2021年江苏省常州外国语学校中考数学新课结束试卷

这是一份2021年江苏省常州外国语学校中考数学新课结束试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）2021的倒数是（ ）
A．2021B．﹣2021C．D．﹣
2．（2分）若a7＝m，a5＝n（a≠0），那么a2用含m和n的代数式表示为（ ）
A．m•nB．C．D．m﹣n
3．（2分）如图所示的主视图对应的几何体是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）+＝0，则x的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．D．无选项
5．（2分）甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为甲，乙，射击成绩的方差依次记为s甲2，s乙2，则下列关系中完全正确的是（ ）
A．甲＝乙，s甲2＞s乙2B．甲＝乙，s甲2＜s乙2
C．甲＞乙，s甲2＞s乙2D．甲＜乙，s甲2＜s乙2
6．（2分）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的边长分别为8cm，10cm和12cm，另一个三角形的最短边长为2cm，则它的最长边为（ ）
A．3cmB．4cmC．4.5cmD．5cm
7．（2分）变量x，y的一些对应值如表：
根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（ ）
A．76B．﹣74C．126D．﹣124
8．（2分）如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过AB的中点F，交BC于点E，且OB•AC＝40，下列四个结论：①双曲线的解析式为y＝（x＞0）；②E点的坐标是（，4）；③sin∠CAO＝；④AC+OB＝6．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）计算：（﹣1）2021+|1﹣|+（π﹣3）0＝ ．
10．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．（2分）2021年是中国共产党成立100周年，也是中国工农红军长征胜利85周年，长征中，中国共产党领导的中国工农红军红一方面军（中央红军，由毛泽东带领）行程在25000里以上，因此长征又称“万里长征”．其中，“25000”这个数字用科学记数法表示为 ．
12．（2分）分解因式：﹣2x2+8x﹣8＝ ．
13．（2分）在平面直角坐标系中，若点M（2a+7，0）和N（2﹣b，a+b）关于y轴对称，则ab＝ ．
14．（2分）已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝ ．
15．（2分）如图，AB，BC为⊙O中异于直径的两条弦，OA交BC于点D，若∠AOC＝50°，∠C＝34°，则∠A的度数为＝ ．
16．（2分）若定义一种新运算：a⊗b＝，例如：4⊗1＝4⊗1＝4；5⊗4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y＝（﹣x+3）⊗（x+1）的最大值是 ．
17．（2分）在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，点N在AD边上，点M为BC中点，连接DE、MN、BN，若DE＝MN，cs∠AED＝，则BN的长为 ．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（3，0），若在直线y＝﹣x+m上存在点P满足∠APB＝60°，则m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分）
19．（6分）先化简，再求值（x﹣2）（x+2）﹣（﹣x+2）2，其中x＝3．
20．（8分）解方程和不等式组：
（1）＝﹣1；
（2）．
21．（8分）中共中央、国务院印发《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，强调劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，要把劳动教育纳入人才培养全过程，市教体局为了了解某市九年级学生假期参加劳动实践天数的情况，随机抽取该市部分九年级学生进行调查，并将调查数据绘制成如下两幅统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）样本容量为 ；
（2）补全条形统计图，九年级学生劳动实践天数的中位数是 天；
（3）若该市共有九年级学生6000人，估计九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有多少人？
22．（8分）小红积极参加社区环保志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（清洗乱涂画）、B组（清理垃圾）、C组（美化绿化小区）．
（1）小红被分到B组的概率是 ；
（2）小明也参加了该社区的环保志愿者队伍，求小明和小红被分到同一组的概率．
23．（8分）如图，点C、F、E、B在同一直线上，点A、D分别在BC两侧，AB∥CD，BE＝CF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝DC；
（2）若AB＝CE，∠B＝30°，求∠D的度数．
24．（8分）为了丰富学生社会实践活动，学校组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30cm）处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h．哪组同学先到达目的地？请说明理由．
25．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（2，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求M点坐标．
26．（10分）在△ABC中，点P是平面内任意一点（不同于A、B、C），若点P与A、B、C中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点P为△ABC的一个勾股点
（1）如图1，若点P是△ABC内一点，∠A＝55°，∠ABP＝10°，∠ACP＝25°，试说明点P是△ABC的一个勾股点；
（2）如图2，等腰△ABC的顶点都在格点上，点D是BC的中点，点P在直线AD上，请在图中标出使得点P是△ABC的勾股点时，点P的位置；
（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，点D是AB的中点，点P在射线CD上．若点P是△ABC的勾股点，请求出CP的长．
27．（10分）如图（1），四边形ABCD的顶点A、D、C分别在x、y轴的正半轴上，AD∥BC，OC＝4cm．动点E从点C出发，沿C→D→A→B→C匀速运动，动点F以每秒1cm的速度从C出发沿线段CB向点B来回运动，当E点运动到点C点时，两点同时停止运动．若点E、F同时出发运动t秒后，如图（2）是△OEC的面积S（cm2）与t（秒）的函数关系图象，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．
（1）填空：点E的运动速度是 ，B点坐标为 ．
（2）当0≤t＜4秒时，
①t为何值时，以O、C、E为顶点的三角形与△BFG相似？
②是否存在这样的时刻t，使点G正好落在线段AB上，若存在，求此时的t，若不存在，请说明理由．
28．（10分）如图①已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连接BC，二次函数的对称轴与x轴的交点E．
（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为 ，点A的坐标为 ；
（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年江苏省常州外国语学校中考数学新课结束试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）2021的倒数是（ ）
A．2021B．﹣2021C．D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：2021的倒数是．
故选：C．
2．（2分）若a7＝m，a5＝n（a≠0），那么a2用含m和n的代数式表示为（ ）
A．m•nB．C．D．m﹣n
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则进而将原式变形得出答案．
【解答】解：∵a7＝m，a5＝n（a≠0），
∴a7÷a5＝a2＝．
故选：B．
3．（2分）如图所示的主视图对应的几何体是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据主视图是在正面内得到的由前向后观察物体的视图，逐一判断即可．
【解答】解：A、主视图为，故此选项不合题意；
B、主视图为，故此选项符合题意；
C、主视图为，故此选项不合题意；
D、主视图为，故此选项不合题意．
故选：B．
4．（2分）+＝0，则x的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．D．无选项
【分析】根据题意，对原方程变形为＝﹣，即可得到有2x﹣1＝﹣5x﹣8，解方程即可得出x的值．
【解答】解：+＝0，
即＝﹣，
故有2x﹣1＝﹣5x﹣8
解之得x＝﹣1，
故选：B．
5．（2分）甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为甲，乙，射击成绩的方差依次记为s甲2，s乙2，则下列关系中完全正确的是（ ）
A．甲＝乙，s甲2＞s乙2B．甲＝乙，s甲2＜s乙2
C．甲＞乙，s甲2＞s乙2D．甲＜乙，s甲2＜s乙2
【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．
【解答】解：（1）甲＝（8×4+9×2+10×4）＝9；
乙＝（8×3+9×4+10×3）＝9；
s甲2＝[4×（8﹣9）2+2×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝0.8；
s乙2＝[3×（8﹣9）2+4×（9﹣9）2+3×（10﹣9）2]＝0.7；
∴甲＝乙，s甲2＞s乙2，
故选：A．
6．（2分）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的边长分别为8cm，10cm和12cm，另一个三角形的最短边长为2cm，则它的最长边为（ ）
A．3cmB．4cmC．4.5cmD．5cm
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解答】解：设另一个三角形的最长边为xcm，
∵两个三角形相似，
∴＝，
解得，x＝3，
则另一个三角形的最长边为3cm，
故选：A．
7．（2分）变量x，y的一些对应值如表：
根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（ ）
A．76B．﹣74C．126D．﹣124
【分析】据表格数据得到函数为y＝﹣x3+1，把x＝﹣5代入求得即可．
【解答】解：根据表格数据可知，函数的解析式为y＝﹣x3+1，
当x＝﹣5时，y＝﹣（﹣5）3+1＝126．
故选：C．
8．（2分）如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过AB的中点F，交BC于点E，且OB•AC＝40，下列四个结论：①双曲线的解析式为y＝（x＞0）；②E点的坐标是（，4）；③sin∠CAO＝；④AC+OB＝6．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，根据菱形的性质和反比例函数图象上点的特征以及勾股定理逐一分析即可．
【解答】解：如图，过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，∵A（5，0），
∴OA＝5，
∴S菱形OABC＝OA•BM＝AC•OB＝×40＝20，即5BM＝20，
∴BM＝4，
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝4，由勾股定理可得AM＝3，
∵F为AB中点，
∴FG是△ABM的中位线，
∴FG＝BM＝2，MG＝AM＝
∴F（ ，2）
∵双曲线过点F，
∴k＝xy＝×2＝7，
∴双曲线解析式为y＝（x＞0），
故①正确；
②由①知，BM＝4，故设E（x，4）．
将其代入双曲线y＝（x＞0），得4＝，
∴x＝
∴E（ ，4）．
易得直线OE解析式为：y＝x，
故②正确；
③过C作CH⊥x轴于点H，
可知四边形CHMB为矩形，
∴HM＝BC＝5，
∵AM＝3，
∴OM＝5﹣3＝2，
∴OH＝5﹣OM＝3，
∴AH＝5+3＝8
且CH＝BM＝4，
∴tan∠CAO＝，
故③正确；
④在直角△OBM中，OM＝2，BM＝4，
由勾股定理得到：OB＝．
∵OB•AC＝40，
∴AC＝，
∴AC+OB＝6 ，
故④正确．
综上所述，正确的结论有4个，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）计算：（﹣1）2021+|1﹣|+（π﹣3）0＝ ﹣1 ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+﹣1+1
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
10．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为：x≠1，
11．（2分）2021年是中国共产党成立100周年，也是中国工农红军长征胜利85周年，长征中，中国共产党领导的中国工农红军红一方面军（中央红军，由毛泽东带领）行程在25000里以上，因此长征又称“万里长征”．其中，“25000”这个数字用科学记数法表示为 2.5×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：25000＝2.5×104，
故答案为：2.5×104．
12．（2分）分解因式：﹣2x2+8x﹣8＝ ﹣2（x﹣2）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣2（x2﹣4x+4）
＝﹣2（x﹣2）2．
故答案为：﹣2（x﹣2）2．
13．（2分）在平面直角坐标系中，若点M（2a+7，0）和N（2﹣b，a+b）关于y轴对称，则ab＝ ﹣27 ．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出关于a，b的等式，进而得出答案．
【解答】解：∵点M（2a+7，0）和N（2﹣b，a+b）关于y轴对称，
∴，
解得：，
则ab＝（﹣3）3＝﹣27．
故答案为：﹣27．
14．（2分）已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝ 22020﹣1 ．
【分析】分别令x＝1代入得a0+a1+a2+a3+…+a2021，令x＝﹣1代入得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021，令x＝0，a0＝1；从而可以得出答案．
【解答】解：令x＝1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0+a1+a2+a3+…+a2021＝22021；
令x＝﹣1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021＝0；
∴a0+a1+a2+a3+…+a2021+a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021
＝2（a0+a2+a4…+a2020），
令x＝0，a0＝1；
∴a2+a4+…+a2018+a2020＝22021÷2﹣1＝22020﹣1，
故答案为：22020﹣1．
15．（2分）如图，AB，BC为⊙O中异于直径的两条弦，OA交BC于点D，若∠AOC＝50°，∠C＝34°，则∠A的度数为＝ 59° ．
【分析】如图，连接OB．求出∠OBC，∠ABC，可得∠OBA＝59°，可得结论．
【解答】解：如图，连接OB．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝34°，
∵∠ABC＝∠AOC＝25°，
∴∠OBA＝∠OBC+∠ABC＝59°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠A＝59°，
故答案为：59°．
16．（2分）若定义一种新运算：a⊗b＝，例如：4⊗1＝4⊗1＝4；5⊗4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y＝（﹣x+3）⊗（x+1）的最大值是 3 ．
【分析】根据新运算的定义，对（﹣x+3）和3（x+1）的大小进行比较，列出不同的情况分类讨论，得到不同的函数表达式求出最值即可．
【解答】解：由题可得，
①当﹣x+3≥3（x+1）时，
即：x≤0，
y＝（﹣x+3）（x+1）＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4．
由抛物线性质可得，
当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴只有当x＝0时，y的最大值为y＝3；
②当﹣x+3＜3（x+1）时，
即：x＞0，
y＝2×（﹣x+3）﹣（x+1）﹣2
＝﹣3x+3．
∵﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，当x＝0时，y＝﹣3×0+3＝3．
∵x＞0，
∴y＜3，
综上①②得y≤3．
故函数y＝（﹣x+3）⊗（x+1）的最大值是3．
17．（2分）在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，点N在AD边上，点M为BC中点，连接DE、MN、BN，若DE＝MN，cs∠AED＝，则BN的长为 5或 ．
【分析】分两种情况讨论，由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△GMN，可得∠GNM＝∠AED，由锐角三角函数可求GN＝1，由勾股定理可求解．
【解答】解：根据题意可分两种情况画图：
①如图1，取AD的中点G，连接MG，
∴AG＝DG＝AD＝2，
∵点M为正方形ABCD的边BC中点，
∴MG⊥AD，MG＝AB＝AD，
∴∠MGN＝∠A＝90°，
在Rt△ADE和Rt△GMN中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△GMN（HL），
∴∠GNM＝∠AED，
∴cs∠GMN＝cs∠AED＝＝，
∴设GN＝x，MN＝17x，
∵GN2+GM2＝MN2，
∴17x2+16＝289x2，
∴x＝，
∴GN＝1，
∴AN＝1，
∴BN＝＝＝；
②如图2，取AD的中点G，
同理可得Rt△ADE≌Rt△GMN（HL），
∴∠GNM＝∠AED，
∴cs∠GMN＝cs∠AED＝＝，
∴设GN＝x，MN＝17x，
∵GN2+GM2＝MN2，
∴17x2+16＝289x2，
∴x＝，
∴GN＝1，
∴AN＝3，
∴BN＝＝＝5，
故答案为：5或．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（3，0），若在直线y＝﹣x+m上存在点P满足∠APB＝60°，则m的取值范围是 ﹣﹣2≤m≤+2 ．
【分析】作等边三角形ABE，然后作外接圆，求得直线y＝﹣x+m与外接圆相切时的m的值，即可求得m的取值范围．
【解答】解：如图，作等边三角形ABE，
∵A（﹣3，0），B（3，0），
∴OA＝OB＝3，
∴E在y轴上，
当E在AB上方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P1重合时m的值最大，
当P与P1重合时，连接QP1，则QP1⊥直线y＝﹣x+m，
∵OA＝3，
∴OE＝3，
设⊙Q的半径为x，在Rt△AOQ1中则x2＝32+（3﹣x）2，
解得x＝2，
∴EQ＝AQ＝PQ＝2，
∴OQ＝，
由直线y＝﹣x+m可知OD＝OC＝m，
∴DQ＝m﹣，CD＝m，
∵∠ODC＝∠P1DQ，∠COD＝∠QP1D，
∴△QP1D∽△COD，
∴＝，即＝，
解得m＝+2，
当E在AB下方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P2重合时m的值最小，
当P与P2重合时，同理证得m＝﹣﹣2，
∴m的取值范围是﹣﹣2≤m≤+2，
故答案为：﹣﹣2≤m≤+2．
三、解答题（本大题共10小题，共84分）
19．（6分）先化简，再求值（x﹣2）（x+2）﹣（﹣x+2）2，其中x＝3．
【分析】根据整式的混合运算顺序进行计算，然后代入值计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4﹣x2+4x﹣4
＝4x﹣8，
当x＝3时，原式＝4×3﹣8＝4．
20．（8分）解方程和不等式组：
（1）＝﹣1；
（2）．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）去分母得：x﹣2＝﹣1﹣x+3，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入x﹣3得：2﹣3＝﹣1≠0，
则x＝2是分式方程的解；
（2），
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
21．（8分）中共中央、国务院印发《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，强调劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，要把劳动教育纳入人才培养全过程，市教体局为了了解某市九年级学生假期参加劳动实践天数的情况，随机抽取该市部分九年级学生进行调查，并将调查数据绘制成如下两幅统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）样本容量为 200 ；
（2）补全条形统计图，九年级学生劳动实践天数的中位数是 5 天；
（3）若该市共有九年级学生6000人，估计九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有多少人？
【分析】（1）由5天的人数及其所占百分比可得答案；
（2）根据中位数的概念求解即可；
（3）用总人数乘以劳动实践天数不少于5天的人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（人），
则样本容量为200；
故答案为：200；
（2）∵共抽取了200人，处于中间位置的是第100和101个数的平均数，
∴九年级学生劳动实践天数的中位数是＝5（天）；
故答案为：5；
（3）根据题意得：6000×（1﹣10%﹣15%）＝3375（天），
答：九年级学生劳动实践天数不少于5天的共有3375人．
22．（8分）小红积极参加社区环保志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（清洗乱涂画）、B组（清理垃圾）、C组（美化绿化小区）．
（1）小红被分到B组的概率是 ；
（2）小明也参加了该社区的环保志愿者队伍，求小明和小红被分到同一组的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9个等可能的结果数，其中小明和小红被分到同一组的结果数为3个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小红被分到B组的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有9个等可能的结果数，其中小明和小红被分到同一组的结果数为3个，
∴小明和小红被分到同一组的概率为＝．
23．（8分）如图，点C、F、E、B在同一直线上，点A、D分别在BC两侧，AB∥CD，BE＝CF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝DC；
（2）若AB＝CE，∠B＝30°，求∠D的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的判定得△ABF≌△CDE，即可得AB＝CD；
（2）根据全等三角形的判定得△ABF≌△CDE，即可得AB＝CD，又由AB＝CE，∠B＝30°，即可证得△ABF是等腰三角形，解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AB＝CD；
（2）∵△ABF≌△CDE，
∴AB＝CD，BF＝CE，
∵AB＝CE，∠B＝30°，
∴AB＝BF，
∴∠A＝∠AFB，
∴△ABF是等腰三角形，
∴∠A＝＝，
∴∠D＝∠A＝75°．
24．（8分）为了丰富学生社会实践活动，学校组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30cm）处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h．哪组同学先到达目的地？请说明理由．
【分析】过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中证得BD＝CD，设BD＝x，则CD＝x，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，利用三角函数定义表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD＝AC列出方程问题得解．
【解答】解：作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝x，则CD＝x，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2x，tan30°＝，
∴，
∴AD＝x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB＝，
∴BC＝x，
∵CD+AD＝30+30，
∴x+x＝30+30，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60，BC＝x＝30，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30÷30＝（h），
∵＜1.5，
∴第二组先到达目的地．
25．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（2，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求M点坐标．
【分析】（1）首先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2））设直线AB交x轴于P，则P（3，0），设M（m，0），由S△AOB＝S△OBM，可得S△AOP﹣S△OBP＝S△OBM，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A（m，6），B（2，n）在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m＝1，n＝3，
∴A点坐标是（1，6），B点坐标是（2，3），
把（1，6）、（2，3）代入一次函数y＝kx+b中，得，
解得．
∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+9；
（2）设直线AB交x轴于P，则P（3，0），设M（m，0），
∵S△AOB＝S△OBM，
∴S△AOP﹣S△OBP＝S△OBM，
∴×3×6﹣×3×3＝|m|•3，
解得m＝±3，
∴点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
26．（10分）在△ABC中，点P是平面内任意一点（不同于A、B、C），若点P与A、B、C中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点P为△ABC的一个勾股点
（1）如图1，若点P是△ABC内一点，∠A＝55°，∠ABP＝10°，∠ACP＝25°，试说明点P是△ABC的一个勾股点；
（2）如图2，等腰△ABC的顶点都在格点上，点D是BC的中点，点P在直线AD上，请在图中标出使得点P是△ABC的勾股点时，点P的位置；
（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，点D是AB的中点，点P在射线CD上．若点P是△ABC的勾股点，请求出CP的长．
【分析】（1）证明∠CPB＝90°即可解决问题．
（2）根据勾股点的定义解决问题即可．
（3）分三种情形①∠APC＝90°时．②当∠CPB＝90°时．③当∠APB＝90°时．分别讨论求解即可．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵∠A＝55°，
∴∠ACB+∠ABC＝125°．
∵∠ACP＝10°，∠ABP＝25°，
∴∠PCB+∠PBC＝90°．
∴∠CPB＝90°，
∴点P是△ABC的一个勾股点．
（2）如图，点P1，P2，P3即为所求．
（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．
∴AB＝20，
又∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝CD＝10，
①∠APC＝90°时，设CP＝x，DP＝10﹣x，
在Rt△APC和Rt△APD中，
∵AC2﹣CP2＝AD2﹣DP2，即：122﹣x2＝102﹣（10﹣x）2，
解得：x＝7.2．
②当∠CPB＝90°时，设CP＝x，DP＝x﹣10，
在Rt△BPD和Rt△BPC中，∵BC2﹣CP2＝BD2﹣DP2，即162﹣x2＝102﹣（x﹣10）2，
解得：x＝12.8．
③当∠APB＝90°时，
在Rt△APB中，DP＝AB＝10，
∴CP＝20
综上所述，CP的长为7.2或12.8或20．
27．（10分）如图（1），四边形ABCD的顶点A、D、C分别在x、y轴的正半轴上，AD∥BC，OC＝4cm．动点E从点C出发，沿C→D→A→B→C匀速运动，动点F以每秒1cm的速度从C出发沿线段CB向点B来回运动，当E点运动到点C点时，两点同时停止运动．若点E、F同时出发运动t秒后，如图（2）是△OEC的面积S（cm2）与t（秒）的函数关系图象，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．
（1）填空：点E的运动速度是 cm/s ，B点坐标为 （4，4） ．
（2）当0≤t＜4秒时，
①t为何值时，以O、C、E为顶点的三角形与△BFG相似？
②是否存在这样的时刻t，使点G正好落在线段AB上，若存在，求此时的t，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据三角形OCD的面积求出OD的长，利用勾股定理求出CD，根据速度＝可得结论，观察图2可知，AD＝2，AB＝2，根点B作BH⊥OA于H．利用勾股定理求出AH＝2，推出点K与D重合可得点B坐标．
（2）当0≤t＜4时，点E在线段CD上．①由题意，∠BFG＝∠ECO＝45°，当＝时，△ECO∽△GFB，当＝时，△ECO∽△BFG，分别构建方程求解即可．
②存在．如图1﹣2中，由题意G（t，4﹣t）．求出直线AB的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
【解答】解：（1）由题意，S△OCD＝8，
∴•OD•OC＝8，
∵OC＝4，
∴OD＝4，
∴点E的运动速度＝＝cm/s，
观察图2可知，AD＝2，AB＝2，根点B作BH⊥OA于H．
∵四边形CBHO是矩形，
∴BH＝OC＝4，
∴AH＝＝＝2，
∴AH＝AD，
∴点H与点D重合，
∴B（4，4）．
故答案为cm/s，（4，4）．
（2）当0≤t＜4时，点E在线段CD上．
①由题意，∠BFG＝∠ECO＝45°，
当＝时，△ECO∽△GFB，
∴＝，
解得t＝2．
当＝时，△ECO∽△BFG，
∴＝，
解得t＝2﹣2或﹣2﹣2（舍弃），
综上所述，满足条件的t的值为2或2﹣2．
②存在．如图1﹣2中，由题意G（t，4﹣t）．
∵B（4，4），A（6，0），
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，
把G（t，4﹣t）代入直线y＝﹣2x+12，得到4﹣t＝﹣2×t+12，
解得t＝．
点G正好落在线段AB上时t的值为．
28．（10分）如图①已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连接BC，二次函数的对称轴与x轴的交点E．
（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为 （，0） ，点A的坐标为 （﹣1，0） ；
（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据对称轴公式可以求出点E坐标，设y＝0，解方程即可求出点A坐标．
（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，由tan∠OBC＝＝，列出方程即可解决．
（3）分两种情形①当N在直线BC上方，②当N在直线BC下方，分别列出方程即可解决．
【解答】解：（1）∵对称轴x＝﹣＝，
∴点E坐标（，0），
令y＝0，则有ax2﹣3ax﹣4a＝0，
∴x＝﹣1或4，
∴点A坐标（﹣1，0）．
故答案分别为（，0），（﹣1，0）．
（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，
∵DE＝OE＝，EB＝，OC＝﹣4a，
∴DB＝＝＝2，
∵tan∠OBC＝＝，
∴＝，
∴a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3．
（3）如图②中，由题意∠M′CN＝∠NCB，
∵MN∥OM′，
∴∠M′CN＝∠CNM，
∴MN＝CM，
∵直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，
∵sin∠BCO＝＝，
∴＝，
∴CM＝m，
①当N在直线BC上方时，﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝m，
解得：m＝或0（舍弃），
∴Q1（，0）．
②当N在直线BC下方时，（﹣m+3）﹣（﹣m2+m+3）＝m，
解得m＝或0（舍弃），
∴Q2（，0），
综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
9
2
1
0
﹣7
﹣26
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
9
2
1
0
﹣7
﹣26
…