2022届高考物理二轮复习 专题五 动量定理和动量守恒定律 讲义

专题二 动量与能量

第2讲　动量定理和动量守恒定律

考点一| 动量定理的应用

1．冲量的三种计算方法

2.动量定理

(1)公式：FΔt＝mv′－mv

(2)应用技巧

①研究对象可以是单一物体，也可以是物体系统．

②表达式是矢量式，需要规定正方向．

③匀变速直线运动，如果题目不涉及加速度和位移，用动量定理比用牛顿第二定律求解更简捷．

④在变加速运动中F为Δt时间内的平均冲力．

⑤电磁感应问题中，利用动量定理可以求解时间、电荷量或导体棒的位移．

3．流体作用的柱状模型

对于流体运动，可沿流速v的方向选取一段柱形流体，设在极短的时间Δt内通过某一横截面S的柱形流体的长度为Δl，如图所示．设流体的密度为ρ，则在Δt的时间内流过该横截面的流体的质量为Δm＝ρSΔl＝ρSvΔt，根据动量定理，流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动量的增量，即FΔt＝ΔmΔv，分两种情况：(以原来流速v的方向为正方向)

 (1)作用后流体微元停止，有Δv＝－v，代入上式有F＝－ρSv2；

(2)作用后流体微元以速率v反弹，有Δv＝－2v，代入上式有F＝－2ρSv2.

[典例1]　运动员在水上做飞行运动表演，如图所示，他操控喷射式悬浮飞行器将竖直送上来的水反转180°后向下喷出，令自己悬停在空中。已知运动员与装备的总质量为90 kg，两个喷嘴的直径均为10 cm，重力加速度大小g取10 m/s2，水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3，则喷嘴处喷水的速度大约为(　　)

A．2.7 m/s　   B．5.4 m/s

C．7.6 m/s　   D．10.8 m/s

B　[两个喷嘴的横截面积均为S＝πd2，根据平衡条件可知每个喷嘴对水的作用力为F＝mg，取质量为Δm＝ρSvΔt的水为研究对象，根据动量定理得FΔt＝2Δmv，解得v＝≈5.4 m/s，选项B正确。]

[典例2] (2020·江苏盐城市三模)如图所示是一则安全警示广告，描述了高空坠物对人伤害的严重性．小王同学用下面的实例来检验广告词的科学性：用一个鸡蛋从8楼的窗户自由下落到地面．经测量鸡蛋质量约50 g，下落到地面的瞬时速度约为20 m/s，与地面接触时间约为0.02 s．不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.求鸡蛋： (1)下落到地面时瞬间动量的大小；

(2)对地面平均作用力的大小．

答案　(1)1 kg·m/s　(2)50.5 N

解析　(1)下落到地面时瞬间动量的大小为

p＝mv＝50×10－3×20 kg·m/s＝1 kg·m/s

(2)设向上为正方向，根据动量定理可知(F－mg)Δt＝0－(－mv)

解得F＝＋mg＝(＋0.05×10) N＝50.5 N

由牛顿第三定律知鸡蛋对地面平均作用力的大小为50.5 N.

动量定理解决流体问题

考点二| 动量守恒定律的应用

1．判断系统动量是否守恒的“三注意”

(1)注意所选取的系统——所选的系统组成不同，结论往往不同。

(2)注意所研究的运动过程——系统的运动分为多个过程时，有的过程动量守恒，另一过程则可能不守恒。

(3)注意守恒条件——整体不满足系统动量守恒条件时，在某一方向可能满足动量守恒条件。

2．动量守恒定律的表达式

(1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和。

(2)Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的增量等大反向。

(3)Δp＝0，系统总动量的增量为零。

3．碰撞的基本规律

4.碰撞拓展

(1)“保守型”碰撞拓展模型

(2)“耗散型”碰撞拓展模型

碰撞问题

[典例3]　(2021·河南开封高三期末)如图所示，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态。现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。

 [解析]　设A运动的初速度为v0，A向右运动与C发生碰撞，由动量守恒定律得mv0＝mv1＋Mv2

由机械能守恒定律得mv＝mv＋Mv

可得v1＝ v0，v2＝v0

要使得A与B能发生碰撞，需要满足v1＜0，即m＜M

A反向向左运动与B发生碰撞，有

mv1＝mv3＋Mv4        mv＝mv＋Mv

整理可得v3＝ v1，v4＝ v1

由于m＜M，所以A还会向右运动，根据要求不发生第二次碰撞，

需要满足v3≤v2     即v0≥ v1＝v0

整理可m2＋4Mm≥M2       解方程可得m≥(－2)M

另一解m≤－(＋2)M(舍去)

所以使A只与B、C各发生一次碰撞，须满足(－2)M≤m＜M。

[答案]　(－2)M≤m＜M

爆炸与反冲

[典例4]　一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空。当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为E，且均沿竖直方向运动。爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量。求：

(1)烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间；

(2)爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度。

 [解析]　(1)设烟花弹上升的初速度为v0，由题给条件有E＝mv ①

设烟花弹从地面开始上升到火药爆炸所用的时间为t，由运动学公式有

0－v0＝－gt     ② 

联立①②式得t＝。  ③

(2)设爆炸时烟花弹距地面的高度为h1，由机械能守恒定律有

E＝mgh1  ④

火药爆炸后，烟花弹上、下两部分均沿竖直方向运动，设爆炸后瞬间其速度分别为v1和v2。由题给条件和动量守恒定律有

mv＋mv＝E ⑤

mv1＋mv2＝0 ⑥

由⑥式知，烟花弹两部分的速度方向相反，向上运动部分做竖直上抛运动。设爆炸后烟花弹上部分继续上升的高度为h2，由机械能守恒定律有

mv＝mgh2 ⑦

联立④⑤⑥⑦式得，烟花弹向上运动部分距地面的最大高度为

h＝h1＋h2＝。 ⑧

考点三| 新情境探究

以“水滴石穿”为背景考查动量定理的应用

[案例1]　中国传统文化博大精深，简单的现象揭示了深刻的道理，如水滴石穿。假设从屋檐滴下的水滴质量为0.5 g，屋檐到下方石板的距离为4 m，水滴落到石板上在0.2 s内沿石板平面散开，忽略空气阻力，g取10 m/s2，则石板受到水滴的冲击力约为(　　)

A．0.22 N　    B．0.27 N  C．0.022 N    D．0.027 N

D　[由题知，水滴质量为m＝0.5 g，重力加速度为g取10 m/s2，屋檐高度为h＝4 m，设水滴刚落到石板上时速度为v。水滴从屋檐开始下落到石板上，忽略空气阻力，水滴的机械能守恒，有mgh＝mv2。水滴从接触石板到速度为零的过程中，取向下为正方向，对水滴由动量定理得(mg－F)t＝0－mv，解得F≈0.027 N，由牛顿第三定律可知，D正确。]

以自制“水火箭”为背景考查反冲问题

[案例2]　如图所示，某中学航天兴趣小组的同学将静置在地面上的质量为M(含水)的自制“水火箭”释放升空，在极短的时间内，质量为m的水以相对地面为v0的速度竖直向下喷出。已知重力加速度为g，空气阻力不计，下列说法正确的是(　　)

A．火箭的推力来源于火箭外的空气对它的反作用力

B．水喷出的过程中，火箭和水机械能守恒

C．火箭获得的最大速度为

D．火箭上升的最大高度为

D　[火箭的推力来源于火箭喷出的水对它的反作用力，选项A错误；水喷出的过程中，火箭和水组成系统动量守恒，系统的机械能增加，选项B错误；设火箭获得的最大速度大小为v，由动量守恒定律，mv0＝(M—m)v，解得v＝ ，选项C错误；由竖直上抛运动规律，可得火箭上升的最大高度为h＝＝，选项D正确。]

以冰壶比赛为背景考查碰撞问题

[案例3]　(多选)(2021·贵州省遵义二模)在冰壶比赛中，球员手持毛刷擦刷冰面，可以改变冰壶滑行时受到的阻力。如图甲所示，蓝壶静止在圆形区域内，运动员用等质量的红壶撞击蓝壶，两壶发生正碰。若碰撞前、后两壶的 v­t图象如图乙所示。关于冰壶的运动，下列说法正确的是(　　)

甲　　　　　　　　　　乙

A．两壶发生弹性碰撞

B．碰撞后两壶相距的最远距离为1.1 m

C．蓝壶受到的滑动摩擦力较大

D．碰撞后蓝壶的加速度大小为0.12 m/s2

BD　[设碰后蓝壶的速度为v，碰前红壶的速度v0＝1.0 m/s，碰后红壶的速度为v0′＝0.4 m/s，取碰撞前红壶的速度方向为正方向，根据动量守恒定律可得：mv0＝mv0′＋mv，解得蓝壶的速度v＝0.6 m/s；碰撞前两壶的总动能Ek1＝mv＝0.5m，碰撞后两壶的总动能为Ek2＝mv′＋mv2＝0.26m＜Ek1，所以两壶碰撞为非弹性碰撞，故A错误；根据v­t图象的斜率表示加速度，可知红壶的加速度大小a1＝＝0.2 m/s2，由图象可知蓝壶静止的时刻为t＝＝6 s，速度图象与坐标轴围成的面积表示位移，则碰后两壶相距的最远距离为s＝ m＝1.1 m，故B正确；碰后蓝壶的加速度大小a2＝＝0.12 m/s2，碰后红壶的加速度比蓝壶的加速度大，两壶质量相等，所以红壶的滑动摩擦力比蓝壶的滑动摩擦力大，故C错误，D正确。]