2021年江苏省无锡市新吴区湖滨中学中考数学一调试卷（含答案）

这是一份2021年江苏省无锡市新吴区湖滨中学中考数学一调试卷（含答案），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省无锡市新吴区湖滨中学中考数学一调试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围为（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
3．（3分）下列运算正确的（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a3）3＝a6 C．a3﹣a2＝a D．a3÷a2＝a
4．（3分）一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是三角形，这个几何体可能（ ）
A．长方体 B．四棱锥 C．三棱锥 D．圆锥
5．（3分）已知某圆锥的底面半径为3cm，母线长5cm，则它的侧面展开图的面积为（ ）
A．30cm2 B．15cm2 C．30πcm2 D．15πcm2
6．（3分）下列调查方式不合适的是（ ）
A．为了了解某班学生今年“五一”期间每天的锻炼时间，采用普查的方式进行统计
B．小芳的妈妈在炒菜时为了了解菜的咸淡情况，采用抽样的方式品尝一下
C．在防控新冠肺炎疫情的关键时期，敬老院门卫处对来访人员的体温情况采用抽样的方式进行检测
D．为了了解江苏省中小学生寒假期间每天登陆“省名师空中课堂”进行学习的情况，采用抽样的方式进行调查
7．（3分）某区新教师招聘中，九位评委独立给出分数，得到一列数．若去掉一个最高分和一个最低分，得到一列新数，那么这两列数的相关统计量中，一定相等的是（ ）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
8．（3分）如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且∠AOB＝90°，则tan∠OBA的值等于（ ）

A．2 B．3 C． D．
9．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为（，2），则正方形ABCD的边（ ）

A．6 B．3 C．4 D．4
10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：3，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）

A．3：4 B．6： C．：2 D．2：
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。）
11．（2分）64的平方根是 ．
12．（2分）分解因式：xy2﹣x3＝ ．
13．（2分）新冠疫情期间，全国口罩日产量达到1.16亿只，这个数据用科学记数法可记为 ．
14．（2分）菱形的两条对角线的长分别是6cm和5cm，则菱形的面积是 ．
15．（2分）给出如下5种图形：①菱形，②等边三角形，③正五边形，④圆，⑤线段．其中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有 （请将所有符合题意的序号填在横线上）．
16．（2分）在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（0，2）、C（﹣3，﹣3）都在⊙M上，则圆心M的坐标为 ．
17．（2分）如图，已知△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ．

18．（2分）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是 ．

三、解答题（本大题共10小题，共84分。）
19．（8分）计算：
（1）0；
（2）（2a+3）2﹣（a+2）（2a﹣1）．
20．（8分）解方程：
（1）；
（2）x2﹣6x+1＝0．
21．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE＝CF，EF＝BD．求证：四边形EBFD是矩形．

22．（8分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分．规定：85≤x≤100为A级，75≤x＜85为B级，60≤x＜75为C级，x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生，图2中等级为A的扇形的圆心角等于 °；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有3000名学生，请你估计该校等级为D的学生有多少名？
23．（6分）小亮和小伟一起参加象棋比赛，他们所在的小组共有5名选手．抽签袋里有2红2黑1白共5个小球，摸到同色的成为首轮对手，摸到白球的首轮轮空．现在小组其他3名选手首先依次各摸走一个小球，小亮看到第1个选手摸走的是红球，他对小伟说根据这3名选手的摸球结果我已经知道咱俩恰好首轮对阵的概率了．请你求这个概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
24．（6分）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，请用直尺和圆规，作出符合下列条件的各点，不写作法，但保留必要的作图痕迹．
（1）作AB上一点D，BC上一点E，使得CD+BE＝，且BE最大；
（2）在第一问的条件下，作CD上一点F，AC上一点G，使得CF＝AG，且DG+AF最小，并求出这个最小值．

25．（8分）小明去超市采购防疫物品，超市提供如表所示A、B两种套餐，小明决定购买50份A套餐．超市为了促进消费，给出两种优惠方式，方式一：现金支付总额每满700元立减200元；方式二：现金支付总额每满600元送300元现金券，现金券可等同现金使用，但是使用现金券的总额不能超过应付总金额．
套餐类别
一次性防护口罩
免洗洗手液
套餐价格
A
2包
1瓶
71元
B
1包
2瓶
67元
（1）求一次性防护口罩和免洗洗手液各自的单价；
（2）小明觉得优惠方式二比方式一的优惠力度更大，他计划分两次购买，第一次付现金购买一部分A套餐，获得的现金券在购买剩下的部分的时候全部用掉．请你通过计算说明小明这样做能否比优惠方式一付款更省钱？
26．（10分）（1）问题发现：如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为 ；
②∠AMB的度数为 ．
（2）类比探究：如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请求出当点C与点M重合时AC的长．

27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

28．（12分）如图1，已知线段AB长为6，点A在x轴负半轴，B在y轴正半轴，绕A点顺时针旋转60°，B点恰好落在x轴上D点处，点C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形．
（1）求点C、点D的坐标并用尺规作图确定两点位置（保留作图痕迹）
（2）如图2，若半径为1的⊙P从点A出发，沿A﹣B﹣D﹣C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.5个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时，
①t为何值时，⊙P与y轴相切？
②在整个运动过程中⊙P与x轴有公共点的时间共有几秒？简述过程．
（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的面积是多少？


2021年江苏省无锡市新吴区湖滨中学中考数学一调试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：D．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．
2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围为（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
【分析】根据分母不等于0及被开方数大于等于0处理即可．
【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，
∴x＞2．
故选：A．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，基础题，难度不大．
3．（3分）下列运算正确的（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a3）3＝a6 C．a3﹣a2＝a D．a3÷a2＝a
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；
B．（a3）3＝a9，故本选项不合题意；
C．a3与﹣a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D．a3÷a2＝a，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是三角形，这个几何体可能（ ）
A．长方体 B．四棱锥 C．三棱锥 D．圆锥
【分析】找到从正面、左面和上面看得到的图形都是三角形的几何体即可．
【解答】解：∵主视图和左视图都是三角形，
∴此几何体为锥体，
∵俯视图是一个三角形，
∴此几何体为三棱锥．
故选：C．
【点评】此题考查由三视图判断几何体，关键是根据三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．
5．（3分）已知某圆锥的底面半径为3cm，母线长5cm，则它的侧面展开图的面积为（ ）
A．30cm2 B．15cm2 C．30πcm2 D．15πcm2
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15πcm2．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
6．（3分）下列调查方式不合适的是（ ）
A．为了了解某班学生今年“五一”期间每天的锻炼时间，采用普查的方式进行统计
B．小芳的妈妈在炒菜时为了了解菜的咸淡情况，采用抽样的方式品尝一下
C．在防控新冠肺炎疫情的关键时期，敬老院门卫处对来访人员的体温情况采用抽样的方式进行检测
D．为了了解江苏省中小学生寒假期间每天登陆“省名师空中课堂”进行学习的情况，采用抽样的方式进行调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、为了了解某班学生今年“五一”期间每天的锻炼时间，人数较少，应采用普查的方式进行统计，故原题说法正确；
B、小芳的妈妈在炒菜时为了了解菜的咸淡情况，采用抽样的方式品尝一下，故原题说法正确；
C、在防控新冠肺炎疫情的关键时期，敬老院门卫处对来访人员的体温情况采用普样的方式进行检测，故原题说法错误；
D、为了了解江苏省中小学生寒假期间每天登陆“省名师空中课堂”进行学习的情况，人数众多，应采用抽样的方式进行调查，故原题说法正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
7．（3分）某区新教师招聘中，九位评委独立给出分数，得到一列数．若去掉一个最高分和一个最低分，得到一列新数，那么这两列数的相关统计量中，一定相等的是（ ）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：C．
【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．
8．（3分）如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且∠AOB＝90°，则tan∠OBA的值等于（ ）

A．2 B．3 C． D．
【分析】首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，可得S△OBD＝1，S△AOC＝3，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得OA：OB＝：1，然后由正切函数的定义求得答案．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∴∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠OBD+∠BOD＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠OBD＝∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴＝（）2，
又点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△OBD＝＝1，S△AOC＝×|﹣6|＝3，
∴S△AOC：S△OBD＝3：1，
∴OA：OB＝：1，
∴tan∠OBA＝＝．
故选：C．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
9．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为（，2），则正方形ABCD的边（ ）

A．6 B．3 C．4 D．4
【分析】如图，点D是点B关于直线AC的对称点，连接DE交AC于点P，则此时y取得最小值，即ED＝2，即可求解．
【解答】解：如图，点D是点B关于直线AC的对称点，连接DE交AC于点P，则此时y取得最小值，

根据点的对称性，PB＝PD，则y＝PE+PB＝PD+PE＝DE为最小，
故ED＝2，
设正方形的边长为x，则AE＝x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2，
即x2+（x）2＝（2）2，解得：x＝4（负值已舍去），
故选：D．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形，正方形的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．
10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：3，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）

A．3：4 B．6： C．：2 D．2：
【分析】连接DE，DF，过点F作FN⊥AB，交AB的延长线于点N，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M，根据题意可得△ADF的面积＝△DEC的面积＝平行四边形ABCD的面积，从而可得＝，然后设AB＝4a，BC＝3a，分别表示出AN，FN，EM，CM的长，再利用勾股定理求出AF，CE，进行计算即可解答．
【解答】解：连接DE，DF，过点F作FN⊥AB，交AB的延长线于点N，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M，

由题意得：
△ADF的面积＝△DEC的面积＝平行四边形ABCD的面积，
∴AF•DP＝CE•DQ，
∴＝，
∵AB：BC＝4：3，
∴设AB＝4a，BC＝3a，
∵AE：EB＝1：3，
∴AE＝a，EB＝3a，
∵F是BC的中点，
∴BF＝BC＝a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠CBM＝60°，
∴∠BFN＝∠BCM＝30°，
在Rt△BFN和Rt△BCM中，
∴BN＝BF＝a，BM＝BC＝a，
CM＝BM＝a，FN＝BN＝a，
∴AN＝AB+BN＝a，EM＝EB+BM＝a，
在Rt△ANF和Rt△ECM中，根据勾股定理得：
AF＝＝＝a，
CE＝＝＝3a，
∴＝＝，
∴DP：DQ＝6：，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。）
11．（2分）64的平方根是 ±8 ．
【分析】直接根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（±8）2＝64，
∴64的平方根是±8．
故答案为：±8．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．（2分）分解因式：xy2﹣x3＝ x（y+x）（y﹣x） ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2﹣x3
＝x（y2﹣x2），
＝x（y+x）（y﹣x）．
故答案为：x（y+x）（y﹣x）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
13．（2分）新冠疫情期间，全国口罩日产量达到1.16亿只，这个数据用科学记数法可记为 1.16×108 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此解答即可．
【解答】解：1.16亿＝116000000＝1.16×108．
故答案为：1.16×108．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
14．（2分）菱形的两条对角线的长分别是6cm和5cm，则菱形的面积是 15cm2 ．
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【解答】解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据S＝ab＝×5cm×6cm＝15cm2，
故答案为 15cm2．
【点评】本题考查了根据对角线计算菱形的面积的方法，本题中根据菱形对角线求得菱形的面积是解题的关键．
15．（2分）给出如下5种图形：①菱形，②等边三角形，③正五边形，④圆，⑤线段．其中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有 ②③ （请将所有符合题意的序号填在横线上）．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【解答】解：菱形、圆、线段既是轴对称图形又是中心对称图形；
等边三角形、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；
所以是轴对称图形但不是中心对称图形的有②③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
16．（2分）在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（0，2）、C（﹣3，﹣3）都在⊙M上，则圆心M的坐标为 （1，2） ．
【分析】设M点的坐标为（x，y），由题意知，MA＝MB＝MC，据此列出x、y的二元一次方程组，解方程组便可得出答案．
【解答】解：设M点的坐标为（x，y），由题意知，MA＝MB＝MC，
∴＝＝，
化简得：，
解得：，
∴M（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查了点的坐标与图形性质，圆的基本性质，解二元一次方程组，两点距离公式，关键是正确列出圆心的横纵坐标两个未知数的二元一次方程组．
17．（2分）如图，已知△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ．

【分析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，设AB＝c，AC＝b，利用解直角三角形、三角形面积及不等式的性质即可求得答案．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
设AB＝c，AC＝b，
在Rt△ADE中，DE＝AD•sin∠BAD＝2sin30°＝1，
在Rt△ACG中，CG＝AC•sin∠BAC＝b•sin60°＝b，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝1，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴AB•CG＝AB•DE+AC•DF，
即：c×b＝×c×1+×b×1，
∴c+b＝bc，
∵（﹣）2≥0，
∴c+b≥2，当且仅当b＝c时取等号，
∴bc≥2，
解得：bc≥，
∴S△ABC＝bc≥×＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了解直角三角形，三角形面积，完全平方公式，基本不等式的应用等，属于中档题．
18．（2分）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是 ．

【分析】连接EB，设OA＝r，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EB，设OA＝r，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．
∴E是△ACB的内心，
∴∠AEB＝135°，
作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，
则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，
点C的运动轨迹是，由题意∠MON＝2∠GDF，
设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，
∴弧MN的长度：弧GF的长度＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了轨迹，圆周角定理，弧长公式，解决本题的关键是掌握与圆有关的性质．
三、解答题（本大题共10小题，共84分。）
19．（8分）计算：
（1）0；
（2）（2a+3）2﹣（a+2）（2a﹣1）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算，即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）0
＝4+3﹣+1
＝5+2；
（2）（2a+3）2﹣（a+2）（2a﹣1）
＝4a2+12a+9﹣2a2﹣3a+2
＝2a2+9a+11．
【点评】本题考查了实数的运算，多项式乘多项式，完全平方式，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
20．（8分）解方程：
（1）；
（2）x2﹣6x+1＝0．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）去分母得到：x（x+2）﹣（x﹣2）＝x2﹣4，
解得：x＝﹣6，
检验：把x＝﹣6代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣6；
（2）方程整理得：x2﹣6x＝﹣1，
配方得：x2﹣6x+9＝8，即（x﹣3）2＝8，
开方得：x﹣3＝±2，
解得：x1＝3+2，x2＝3﹣2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及解分式方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
21．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE＝CF，EF＝BD．求证：四边形EBFD是矩形．

【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质证明即可．
【解答】证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，∠ABO＝∠CDO，
在△ABE与△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，∠BAE＝∠CDF，
∴∠ABO﹣∠BAE＝∠CDO﹣∠CDF，
即∠BEO＝∠DFO，
∴BE∥DF，
∴四边形EBDF是平行四边形，
∵EF＝BD，
∴平行四边形EBDF是矩形．
【点评】此题考查矩形的判定，关键是根据全等三角形的判定得出△ABE≌△CDF．
22．（8分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分．规定：85≤x≤100为A级，75≤x＜85为B级，60≤x＜75为C级，x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了 50 名学生，图2中等级为A的扇形的圆心角等于 86.4 °；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有3000名学生，请你估计该校等级为D的学生有多少名？
【分析】（1）根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用360°乘以A等级人数所占比例即可得；
（2）用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，据此即可补全图形；
（3）用总人数乘以样本中D等级学生所占比例即可得．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生数是：＝50（人），
∵a＝×100%＝24%；
∴扇形统计图中A级对应的圆心角为24%×360°＝86.4°；
故答案为：50、86.4；

（2）C等级人数为50﹣（12+24+4）＝10，
补全条形图如下：


（3）3000×＝240（人），
答：估计该校等级为D的学生有240名．
【点评】此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（6分）小亮和小伟一起参加象棋比赛，他们所在的小组共有5名选手．抽签袋里有2红2黑1白共5个小球，摸到同色的成为首轮对手，摸到白球的首轮轮空．现在小组其他3名选手首先依次各摸走一个小球，小亮看到第1个选手摸走的是红球，他对小伟说根据这3名选手的摸球结果我已经知道咱俩恰好首轮对阵的概率了．请你求这个概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】设红球为A1、A2，黑球为B1、B2，白球为C，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：设红球为A1、A2，黑球为B1、B2，白球为C．

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中符合题意的结果共有2种，
∴P（小亮和小伟首轮对阵）＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（6分）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，请用直尺和圆规，作出符合下列条件的各点，不写作法，但保留必要的作图痕迹．
（1）作AB上一点D，BC上一点E，使得CD+BE＝，且BE最大；
（2）在第一问的条件下，作CD上一点F，AC上一点G，使得CF＝AG，且DG+AF最小，并求出这个最小值．

【分析】（1）作CD⊥AB于点D，以C为圆心，CD为半径作弧交CB于点E，点D，点E即为所求；
（2）设AG＝CF＝x，利用勾股定理，转化的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，点D，点E即为所求；


（2）设AG＝CF＝x，过点D作DJ⊥AC于点J．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝，
∴AB＝＝＝2，
∵CD⊥AB，
∴AD＝DB＝1，
∴CD＝AD＝DB＝1，
∵DJ⊥AC，
∴AJ＝JC＝DJ＝，
∴AF+DG＝+，
欲求AF+DG的最小值，只要在x轴上找一点E（x，0），使得点E到P（1，1），Q（，）的距离和最小即可，
如图，作点Q关于x轴的对称点Q′，连接PQ′，交X轴于点E，连接QE，此时EQ+EP的值最小，最小值＝PQ′＝＝．

∴DG+AF的最小值为．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．（8分）小明去超市采购防疫物品，超市提供如表所示A、B两种套餐，小明决定购买50份A套餐．超市为了促进消费，给出两种优惠方式，方式一：现金支付总额每满700元立减200元；方式二：现金支付总额每满600元送300元现金券，现金券可等同现金使用，但是使用现金券的总额不能超过应付总金额．
套餐类别
一次性防护口罩
免洗洗手液
套餐价格
A
2包
1瓶
71元
B
1包
2瓶
67元
（1）求一次性防护口罩和免洗洗手液各自的单价；
（2）小明觉得优惠方式二比方式一的优惠力度更大，他计划分两次购买，第一次付现金购买一部分A套餐，获得的现金券在购买剩下的部分的时候全部用掉．请你通过计算说明小明这样做能否比优惠方式一付款更省钱？
【分析】（1）设一次性防护口罩为x元/包，免洗洗手液为y元/瓶，由题意列出方程组，解方程组即可；
（2）设小明第一次购买了m份A套餐，则第二次购买（50﹣m）份A套餐，由题意得：，解得m≤33，得出小明这样做实际少付900元．再求出小明用优惠方式一付款实际少付1000元，即可得出结论．
【解答】解：（1）设一次性防护口罩为x元/包，免洗洗手液为y元/瓶，
由题意得：，
解得：x＝25，y＝21．
答：一次性防护口罩为25元/包，免洗洗手液为21元/瓶．
（2）设小明第一次购买了m份A套餐，则第二次购买（50﹣m）份A套餐，
由题意得：，解得：m≤33，
∴小明第一次最多可购买33份，付款71元×33＝2343元，得到3×300元＝900元现金券，在第二次购买时全部用掉，
即小明这样做实际少付900元．
假如小明用优惠方式一付款，总价71元×50＝3550元，可减5×200元＝1000元，
即小明实际少付1000元．
∵900＜1000，
∴小明现在的付款方式不能更省钱；
即小明这样做不能比优惠方式一付款更省钱．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用；由题意列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键．
26．（10分）（1）问题发现：如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为 1 ；
②∠AMB的度数为 45° ．
（2）类比探究：如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请求出当点C与点M重合时AC的长．

【分析】（1）①由∠AOB＝∠COD推出∠COA＝∠DOB，利用边角边即可证△COA与△DOB全等，即可求出结果；
②先证出∠CAO与∠DBO相等，分别加∠AOB，∠AMB，结果仍相等，即可得到∠AOB＝∠AMB＝45°；
（2）证明△DOB与△COA相似即可求出AC：BD的值，再通过对顶角相等及∠OBD＝∠CAO即可证出∠AMB的度数为90°；
（3）分点M在直线OA的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比设未知数，在Rt△AMB中利用勾股定理构造方程即可求出AC的长．
【解答】解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝45°，
∴∠AOB+∠DOA＝∠COD+∠DOA，
∴∠COA＝∠DOB，
又∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC＝BD，
∴＝1，
故答案为：1；

②设AO与BD交于点E，
由①知，△COA≌△DOB，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠AOB+∠DBO＝∠DEO，
∠AMB+∠CAO＝∠DEO，
∴∠AOB＝∠AMB＝45°，
故答案为：45°；


（2）在△OAB和△OCD中，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，
∴tan30°＝，
∵∠AOB+∠DOA＝∠COD+∠DOA，
即∠DOB＝∠COA，
∴△DOB∽△COA，
∴，
∠DBO＝∠CAO，
∵∠DBO+∠OEB＝90°，∠OEB＝∠MEA，
∴∠CAO+∠MEA＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴，∠AMB＝90°；


（3）①如图3﹣1，当点M在直线OB左侧时，
在Rt△OCD中，∠OCD＝30°，OD＝1，
∴CD＝2，
在Rt△OAB中，∠OAB＝30°，OB＝，
∴AB＝2，
由（2）知，∠AMB＝90°，且，
∴设BD＝x，则AC＝AM＝x，
在Rt△AMB中，
AM2+MB2＝AB2，
∴（x）2+（x+2）2＝（2）2，
解得，x1＝3，x2＝﹣4（舍去），
∴AC＝AM＝3；


②如图3﹣2，当点M在直线OB右侧时，
在Rt△AMB中，
AM2+MB2＝AB2，
∴（x）2+（x﹣2）2＝（2）2，
解得，x1＝4，x2＝﹣3（舍去），
∴AC＝AM＝4，

综上所述，AC的长为3或4．
【点评】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，相似的判定与性质，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式为y＝﹣x+n．把点M的坐标代入求出n，过点D（2，0）作DH⊥MC于H，则直线DH的解析式为y＝2x﹣4，构建方程组求出点H的坐标，证明DH＝HM，推出∠DMC＝45°可得结论．
（3）如图2中，过点G作GH⊥OA于H，过点E作EK⊥OA于K．证明∠EFA＝∠BAO，由题意∠EFA＝∠GFH，tan∠BAO＝＝＝，推出tan∠GFH＝tan∠EFK＝，由GH∥EK，推出＝＝，设GH＝4k，EK＝3k，构建方程求出k即可解决问题．
【解答】（1）解：对于抛物线y＝x2﹣2x，令y＝0，得到x2﹣2x＝0，
解得x＝0或6，
∴A（6，0），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，
∴0＝﹣3+b，
∴b＝3，
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣3）2﹣3，
∴M（3，﹣3）．

（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式y＝﹣x+n．

∵平移后的直线经过M（3，﹣3），
∴﹣3＝﹣+n，
∴n＝﹣，
∴平移后的直线的解析式为y＝﹣x﹣，
过点D（2，0）作DH⊥MC于H，
则直线DH的解析式为y＝2x﹣4，
由，解得，
∴H（1，﹣2），
∵D（2，0），M（3，﹣3），
∴DH＝＝，HM＝＝，
∴DH＝HM．
∴∠DMC＝45°，
∵∠ADM＝∠DMC+∠ACM，
∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．

（3）解：如图2中，过点G作GH⊥OA于H，过点E作EK⊥OA于K．

∵∠BEF＝2∠BAO，∠BEF＝∠BAO+∠EFA，
∴∠EFA＝∠BAO，
∵∠EFA＝∠GFH，tan∠BAO＝＝＝，
∴tan∠GFH＝tan∠EFK＝，
∵GH∥EK，
∴＝＝，设GH＝4k，EK＝3k，
则OH＝HG＝4k，FH＝8k，FK＝AK＝6k，
∴OF＝AF＝12k＝3，
∴k＝，
∴OF＝3，FK＝AK＝，EK＝，
∴OK＝，
∴E（，）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
28．（12分）如图1，已知线段AB长为6，点A在x轴负半轴，B在y轴正半轴，绕A点顺时针旋转60°，B点恰好落在x轴上D点处，点C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形．
（1）求点C、点D的坐标并用尺规作图确定两点位置（保留作图痕迹）
（2）如图2，若半径为1的⊙P从点A出发，沿A﹣B﹣D﹣C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.5个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时，
①t为何值时，⊙P与y轴相切？
②在整个运动过程中⊙P与x轴有公共点的时间共有几秒？简述过程．
（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的面积是多少？

【分析】（1）由题可知：AD＝AB＝6，∠DAB＝60°，再根据条件就可求出OB及BC的长，从而得到点C和点D的坐标．以点A为圆心，AB为半径画弧，与x轴交点即为点D；以点D为圆心，AB为半径画弧，以点B为圆心，AD为半径画弧，两弧的交点即为点C．
（2）①分点P在AB、BD、DC上三种情况讨论，然后在直角三角形中运用特殊角的三角函数值建立方程，就可解决问题；
②只需求出三个临界位置（点P分别在AB、BD、DC上，且⊙P与x轴相切）对应的t的值，就可解决问题．
（3）过点O作OH⊥AB，垂足为H，过点O作OH′⊥A′B′，垂足为H′，采用割补法将S阴影转化为S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′﹣S扇形OHH′﹣S△OH′B′就可解决问题．
【解答】解：（1）由题可知：AD＝AB＝6，∠DAB＝60°．
∵∠AOB＝90°，∴AO＝3，OB＝3．
∴OD＝AD﹣OA＝3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6．
∴点C的坐标为（6，3），点D的坐标为（3，0）．
作法：①以点A为圆心，AB为半径画弧，与x轴交点即为点D；
②以点D为圆心，AB为半径画弧；以点B为圆心，AD为半径画弧，两弧的交点即为点C．
如图1所示．


（2）①Ⅰ．点P在AB上时，过点P作PE⊥y轴，垂足为E，如图2，

∵⊙P与y轴相切，∴PE＝r＝1+0.5t．
在Rt△PEB中，
∵∠PBE＝90°﹣60°＝30°，PB＝6﹣4t，PE＝1+0.5t，
∴6﹣4t＝2（1+0.5t）．
解得：t＝．
Ⅱ．点P在BD上时，过点P作PE⊥y轴，垂足为E，如图3，

同理可得：t＝．
Ⅲ．点P在DC上时，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图4，

则有DP＝4t﹣12．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠CDF＝∠BAO＝60°．
∴∠DPF＝30°．
∴DF＝2t﹣6．
∴OF＝3+2t﹣6＝2t﹣3．
若⊙P与y轴相切，则OF＝r＝1+0.5t．
∴2t﹣3＝1+0.5t．
解得：t＝．
此时点P不在DC上，故舍去．
∴当t取秒或秒时，⊙P与y轴相切．
②Ⅰ．点P在AB上，且⊙P与x轴相切于点F时，连接PF，如图5，

则有PF⊥OA，即∠PFA＝90°．
在Rt△AFP中，
∵PF＝1+0.5t，AP＝4t，∠PAF＝60°，
∴sin∠PAF＝＝＝．
解得；t＝．
Ⅱ．点P在BD上，且⊙P与x轴相切于点F时，连接PF，如图6，

同理可得：t＝．
Ⅲ．点P在DC上，且⊙P与x轴相切于点F时，连接PF，如图7，

同理可得：t＝．
∴t＝+﹣
＝．
∴在整个运动过程中⊙P与x轴有公共点的时间共有秒．

（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的图形如图8所示，

过点O作OH⊥AB，垂足为H，过点O作OH′⊥A′B′，垂足为H′，如图所示，
则有OH＝OA•sin∠HAO＝3×＝．
同理可得：OH′＝．
∵S弓形AR＝S扇形OAR﹣S正△OAR＝﹣×3×＝﹣．
S扇形OBB′＝＝，
S扇形OHH′＝＝．
S△OHB＝S△OH′B′
∴S阴影＝S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′﹣S扇形OHH′﹣S△OH′B′
＝S弓形AR+S扇形OBB′﹣S扇形OHH′
＝﹣+﹣
＝．
∴线段AB扫过的面积是．
【点评】本题考查了切线的性质、平行四边形的性质、扇形的面积公式、特殊角的三角函数值、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，还考查了分类讨论及割补法等数学思想方法，有一定的难度．而正确分类及合理割补是解决本题的关键，是一道易错题．