专题07 解三角形与三角函数结合-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点专题训练(新高考地区)(解析版)

这是一份专题07 解三角形与三角函数结合-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点专题训练(新高考地区)(解析版)，共21页。试卷主要包含了结合三角函数等内容，欢迎下载使用。
第一篇 解三角形专题07 解三角形与三角函数结合常见考点考点一 结合三角函数典例1．已知函数.（1）求函数f（x）的单调性；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，c＝1，求△ABC的面积.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，k∈Z；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式逆应用和辅助角公式化简整理，求单调区间即可；（2）求出角，利用正弦定理得C角和B角，再由计算即可.【详解】解：（1），由，得，k∈Z；由，得，k∈Z.故f（x）在上单调递增，在上单调递减，k∈Z；（2），则 ，∵A∈（0，π），∴，即，由正弦定理得，即，解得 ，∴或，当C＝时，A+C＞π，舍去，所以，故，∴.【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数单调区间和解三角形的综合应用，属于中档题.变式1-1．已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）已知的三个内角，，的对边分别为，，，其中，若锐角满足，且，求的值．【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间是；（2）．【分析】（1）首先化简函数，再根据公式分别求周期和单调递增区间；（2）由条件求得角，并根据正弦定理表示，并且根据正弦定理表示，求得，再根据余弦定理变形求得的值.【详解】解：（1），所以最小正周期为，由得单调递增区间是；（2）由，又∵为锐角，∴，由正弦定理可得，，则，由余弦定理可知，，可求得．【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角函数恒等变换和三角函数的性质，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.变式1-2．已知函数的最小正周期为π.（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若且a＝4，b+c＝5，求△ABC的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据函数的最小正周期为可求出的值，从而求得函数的解析式，结合正弦函数的单调性即可求出当时，函数的值域。（2）根据及为的内角可求出的值，在中应用余弦定理可求出的值，此时根据面积公式即可求出的面积.【详解】（1）f（x）的最小正周期是π，得当时，所以此时f（x）的值域为；（2）因为所以,，解得，的面积.【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质、正余弦定理的应用以及函数的概念与图象.变式1-3．已知向量，向量，函数.（1）求单调递减区间；（2）已知分别为内角的对边，为锐角，，且恰是在上的最大值，求和的面积.【答案】（1）;（2）,.【分析】(1)利用平面向量数量积的运算法则得到三角函数式，化简三角函数式即可求得 的周期；(2)结合(1)中的结论首先求得函数的最大值，据此求得的大小，然后利用余弦定理求得边长b即可.【详解】试题解析：（1）..（2）由（1）知：，∴时，，当时取得最大值，此时.由得.由余弦定理，得，∴，即，则.例2．已知函数.（1）求函数在上的最小值；（2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长.【答案】（1）；（2）8.【分析】（1）先用和的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简，即可根据的范围求出最小值；（2）由可求出，由可得，再利用正弦定理即可解出.【详解】（1），又，所以，所以当即时，取得最小值，所以，（2）因为，，所以，又，所以，所以由正弦定理有，所以.【点睛】本题考查简单的三角恒等变换，考查正弦定理的应用，属于基础题.变式2-1．已知函数，，中，角，，所对的边分别为，，，的面积为.（1）求函数的单调递减区间；（2）若，求的值.【答案】（1）单调递减区间为；（2）.【分析】（1）,令，解不等式，结合即可求解；（2）由得，利用三角形面积公式解出、的关系式，再由余弦定理即可求解.【详解】（1）依题，又，故函数的单调递减区间为.（2）由，又，故，依题，在中，由余弦定理得.故.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，考查正弦函数的单调性，三角形的面积公式以及余弦定理的综合应用，属于中档题.变式2-2．已知向量，设函数.（1）当时，求的值；（2）已知在中，内角的对边分别为，若，，求当时的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先利用向量平行的坐标运算求得正切，再利用“1”的代换进行弦化切计算即可；（2）先利用向量坐标运算和正弦定理求A角，得到，再求区间上的取值即可.【详解】解：（1），，（2） 由正弦定理得，得或，，，即A是锐角，即.【点睛】本题考查了向量与三角函数的综合应用，属于中档题.变式2-3．已知向量，，函数.（1）求方程在区间的解集；（2）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先根据题意得到，根据，再解方程即可.（2）首先根据正弦定理的边化角公式得到，再利用三角函数的性质求的取值范围即可.【详解】（1）.由得，，在区间内的解集为.（2）由正弦定理，，即，由于，所以，.，于是，，，.【点睛】本题第一问三角函数方程的解法，第二问考查正弦定理的边化角公式，同时考查了三角函数的值域问题，属于中档题.  巩固练习练习一 结合三角函数1．已知（1）求函数取最大值时的取值集合；（2）设锐角的角，，所对的边分别为，，，，，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先化简函数解析式，得到，令，求解，即可得出结果；（2）先由，根据题中条件，求出，结合余弦定理，以及基本不等式得出，再由三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）. 令，即时，取最大值;所以，此时的取值集合是；（2）由，得，因为，所以，所以，则； 在中，由余弦定理，得，即，当且仅当时取等号，所以的面积因此的面积的最大值为.【点睛】本题主要考查正弦型三角函数的最值问题，以及求三角形面积的最值问题，涉及基本不等式求最值，属于常考题型.2．设函数.（1）求的最小正周期；（2）已知中，角，，的对边分别为，，，若，，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解周期；（2）求出的大小，利用余弦定理求出，然后求解三角形的面积.【详解】（1），所以的最小正周期为.（2）由，得，又，得，在中，由余弦定理，得，又，，解得.所以，的面积.【点睛】本题考查两角和与差的三角函数的化简取值，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题.3．已知函数在上的最大值为.（1）求的值及函数的单调递增区间；（2）若锐角中角、、所对边分别为、、，且，求的取值范围.【答案】（1），单调递增区间为；（2）.【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由该函数的最大值可求得的值，然后解不等式可得出函数的单调递增区间；（2）由结合角的取值范围可求得，由为锐角三角形可得出，可得出，由两角和的正弦公式化简得出，由此可求得的取值范围.【详解】（1），，解得，.令，解得，所以，函数的单调递增区间为；（2），可得，，则，则，，为锐角三角形，可得，即，解得，则，，则，所以，，所以，.因此，的取值范围是.【点睛】本题考查三角函数最值、单调区间的求解，同时也考查了三角形中代数式取值范围的求解，考查计算能力，属于中等题.4．已知函数， .（1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）在锐角中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知， ，求的面积.【答案】（1）最小正周期对称轴方程为  （2） 【详解】试题分析：（1）先根据二倍角公式、诱导公式以及配角公式化为基本三角函数，再根据正弦函数性质确定函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）先求A，再根据正弦定理将边角关系化为边的关系，最后根据三角形面积求面积.试题解析：解(1) f(x)，  　        故其最小正周期,                          令，解得，即函数图象的对称轴方程为，.    （2）由（1），知，因为，所以.又，故得，解得.  由正弦定理及，得.           故. 5．设函数.（1）求的单调递增区间；（2）若角满足，，的面积为，求的值.【答案】（1），；（2）3.【分析】（1）利用两角和的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简，再利用整体代入法求得的单调递增区间.（2）利用求得，结合三角形的面积公式以及余弦定理求得.【详解】（1）由题意得 ，令，，得，.所以函数的单调递增区间为，.（2）由条件及（1）得，∵，∴，∴，解得.又，∴.由余弦定理得，∴，∴∴.【点睛】本小题主要考查余弦定理、三角形的面积公式，考查三角恒等变换，属于中档题.6．已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，求周长的范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先将函数整理，得到，根据正弦函数的单调性列出不等式求解，即可得出结果；（2）先由（1）根据题意，得到，求出，再由正弦定理，得到周长为，再由正弦函数的性质，即可求出结果.【详解】（1） ，由得，，∴函数的单调递增区间；（2）因为，由（1）可得，，即，又，∴；由正弦定理可得，所以，，因此周长 ，∴，∴，所以，即周长的范围为.【点睛】本题主要考查求正弦型函数的单调区间，考查由三角函数的方法求三角形周长的范围，涉及正弦定理的应用，属于常考题型.7．函数（，）的最大值为3，其图像相邻两个对称中心之间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）若在中，角、、的对边分别是、、，且，，的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据最大值可求出，然后根据图像相邻两个对称中心之间的距离为可求出最小正周期，进而得到，即可写出解析式；（2）根据条件可求出，然后根据面积公式可得,再由余弦定理可求出，即可得的值.【详解】（1）∵函数的最大值为3，∴，得，∵函数图像的两条对称轴之间的距离为，∴函数的最小正周期为，∴，得，∴函数的解析式为；（2）∵，即，∴，又，，∴，∴，∵，∴，∴由余弦定理得，即，∴.【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解析式，利用三角形面积公式和余弦定理求值，属于中档题.8．已知向量.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，，若，求的周长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用平面向量的数量积公式得到关于三角函数的表达式，然后利用三角恒等变换化简为一个正弦型函数，最后利用周期公式得到所求；（2）首先利用（1）的结论求出A，然后利用余弦定理得到关于b，c的一个等式，再根据条件求解b，c，从而可得三角形的周长.【详解】（1） ，所以的最小正周期.（2）由题意可得，又，则，所以，故.设角的对边分别为，则.所以，又，所以，故，解得，则，所以的周长为.【点睛】本题主要考查三角函数的计算化简和性质，也考查了余弦定理的应用，注意熟记公式，认真计算，属中档题.