2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：锐角三角函数（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：锐角三角函数（含答案），共27页。试卷主要包含了阅读下列材料，并解决后面的问题，＝＝2+，阅读下面材料，数学老师布置了这样一个问题等内容，欢迎下载使用。

2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：锐角三角函数
一．解答题（共10小题）
1．（2018•株洲）如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1、l2、l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα＝，MN＝2千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点．
（1）求l2和l3之间的距离；
（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）

2．（2018秋•和平区校级月考）如图，斜坡AB长130米，坡度i＝1：2.4，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．
（1）若修建的斜坡BE的坡角为30°，求平台DE的长；（结果保留根号）
（2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为26.5°，他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为53°，此时小明距大楼底端Q处30米．已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度．（参考数据：sin26.5≈0.45，tan26.5≈0.50，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

3．（2011•济南）（1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝m，延长CB至点D，使BD＝AB．
①求∠D的度数；
②求tan75°的值．
（2）如图2，点M的坐标为（2，0），直线MN与y轴的正半轴交于点N，∠OMN＝75°．求直线MN的函数表达式．

4．（2008秋•上海期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，，D是斜边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F．
（1）当时，求线段BF的长；
（2）当点F在边BC上时，设AD＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，及其定义域；
（3）当时，求线段AD的长．

5．（2006•双柏县）阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，
即．同理有，．
所以…（*）
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论（*）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠A ∠B；
第二步：由条件∠A、∠B ∠C；
第三步：由条件 c．
（2）如图，已知：∠A＝60°，∠C＝75°，a＝6，运用上述结论（*）试求b．

6．（2020秋•衢江区期末）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）＝．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）＝＝2+．
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题．
（1）求sin75°；
（2）如图，边长为2的正△ABC沿直线滚动，设当△ABC滚动240°时，C点的位置在C′，当△ABC滚动480°时，A点的位置在A′．
①求tan∠CAC′的值；
②试确定∠CAC′+∠CAA′的度数．

7．（2016秋•大兴区期末）阅读下面材料：
小敏遇到这一个问题：已知α为锐角，且tanα＝，求tan2α的值．
小敏根据锐角三角函数及三角形有关的学习经验，先画出一个含
锐角α的直角三角形：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α．她通
过独立思考及与同学进行交流、讨论后，形成了构造2α角的几种方法：
方法1：如图2，作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD．
方法2：如图3，以直线BC为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABC．
方法3：如图4，以直线AB为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABC．
…

请你参考上面的想法，根据勾股定理及三角函数等知识帮助小敏求tan2α的值．（一种方法即可）
8．（2021•永春县模拟）如图在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、BC的中点，过点B作BF⊥AC于点F，BF与DE交于点G．
（1）求证：DE⊥BF；
（2）连结EF，若S△CEF＝S△BDG，求cos∠CEF的值．

9．（2016•杭州一模）数学老师布置了这样一个问题：
如果α，β都为锐角．且tanα＝，tanβ＝．求α+β的度数．
甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2．
（1）请你分别利用图1，图2求出α+β的度数，并说明理由；
（2）请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：
如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ＝时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON＝α﹣β．求出α﹣β的度数，并说明理由．

10．（2021•武汉模拟）如图，已知BC是⊙O的直径，CA平分∠BCE，延长EC交⊙O于点D，连接DO并延长交AB于点F．
（1）求证：AO⊥BD；
（2）已知tan∠ACE＝，求tan∠AFO．


2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：锐角三角函数（10题）
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．（2018•株洲）如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1、l2、l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα＝，MN＝2千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点．
（1）求l2和l3之间的距离；
（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】常规题型．
【分析】（1）直接利用锐角三角函数关系得出DM的长即可得出答案；
（2）利用tan30°＝＝＝，得出AB的长，进而利用勾股定理得出DN的长，进而得出AN的长，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点M作MD⊥NC于点D，
∵cosα＝，MN＝2千米，
∴cosα＝＝＝，
解得：DM＝2（km），
答：l2和l3之间的距离为2km；

（2）∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝千米，
∴tan30°＝＝＝，
解得：AB＝3（km），
可得：AC＝3+2＝5（km），
∵MN＝2km，DM＝2km，
∴DN＝＝4（km），
则NC＝DN+BM＝5（km），
∴AN＝＝＝10（km），
∵城际火车平均时速为150千米/小时，
∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要＝小时．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AN的长是解题关键．
2．（2018秋•和平区校级月考）如图，斜坡AB长130米，坡度i＝1：2.4，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．
（1）若修建的斜坡BE的坡角为30°，求平台DE的长；（结果保留根号）
（2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为26.5°，他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为53°，此时小明距大楼底端Q处30米．已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度．（参考数据：sin26.5≈0.45，tan26.5≈0.50，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】（1）如图延长DE交BC于F，根据坡度的定义设BC＝5k，AC＝12k，利用勾股定理求出BC、AC，利用三角形中位线定理求出DF，在RT△BEF中求出EF即可解决问题．
（2）延长ED交MQ于H，则四边形CFHQ是矩形，在RT△DHM中求出HM，在RT△PNQ中求出NQ即可解决问题．
【解答】解：（1）如图延长DE交BC于F．
∵i＝＝＝，
设BC＝5k，AC＝12k．
在RT△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝130，
∴（5k）2+（12K）2＝1302，
∴k＝10（负根以及舍弃）．
∴BC＝50米，AC＝120米．
∵BD＝DA，DF∥AC，
∴BF＝FC＝25米，DF＝AC＝60米，
在RT△BEF中，∵∠BFE＝90°，∠BEF＝30°，
∴BE＝2BF＝50，EF＝FB＝25米，
∴DE＝DF﹣EF＝（60﹣25）米．
（2）延长ED交MQ于H，则四边形CFHQ是矩形，CF＝HQ＝25米，FH＝CQ＝160米
在RT△DHM中，∵∠DHM＝90°，DH＝FH﹣DF＝CQ﹣DF＝160﹣60＝100，
∴MH＝DH•tan26.5°≈50，MQ＝HM+HQ＝75，
在RT△PNQ中，∵∠PQN＝90°，PQ＝30，
∴NQ＝PQ•tan53°≈40，
∴MN＝MQ﹣NQ＝75﹣40＝35米．

【点评】本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键，属于中考常考题型．
3．（2011•济南）（1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝m，延长CB至点D，使BD＝AB．
①求∠D的度数；
②求tan75°的值．
（2）如图2，点M的坐标为（2，0），直线MN与y轴的正半轴交于点N，∠OMN＝75°．求直线MN的函数表达式．

【考点】解直角三角形；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】综合题．
【分析】（1）在直角三角形中利用角和边之间的关系求角的度数及边长即可；
（2）分别求得点M和N的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可．
【解答】解：（1）①∵BD＝AB，
∴∠D＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝2∠D＝30°，
∴∠D＝15°，
②∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝90°﹣15°＝75°，
∵∠ABC＝30°，AC＝m，
∴BD＝AB＝2m，BC＝m，
∴CD＝CB+BD＝（2+）m，
∴tan∠CAD＝2+，
∴tan75°＝2+；

（2）∵点M的坐标为（2，0），∠OMN＝75°，∠MON＝90°，
∴ON＝OM•tan∠OMN＝OM•tan75°＝2×（2+）＝4+2，
∴点N的坐标为（0，4+2），
设直线MN的函数表达式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线MN的函数表达式为y＝（﹣2﹣）x+4+2．
【点评】本题考查了解直角三角形及待定系数法求函数的解析式的知识，解题的关键是选择正确的边角关系解直角三角形．
4．（2008秋•上海期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，，D是斜边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F．
（1）当时，求线段BF的长；
（2）当点F在边BC上时，设AD＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，及其定义域；
（3）当时，求线段AD的长．

【考点】解直角三角形；分式方程的应用；平行线分线段成比例．
【专题】分类讨论．
【分析】（1）由题意先求出AC，BC的长，由AE⊥CD和∠ACB＝90°，证明出∠CAF＝∠BCD，再由，可知，求得CF，从而求得线段BF的长；
（2）通过分析，作辅助线，过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，根据平行线的性质得：，再由（1）得，根据以上两个式子求出y关于x的函数解析式，
（3）分两种情况：①当点F在线段BC上时，②当点F在CB延长线上时，求得线段AD的长为或．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，，
∴BC＝4，AC＝3，
∵AE⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠AFC＝90°，∠AFC+∠CAF＝90°，
∴∠CAF＝∠BCD．
∴，
又∵∠ACB＝90°，AC＝3，
∴CF＝，BF＝．

（2）过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，

∴，即①
在Rt△ACF与Rt△CBG中，
由（1）得tan∠CAF＝tan∠BCD，

∴，即，②
由①②得，

（3）1°当点F在线段BC上时，
把代入解得，
2°当点F在CB延长线上时，
设AD＝x，由（2）同理可得，解得
综上所述当时，线段AD的长为或．
【点评】本题主要考查了三角函数的应用，用到了分类讨论的思想，是一道综合题难度大．
5．（2006•双柏县）阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，
即．同理有，．
所以…（*）
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论（*）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠A ， ∠B；
第二步：由条件∠A、∠B ∠A+∠B+∠C＝180° ∠C；
第三步：由条件 b，∠B，∠C ， c．
（2）如图，已知：∠A＝60°，∠C＝75°，a＝6，运用上述结论（*）试求b．

【考点】解直角三角形．
【专题】压轴题；阅读型．
【分析】此题的关键是读懂题中给的材料，根据材料把已知条件代入即可，材料中的关键结论就是，依此就可解锐角三角形．
【解答】解：（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠B，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠A、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠B⇒⇒∠A；
第二步：由条件∠A、∠B⇒∠A+∠B+∠C＝180°⇒∠C；
第三步：由条件b，∠B，∠C⇒⇒c．

（2）如图，已知：∠A＝60°，∠C＝75°，a＝6，
运用上述结论试求b，
∵∠A＝60°，∠C＝75°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C
＝180°﹣60°﹣75°
＝45°，
∵a＝6，根据上述结论有：，
即，
∴b＝2．
【点评】这类题的阅读量比较大，学生做这类题时一定要仔细细心的阅读，并动脑思考，切不可浮躁．
6．（2020秋•衢江区期末）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）＝．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）＝＝2+．
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题．
（1）求sin75°；
（2）如图，边长为2的正△ABC沿直线滚动，设当△ABC滚动240°时，C点的位置在C′，当△ABC滚动480°时，A点的位置在A′．
①求tan∠CAC′的值；
②试确定∠CAC′+∠CAA′的度数．

【考点】解直角三角形；等边三角形的性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】（1）把75°转化为30°+45°，再套入公式即可；
（2）①过C′作C′E⊥l于E，根据等边三角形的性质可得C′E和AE的长，再根据正切的定义可得答案；
②根据①的思路得到tan∠CAA′的值，再利用tan（α+β）＝代入可得答案．
【解答】解：（1）sin75°＝sin（30°+45°）
＝sin30°•cos45°+cos30°•sin45°
＝+
＝；
（2）①过C′作C′E⊥l于E，

∵△ABC是等边三角形且边长为2，
∴C′E＝，AE＝2+2+1＝5，
∴tan∠CAC′＝＝；
②过A′作A′F⊥l于F，

∵△ABC是等边三角形且边长为2，
∴A′F＝，AF＝2+2+2+2+1＝9，
∴tan∠CAA′＝＝．
设∠CAC′＝α，∠CAA′＝β，
tan（α+β）＝＝＝，
∴α+β＝30°，
∴∠CAC′+CAA′＝30°．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键．
7．（2016秋•大兴区期末）阅读下面材料：
小敏遇到这一个问题：已知α为锐角，且tanα＝，求tan2α的值．
小敏根据锐角三角函数及三角形有关的学习经验，先画出一个含
锐角α的直角三角形：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α．她通
过独立思考及与同学进行交流、讨论后，形成了构造2α角的几种方法：
方法1：如图2，作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD．
方法2：如图3，以直线BC为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABC．
方法3：如图4，以直线AB为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABC．
…

请你参考上面的想法，根据勾股定理及三角函数等知识帮助小敏求tan2α的值．（一种方法即可）
【考点】解直角三角形．
【分析】根据勾股定理和解直角三角形的解法解答即可．
【解答】解：方法1：

∵线段AB的垂直平分线BC交于点D，
AD＝BD，
∴∠1＝∠B，
∵∠B＝α，
∴∠2＝∠1+∠B＝2α，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanα＝，
∴，
设AC＝k，DC＝x，则AD＝BD＝2k﹣x，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，由勾股定理得，k2+x2＝（2k﹣x）2，
解得：，
∴．
【点评】此题考查解直角三角形问题，关键是根据勾股定理解答．
8．（2021•永春县模拟）如图在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、BC的中点，过点B作BF⊥AC于点F，BF与DE交于点G．
（1）求证：DE⊥BF；
（2）连结EF，若S△CEF＝S△BDG，求cos∠CEF的值．

【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】证明题；转化思想；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由两个中点得三角形中位线，进一步推平行，推角相等，进一步得垂直；
（2）由平行推相似，用相似三角形的性质推三角形的面积之比，再由已知推三角形面积之比，最后得出结果．
【解答】证明：（1）∵点D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC．
∴∠DGB＝∠AFB．
∵BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠BFC＝90°．
∴∠DGB＝90°，
∴DE⊥BF．
（2）∵∠BFC＝90°，点E是BC的中点，
∴EF＝BE＝EC，
∴∠EFC＝∠C．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∴∠CEF＝180°﹣2∠C＝∠BAC．
∵DE∥AC，点D是AB的中点，
∴△BDG∽△BAF，
∴＝．
∵点E是BC的中点，
∴S△BFC＝2S△CEF，
∵S△CEF＝，
∴．
∴S△ABC＝S△ABF+S△BCF＝S△ABF+2S△CEF＝S△CEF．
∴＝＝S△CEF：S△CEF＝，
在Rt△ABF中，cos∠CEF＝cos∠BAF＝＝＝．
【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查三角形的中位线，平行线的性质，相似三角形的性质，三角函数等知识，掌握这些性质的熟练应用，相似三角形性质，由角相等进行三角函数值的求法是解题关键．
9．（2016•杭州一模）数学老师布置了这样一个问题：
如果α，β都为锐角．且tanα＝，tanβ＝．求α+β的度数．
甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2．
（1）请你分别利用图1，图2求出α+β的度数，并说明理由；
（2）请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：
如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ＝时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON＝α﹣β．求出α﹣β的度数，并说明理由．

【考点】解直角三角形．
【分析】（1））①如图1中，只要证明△AMC≌△CNB，即可证明△ACB是等腰直角三角形．
②如图2中，只要证明△CEB∽△BEA，即可证明∠BED＝α+β＝45°．
（2）如图3中，∠MOE＝α，∠NOH＝β，∠MON＝α﹣β，只要证明△MFN≌△NHO即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB，
∴AC＝BC，∠ACM＝∠CBN，
∵∠BCN+∠CBN＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴α+β＝45°．
②如图2中，设正方形边长为1，则CE＝1，AE＝2，BE＝，
∴＝＝，＝，
∴＝，
∵∠CEB＝∠AEB
∴△CEB∽△BEA，
∴∠CAB＝∠CBE＝α，
∵∠BED＝∠ECB+∠CBE＝α+β，
∵DE＝DB，∠D＝90°，
∠BED＝45°，
∴α+β＝45°．
（2）如图3中，∠MOE＝α，∠NOH＝β，∠MON＝α﹣β．
在△MFN和△NHO中，
，
∴△MFN≌△NHO，
∴MN＝NO，∠MNF＝∠NOH，
∵∠NOH+∠ONH＝90°，
∴∠ONH+∠MNF＝90°，
∴∠MNO＝90°，
∴∠NOM＝∠NMO＝45°，
∴α﹣β＝45°．



【点评】本题考查了作图﹣应用与设计图，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据函数值作出直角三角形是解题的关键，属于中考创新题目．
10．（2021•武汉模拟）如图，已知BC是⊙O的直径，CA平分∠BCE，延长EC交⊙O于点D，连接DO并延长交AB于点F．
（1）求证：AO⊥BD；
（2）已知tan∠ACE＝，求tan∠AFO．

【考点】解直角三角形；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【分析】（1）根据BC是⊙O的直径，得到BD⊥DE，利用CA平分∠BCE和OA＝OC，求出∠OAC＝∠ACE，进而得到AO∥DE，即可证明AO⊥BD；
（2）延长DF交⊙O于点G，连接BG，过点O作OT⊥AB，设AH＝3a，AO＝OB＝r，根据勾股定理求出r＝a，以及OH的长，再利用相似算出AF的长，根据锐角三角函数计算出TO和AT，进而算出FT即可求出tan∠AFO．
【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥DE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵CA平分∠BCE，
∴∠ACE＝∠OCA，
∴∠OAC＝∠ACE，
∴AO∥DE，
∴AO⊥BD；
（2）解：延长AO交BD于点H，延长DF交⊙O于点G，连接BG，过点O作OT⊥AB于点T，
∵tan∠ACE＝tan∠ABD＝，
∴设AH＝3a，AO＝OB＝r，则BH＝2a，OH＝3a﹣r，
在Rt△BOH中，r2＝（2a）2+（3a﹣r）2，
解得r＝a，
∴OH＝a，
∵BG是直径，
∴∠GBD＝90°，
∴AH∥GB，
∴△DHO∽△DBG，△GBF∽△OAF，
∴＝＝，BG＝a，
∴＝＝，
∴AF＝AB＝a，
∵TO＝AOsin∠BAH＝a，AT＝AOcos∠BAH＝a，
∴FT＝AF﹣AT＝a，
∴tan∠AFO＝＝．

【点评】本题主要考查圆周角定理和解直角三角形，会根据已知条件作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．

考点卡片
1．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
2．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
3．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
4．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
5．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
6．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

7．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
8．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
9．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
10．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
11．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
12．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．