专题03 解三角形中的组合图形问题-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点专题训练(新高考地区)(解析版)

这是一份专题03 解三角形中的组合图形问题-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点专题训练(新高考地区)(解析版)，共27页。试卷主要包含了组合图形中的基本量计算，组合图形中的面积最值问题等内容，欢迎下载使用。
第一篇 解三角形专题03 解三角形中的组合图形问题常见考点考点一 组合图形中的基本量计算典例1．如图，在平面四边形中，.（1）求；（2）若的面积为，求.【答案】（1）（2）7【分析】（1）在中，利用平方关系求出，再根据即可得出答案；（2）在中，利用正弦定理求得，再根据三角形得面积求得，再利用余弦定理即可得出答案.（1）解：在中，因为，所以，则；（2）解：由（1）得，又，所以，在中，因为，所以，因为，所以，在中，，所以.变式1-1．如图，在△中，，，，D是线段BC上的点，且.（1）求线段AD的长度；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）法一：向量的加法可得，再应用向量的运算律求的模即可；法二：由余弦定理可得，进而可得，最后根据余弦定理求AD的长度；（2）法一：由正弦定理的边角关系可得，即可求值；法二：由三角形面积公式有，即可求目标式的值.（1）方法一：向量法∵，∴，∴，则.方法二：根据余弦定理可得：，则，∴，且，∴，则.（2）方法一：根据正弦定理可得：，，∴.方法二：根据三角形面积公式得，，∴.变式1-2．如图，四边形中，，，，且为锐角．（1）求；（2）求的面积．【答案】（1）（2）【分析】（1）由三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，分析可知BD是四边形外接圆的直径，再利用正弦定理可求解；（2）由面积公式即可得解.（1）由已知，∵是锐角，∴．由余弦定理可得，则．∵，∴BD是四边形外接圆的直径，∴BD是外接圆的直径，利用正弦定理知（2）由，，，，则,,又，则，因此，故的面积为．变式1-3．在平面四边形中，．（1）求；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中求出，然后在中，利用余弦定理即可求出的长；（2）首先判断出为直角三角形，从而可求出，然后利用三角形的面积公式即可求出答案.（1）因为为直角三角形，，所以．在中，，由余弦定理，得，所以．（2）由（1）知，，，所以，所以为直角三角形，且，所以，故． 考点二 组合图形中的面积最值问题典例2．如图，已知，点是以为圆心，5为半径的半圆上一动点.（1）当时，求线段的值；（2）若为正三角形，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据条件利用余弦定理可得答案；（2）设，用表示出四边形的面积，结合三角函数知识化简求解最值.（1）在中，由余弦定理得：.所以.（2）设，所以，则.所以当时，四边形的面积取得最大值.变式2-1．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角A；（2）如图，若，点D是外一点，，设，求平面四边形面积的最大值及相应的值．【答案】（1）（2）最大值为，此时【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得进而求得.（2）求得平面四边形面积的表达式，结合三角函数最值的求法求得平面四边形面积的最大值及相应的值.（1）∵，由正弦定理知，，由余弦定理知，.（2）由（1）以及，得是等边三角形．设，则．余弦定理可得：，则．故四边形面积．∵，∴，∴当时，S取得最大值为，故平面四边形面积的最大值为，此时．变式2-2．如图，在直角三角形中，，分别在线段上，且为的中点，，设．（1）求 (用表示)；（2）求三角形面积的最小值．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意得，，进而根据计算即可；（2）结合题意得，，再结合三角形面积公式和辅助角公式得，再结合三角函数的性质求解即可.（1）解：在直角三角形中，，所以， ；因为，所以，即；在中，因为（2）在直角三角形中，因为，所以；在中，因为，所以由正弦定理得，，即；在直角三角形中，，其中，且；又因为在线段上，所以，且；故当时， ．变式2-3．为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．（1）若，求护栏的长度（的周长）；（2）若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；（3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？【答案】（1）（2）（3）时，的面积取最小值为【分析】（1）先根据题干条件得到，，利用余弦定理求出，用勾股定理逆定理得到，进而求出CN，MN，求出护栏的长度；（2）设，利用和的面积关系和正弦定理得到CN的两种表达，列出方程，求出；（3）结合第二问的求解，利用正弦定理和面积公式得到面积关于的关系式，求出最小值.（1）∵，，，∴，∴，∴，∴，在中，由余弦定理可得：，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴护栏的长度（的周长）为；（2）设（），因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，所以，即，，中，由三角形外角定理可得，在中，由，得，从而，即，由，得，所以，即；（3）设（），由（2）知，，中，由外角定理可得，又在中，由，得，所以，所以当且仅当，即时，的面积取最小值为. 巩固练习练习一 组合图形中的基本量计算1．如图，在中，，，点在线段上．（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出，利用同角三角函数的平方关系可求得的值，然后在中，利用正弦定理可求得边的长；（2）设，则，利用三角形的面积公式可求得的值，然后在、中利用正弦定理，再结合，可求得结果.（1）解：因为，由正弦定理可得，，则，故，则为锐角，所以，，，则，在中，由正弦定理得，，解得．（2）解：设，则，，则，即，可得，故，由余弦定理可得，在中，由正弦定理可得，故，在中，由正弦定理可得，故，因为，所以，.2．如图，在中，，，点D在线段BC上. （1）若，求AD的长；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，由正弦定理求得；（2）由题可得面积，由面积公式求得，再由余弦定理求得，然后利用正弦定理即得．（1）在三角形中，∵，∴，在中，由正弦定理得，又，，，∴.（2）∵，∴，，又的面积为，∴，∵，∴，∴，在中，由余弦定理得，∴，在中，由正弦定理得∴.3．如图所示，在圆内接四边形ABCD中，M为对角线AC的中点，，，，．（1）求AB；（2）求．【答案】（1）（2）【分析】（1）由，两边平方，解方程得出AB；（2）由余弦定理得出，再由圆内接四边形的性质以及正弦定理得出．（1）根据题意，，两边平方得，即，解得或（舍去），即．（2）由余弦定理可得，所以，由题意知，所以，所以．根据正弦定理得，因此4．如图，在中，角所对的边分别为，已知，点为边上的点，且.（1）求的面积.（2）求线段的长.【答案】（1）（2）【分析】（1）、方法一:求出，根据正弦定理可求出,进而求出,进而求出的面积;方法二:求出，根据余弦定理可求出,进而求出的面积.（2）、方法一: 求出，在中根据余弦定理可求出;方法二:在中由余弦定理可得,在中由余弦定理可得.（1）方法一:在中，为锐角，由正弦定理可得，，，又为锐角，，，方法二：在中，为锐角，，由余弦定理可得，.，，，或（舍去），，（2）方法一：在中，，在中，由余弦定理得，,方法二：在中由余弦定理可得:，，在中由余弦定理可得，,. 练习二 组合图形中的面积最值问题5．如图，在中，，，延长至，使得.（1）若，求的面积；（2）求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）在中，由正弦定理得，进而在中，根据可得解；（2）在中，设，则，，在中，由正弦定理得，由，利用恒等变换结合角的范围即可得解.（1）在中，，，.由正弦定理知，所以.因为为锐角，所以，所以.在中，，，则，故.（2）在中，设，则，.在中，由正弦定理，得，所以由，得，又为锐角，所以，，所以，故面积的取值范围是.6．已知在中，内角A，，的对边分别为，，，满足.（1）求；（2）如图，若，在外取点.且，.求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)由正弦定理将中的边化为角，再结合正弦的两角和公式化简可求得，从而得解；(2)易知为等边三角形，在中，由余弦定理可求得，再根据和，可推出四边形的面积，最后由和正弦函数的图象与性质即可得解．（1），由正弦定理得，，即，，，，．（2）因为，，∴△ABC是等边三角形，在中，由余弦定理知，，而，，四边形的面积，，，，当即时，取得最大值，为，故四边形面积的最大值为．7．在中，角，，的对边分别是，，，已知.（1）求角；（2）若是等腰三角形，且，为的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且，设，求面积的最小值.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理边化角公式及三角函数恒等变换求解即可.（2）首先利用正弦定理得到，，从而得到，再求其最小值即可.（1）因为，所以，所以，因为，，所以.又因为，所以，即.（2）因为是等腰三角形，且，为的中点，所以，，在中，，所以.在中，，所以.因为，所以当时，取得最小值，.8．如图，在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，．（1）若，求的长；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【分析】（1）设，在中分别利用余弦定理可得关于的方程组，从而可求的长；（2）在中利用余弦定理和基本不等式可求的最大值，从而可求面积的最大值．（1）由题意知：，                设，在中，，所以（1），而，所以（2）        由（1）（2）得：，解得，所以．（2）由（1）知，而为三角形内角，所以，        因为，所以．                在中，，所以，当且仅当时时取等号，所以，所以面积的最大值为．