2023届高考一轮复习加练必刷题第88练　二项式定理【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第88练　二项式定理【解析版】，共4页。试卷主要包含了6的展开式中的第3项为，84的展开式中x2y2的系数是，233除以9的余数是等内容，欢迎下载使用。
考点一 求二项展开式中的特定项
1．(x＋2y)6的展开式中的第3项为( )
A．60x4y2 B．－60x4y2
C．15x4y2 D．－15x4y2
答案 A
解析 T2＋1＝Ceq \\al(2,6)x4(2y)2＝60x4y2.
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))6的展开式中的常数项是( )
A．－120 B．－60
C．60 D．120
答案 C
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))6的展开式通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)·(eq \r(x))6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))k＝Ceq \\al(k,6)·(－2)k·，取k＝2得到常数项为Ceq \\al(2,6)·(－2)2＝60.
考点二 求二项展开式中特定项的系数
3．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84 C．112 D．168
答案 D
解析 根据eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋x))8和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋y))4的展开式的通项公式可得， x2y2的系数为Ceq \\al(2,8)·Ceq \\al(2,4)＝168.
4．在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，x2的系数等于( )
A．280 B．300 C．210 D．120
答案 D
解析 在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，x2的系数为Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9)
＝Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9)＝Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(2,4)＋…＋Ceq \\al(2,9)＝…
＝Ceq \\al(3,9)＋Ceq \\al(2,9)＝Ceq \\al(3,10)＝120.
5．(多选)在(2x－1)8的展开式中，下列说法正确的有( )
A．展开式中所有项的系数和为28
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．展开式中二项式系数的最大项为第五项
D．展开式中含x3项的系数为－448
答案 BCD
解析 对于(2x－1)8的展开式，令x＝1，可得展开式中所有项的系数和为1，故A不正确；
展开式中奇数项的二项式系数和为eq \f(2n,2)＝eq \f(28,2)＝128，故B正确；
易知展开式中，二项式系数的最大项为第五项，故C正确；
由通项公式可得展开式中含x3的项为Ceq \\al(5,8)(2x)3(－1)5＝－448x3，故D正确．
考点三 二项展开式中的最值问题
6．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)－\r(x)))n的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )
A．160 B．－160 C．60 D．－60
答案 C
解析 二项式系数对称，所以，若只有第四项的二项式系数最大，则n＝6，通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)))6－k·(－eq \r(x))k＝(－1)k26－kCeq \\al(k,6)＝(－1)k26－kCeq \\al(k,6)，由eq \f(3,2)k－6＝0，得k＝4，所以常数项为(－1)4×22×Ceq \\al(4,6)＝60.
7．在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,x)))11的展开式中，系数最大的项为( )
A．第五项 B．第六项
C．第七项 D．第六项或第七项
答案 C
解析 依题意可知Tk＋1＝Ceq \\al(k,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))kx22－3k,0≤k≤11，k∈N，二项式系数最大的是Ceq \\al(5,11)与Ceq \\al(6,11)，
所以系数最大的是T7＝Ceq \\al(6,11)，即第七项．
考点四 二项式定理的应用
8．若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为( )
A．29 B．29－1
C．39 D．39－1
答案 D
解析 令x＝0，得a0＝1，令x＝2得(1＋2)·(1－4)8＝a0＋a1·2＋…＋a9·29，所以a1·2＋…＋a9·29＝39－1.
9．233除以9的余数是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 D
解析 233＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(23))11＝811＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－1))11
＝Ceq \\al(0,11)911×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))0＋Ceq \\al(1,11)910×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))1＋…＋Ceq \\al(10,11)91×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))10＋Ceq \\al(11,11)90×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))11，
分析易得，其展开式中
Ceq \\al(0,11)911×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))0，Ceq \\al(1,11)910×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))1，…，Ceq \\al(10,11)91×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))10都可以被9整除，而最后一项为Ceq \\al(11,11)90×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))11＝－1，则233除以9的余数是8.
10．用二项式定理计算9.985，精确到1的近似值为( )
A．99 000 B．99 002
C．99 004 D．99 005
答案 C
解析 9.985＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－0.02))5＝105－Ceq \\al(1,5)×104×0.02＋Ceq \\al(2,5)×103×0.022－Ceq \\al(3,5)×102×0.023＋Ceq \\al(4,5)×101×0.024－0.025
≈105－Ceq \\al(1,5)×104×0.02＋Ceq \\al(2,5)×103×0.022
＝100 000－1 000＋4＝99 004.
11．(多选)(2022·南京模拟)已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则( )
A．a0的值为2
B．a5的值为16
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5
D．a1＋a3＋a5的值为120
答案 ABC
解析 ∵(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，
令等式中的x＝0，可得a0＝2，故A正确；
a5的值，即展开式中x5的系数，
为2×(－2)5Ceq \\al(5,5)＋(－2)4Ceq \\al(4,5)＝16，即a5＝16，故B正确；
在所给的等式中，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3，①
又a0＝2，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－5，故C正确；
在所给的等式中，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝243，②
由①②得，a1＋a3＋a5＝－123，故D错误．
12．(多选)(a－x)(1＋x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是( )
A．a＝3
B．展开式中常数项为3
C．展开式中x4的系数为30
D．展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64
答案 ABD
解析 设(a－x)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝64(a－1)，①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝0，②
由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝64(a－1)，
所以2×64＝64(a－1)，解得a＝3，故A正确；
故二项式为(3－x)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
令x＝0，可得a0＝3，即展开式中常数项为3，故B正确；
由①＋②得，2(a0＋a2＋a4＋a6)＝64×2，所以a0＋a2＋a4＋a6＝64，即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64，故D正确；
由(3－x)(1＋x)6＝3(1＋x)6－x(1＋x)6，得其展开式中x4的系数为3×Ceq \\al(4,6)－1×Ceq \\al(3,6)＝25，故C错误．
13．已知m>0，且152 020＋m恰能被14整除，则m的取值可以是( )
A．2 B．1 C．7 D．13
答案 D
解析 152 020＝(1＋14)2 020＝Ceq \\al(0,2 020)＋Ceq \\al(1,2 020)×14＋Ceq \\al(2,2 020)×142＋…＋Ceq \\al(2 020,2 020)×142 020.上式从第二项起，每一项都可以被14整除，故上式除以14的余数为Ceq \\al(0,2 020)＝1.故选项中，当m＝13时，
152 020＋m恰能被14整除．
14．若(2x＋3y)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)－4))n－4的展开式中x2的系数为( )
A．－304 B．304 C．－208 D．208
答案 A
解析 由题意可知n＝8，
故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)－4))n－4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4＋x2＋\f(1,x2)))4，
其展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)(－4)4－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))k，k＝0,1,2,3,4，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))k的展开式的通项为Ceq \\al(m,k)(x2)k－meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)))m＝Ceq \\al(m,k)x2k－4m，m＝0,1，…，k，
令2k－4m＝2，得k＝2m＋1，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝0，,k＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,k＝3，))
所以x2的系数为Ceq \\al(1,4)×Ceq \\al(0,1)×(－4)3＋Ceq \\al(3,4)×Ceq \\al(1,3)×(－4)1＝－304.