝3，所以a2＝3＋4＝7，故D正确．
12．设AB是椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1的不垂直于对称轴的弦， M(x0，y0)是弦AB的中点，设直线AB的斜率为k1，直线OM (O为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2＝________.
答案 －eq \f(1,4)
解析 k1·k2＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,4).
13．双曲线x2－y2＝1的一条弦的中点是(1,2)，此弦所在的直线方程是__________________．
答案 x－2y＋3＝0
解析 所求直线方程的斜率为k＝eq \f(1,2)，所求直线方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y＋3＝0.
14．已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(0