专题02 解三角形中的最值问题-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点专题训练(新高考地区)(解析版)

这是一份专题02 解三角形中的最值问题-备战2022年高考数学二轮复习之大题核心考点专题训练(新高考地区)(解析版)，共41页。试卷主要包含了面积最值问题，周长最值问题，角的最值问题，边的最值问题等内容，欢迎下载使用。
第一篇 解三角形
专题02 解三角形中的最值问题
常见考点
考点一 面积最值问题
典例1．已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求△的面积S的最大值.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而可得C的大小；
（2）由余弦定理可得，根据基本不等式可得，由三角形面积公式求面积的最大值，注意等号成立条件.
（1）
由正弦定理知：，
∴，又，
∴，则，故.
（2）
由，又，则，
∴，当且仅当时等号成立，
∴△的面积S的最大值为.
变式1-1．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角B
（2）当b=3时，求的面积的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理角化边可得，根据余弦定理结合角B的范围，即可得答案.
（2）由题意，结合基本不等式，可得，代入面积公式，即可得答案.
（1）
由正弦定理得：，整理得，
所以，
因为，所以
（2）
因为，
所以（当且仅当时等号成立），
所以面积的最大值.
变式1-2．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】
（1）；
（2）最大值为.
【分析】
（1）利用两角差的正弦公式及诱导公式对进行转化，得到，即可得A；
（2）利用余弦定理､三角形的面积公式以及基本不等式，即可求出ABC面积的最大值.
（1）
解：，
， ，
.
，，
，.
（2）
解：由余弦定理得，.
，当且仅当时取等号，
， ，
面积的最大值为.
变式1-3．△ABC中，角的对边分别为，已知，且，
（1）若，求边长b的值；
（2）求△ABC的面积S的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
(1)根据已知条件，结合余弦定理可以求出∠A，再结合正弦定理，即可求出边b；
(2)使用三角形面积公式结合余弦定理和基本不等式即可求出面积最大值﹒
（1）




由余弦定理可知

∵

又，
∴由正弦定理可知：，∴，．
（2）

由(1)可知

又
由余弦定理可知



当且仅当b＝c时，bc有最大值为12

则△ABC面积最大值．

考点二 周长最值问题
典例2．在锐角中，角所对的边分别为，且满足.
（1）求角的值；
（2）若，求周长的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理把边化为角，结合三角变换可得解；
（2）用正弦定理把边化角，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的值域求解，即可得到答案.
（1）
由正弦定理可得：，
因为A为三角形内角，所以，
所以，可得：，即，
因为，可得，可得，
所以可得
（2）
由正弦定理得，
所以
，
因为，所以
从而，所以，所以，
故周长的取值范围是
变式2-1．已知，，分别是的内角，，所对的边，.
（1）求角；
（2）若，求的周长的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据正弦定理进行边角互化，进而得解；
（2）利用余弦定理结合基本不等式求最值.
（1）
，
由正弦定理得：，
则.
即，
.
又，.
，
；
（2）
由余弦定理得：，即，
16=a2+c2-ac=a+c2-3ac，
由，
所以
，
当且仅当取等号.
故的周长的最大值为.
变式2-2．在锐角中，向量与平行.
（1）求角A；
（2）若a=2，求周长的取值范围.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
(1)利用向量共线的坐标表示结合锐角三角形条件计算作答.
(2)由(1)结合正弦定理用角B表示边b，c，借助三角函数的性质计算作答.
（1）
因向量与平行，则，由正弦定理得：，
而是锐角三角形，即，从而有,即，又，
所以.
（2）
在锐角中，由正弦定理得：，即，
而，且，解得，
则，
而，即，则有，即，
所以周长的取值范围是.
变式2-3．在中，已知内角A､B､C的对边分别是a､b､c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求周长的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据正弦定理结合三角恒等变换得到，即，得到答案.
（2）根据余弦定理得到，利用均值不等式得到，得到周长最大值.
（1）
由已知得，即，
，所以，
，，，所以，即，
，故.
（2）
由余弦定理得，即，

（当且仅当时，等于号成立）.
所以，即，于是周长.
故周长的最大值是.

考点三 角的最值问题
典例3．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，
.
（1）求C；
（2）求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由得，由正弦边化角可求C；
（2）将代换成，化简得，结合锐角三角形关系求出范围，结合三角函数即可求解的取值范围.
（1）
由得，由正弦边化角得，因三角形中，故，或（舍去）；
（2）
，， ，解得，又，所以，，.
变式3-1．在中，､､所对的边分别为a､b､c，且，的面积为.
（1）求角C的大小；
（2）求的最大值，并求取得最大值时角A､B的大小.
【答案】
（1）
（2）最大值为2，此时，
【分析】
（1）根据面积公式和余弦定理得到，结合角度范围得到答案.
（2）利用三角恒等变换得到原式为，根据角度范围得到最值.
（1）
，故，
，故，
即，即，又，故.
（2）
，故，
，
，故，
当，即时，取最大值为2.，此时，.
变式3-2．在中，角、、所对的边分别为、、，面积．
（1）求角的大小；
（2）求的最大值，及取得最大值时角的值．
【答案】
（1）；
（2）取得最大值为，此时.
【分析】
（1）由三角形的面积公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的角的值.
（1）
解：由及题设条件得，即，
又，，，．
（2）
解：因为
，
，则，，
故当时，即当时，取得最大值.
变式3-3．在锐角中，角所对的边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理变形可得求得角；
（2）求出角范围，把用角表示，然后结合二倍角公式、两角和的正弦公式变形，再由正弦函数性质得取值范围．
（1）
，
由正弦定理得，
所以，，
，所以，又，所以；
（2）
三角形为锐角三角形，所以，，即．

，
，则，，
所以．即的范围是．

考点四 边的最值问题
典例4．已知在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理化边为角，结合诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求角；
（2）由（1）知：，根据是锐角三角形可求出，利用正弦定理化角为边，，，结合以及角的范围，再利用三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解.
（1）
因为，
由正弦定理可得：，
因为，所以，所以，
所以，，
因为，，所以
可得：，所以.
（2）
由正弦定理知：，
所以，，
所以
，
因为，故，所以，，
所以，
故的取值范围为.
变式4-1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若，求的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理和题设条件，化简得，进而求得，从而可得；
（2）由（1）和正弦定理化简得，结合三角函数的性质，即可求得的范围．
（1）
根据正弦定理，由得，
又因为，
所以，又因为，
所以，又因为，所以
（2）
根据正弦定理
∴，
∴
故其中（）
又.当时，取最大值
变式4-2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C；
（2）求的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.
(2) 由正弦定理边化角，再由三角函数求最值.
（1）
由已知及正弦定理得，
即，由余弦定理得
，可得．
（2）
根据正弦定理得

，
又，则
故，则的取值范围是．
变式4-3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）设，若，且A，C都为锐角，求m的取值范围．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）根据题意，结合正弦定理角化边，以及余弦定理，即可求解；
（2）根据题意，结合正弦定理边化角，三角恒等变换，以及三角函数的性质，即可求解.
（1）
根据题意，由已知及正弦定理，得，
即，故．
由余弦定理，得，
因为，所以．
（2）
根据题意，由，知，
即，，
故

．
由A，C都为锐角，，知，，
易得，故.

巩固练习
练习一 面积最值问题
1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用辅助角公式可得，再根据的取值范围，即可求出角；
（2）由三角形面积公式可得，再利用正弦定理可得，根据三角形为锐角三角形求出的取值范围，再根据正切函数的性质求出的取值范围，即可得解；
（1）
解：由，即，所以.
又，所以，所以.
（2）
解：由题设及（1）知的面积.
由正弦定理得.
由于为锐角三角形，故，，
由（1）知，
所以，所以，所以，，所以，即，从而，
因此，面积的取值范围是.
2．已知中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】
（1）2；
（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理以及逆用两角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；
（2）根据题意，由余弦定理得，再根据基本不等式求得，当且仅当时取得等号，即可求出面积的最大值.
（1）
解：由题意得，
由正弦定理得：，
即，
即，
因为，
所以．
（2）
解：由余弦定理，即，
由基本不等式得：，即，
当且仅当时取得等号，
，
所以面积的最大值为．
3．已知△ABC的内角A、B、C满足.
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）将，转化为，再由余弦定理求解；
（2）根据△ABC的外接圆半径为1，得到，再利用余弦定理结合基本不等式求得，再由求解.
（1）
解：因为，
所以，
即，
所以，
因为，
所以；
（2）
因为△ABC的外接圆半径为1，
所以，
由余弦定理得，
，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
故△ABC的面积S的最大值是.
4．在中，、、的对边分别为、、，其中边最长，并且．
（1）求证：是直角三角形；
（2）当时，求面积的最大值．
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）利用同角关系，将已知条件变形，配合诱导公式，可以证明结论.（2）利用勾股定理知，利用基本不等式可得面积最大值
（1）
证明：由，得，即，
又边最长，则、均为锐角，所以，
解得，即，所以为直角三角形．
（2）
因为，由勾股定理,因为，所以.
记面积为,则，由得，
当且仅当时等号成立．
所以当时，面积取到最大值．

练习二 周长最值问题
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求角A的大小；
（2）若，求周长的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理可得，结合余弦定理可得结果；
（2）由余弦定理及均值不等式即可得到结果.
（1）
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴；
（2）
由余弦定理，
得，
即．
因为，
所以．即（当且仅当时等号成立）．
所以．
故周长的最大值.
6．在①；②；③中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答．
问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的周长的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】
（1）条件选择见解析，
（2）
【分析】
（1）选择①，运用正弦定理及辅助角公式可求解；选择②运用正弦定理及余弦定理可求解；选择③，由三角形面积公式及余弦定理可求解.
（2）由正弦定理及辅助角公式可求解.
（1）
选择①，由正弦定理可得，
又，所以，则，
则，故．
又因为，所以，解得．
选择②，由正弦定理可得，
则，
则由余弦定理可得，故．
又因为，所以．
选择③，由三角形面积公式可得，得．
又因为，故．
（2）
由正弦定理得，．
因为，，
所以

．
又，所以，从而．
7．在中，内角所对边分别为，已知
（1）求角的值；
（2）若，求周长的最大值.
【答案】
（1）
（2）9
【解析】
（1）
因为
由正弦定理可得，即
又因为，
所以，
因为，
所以；
（2）
由余弦定理得，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
所以周长的最大值为9.
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为．
（1）求角C的大小；
（2）若．求周长的最大值．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）根据的面积公式可得出，化简后利用正弦定理进行角化边可得出，然后运用余弦定理可求出的值，从而可求出角C的大小；；
（2）根据，，利用余弦定理得出，然后根据基本不等式即可求出，从而可求出周长的最大值．
（1）
因为的面积为，
所以，
即，所以由正弦定理，得，
所以．又，所以．
（2）
因为，，
由余弦定理，得
，
所以，即，当且仅当时“＝”成立．
所以，当且仅当时“＝”成立．
所以当是正三角形时，的周长取最大值．


练习三 角的最值问题
9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据正弦定理得到，再利用三角恒等变换得到，得到角度.
（2）利用三角恒等变换得到，再根据角度的范围得到答案.
（1）
由正弦定理得，
因为，所以，所以
即，解得，
因为，所以.
（2）
，故，所以且，

.
因为，所以，所以，
即的取值范围为.
10．已知向量，，且，其中、、是的内角，，，分别是角，，的对边．
（1）求角的大小；
（2）求的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由，得，由余弦定理可得答案；
（2）利用，可得，再由的范围可得答案．
（1）
由，得，
由余弦定理，又，则．
（2）
由（1）得，则，
可得：，
，，，
．
即最大值为．
11．在中，已知角，，的对边分别为，，，且，为方程的两个根，.
（1）求三角形的面积；
（2）求的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据韦达定理得到，，再由余弦定理得到，所以，根据三角形面积公式得到结果即可；（2）由正弦定理得到，进而得到.
（1）
因为，为方程的两个根，所以，
因为，所以

因为，所以，
所以三角形的面积为
（2）
在三角形中，由正弦定理得，
所以，所以.
12．在中，角，，所对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.
（2）由（1）可知，，则，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可.
（1）
由正弦定理可得：，
又∵
∴
∵
∴
（2）
由得，
且，
∵
∴.
所以的取值范围是

练习四 边的最值问题
13．已知的内角对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据正弦定理边角互化和余弦定理求解即可；
（2）由正弦定理得，进而，再结合求解即可得答案.
（1）
解：由已知得，
故由正弦定理得
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）
解：由（1）知，
∴，∴
∴
在锐角三角形中，，
∴，∴，
∴，
∴的取值范围为.
14．在锐角中，角的对边分别为a，b，c，.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用余弦定理对已知条件化简，可求的值，结合为锐角，可求的值；
（2）由正弦定理可得，再根据锐角三角形，可得，所以的范围转化为三角函数求取值范围的问题求解．
（1）
解：因为，
所以，即，
因为为锐角，所以，所以，
又，所以；
（2）
解：在锐角中，，所以，
所以，所以，
因为，，所以
所以，
所以
，
又，所以，可得，
所以，即的取值范围是．
15．在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知且.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据三角恒等变换化简可得，即可求解；
（2）利用正弦定理及三角恒等变换可得，再根据三角函数的值域求解.
（1）
∵，
∴.
即，
，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴.
（2）
由正弦定理可得，
，
其中，，，
为锐角
∵为锐角三角形，则，
从而，
得，
，
∴，
，
∴，
从而的取值范围为.
16．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB＋sin（A-C）＝cosC．
（1）求角A的大小；
（2）当时，求a2＋b2的取值范围．
【答案】
（1）
（2）（12，20）
【分析】
（1）利用两角和与差的正弦公式展开，求得，即可得到答案；
（2）由正弦定理得，根据可得3＜b＜4，再利用二次函数的值域即可得到答案；
（1）
（1）中，由sinB＋sin（A-C）＝cosC得sin（A＋C）＋sin（A-C）＝cosC，
化简2sinAcosC＝cosC，而为锐角三角形，即cosC≠0，
得，又，故；
（2）
（2）由正弦定理得，得

又，即，，故有3＜b＜4，
由余弦定理得a2＝b2＋c2-2bccosA＝b2-6b＋12，
所以．