人教版八年级数学下册同步精品讲义 第24课 期末复习与巩固（教师版+学生版）

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二次根式定义

形如（≥0）叫做二次根式

2

取值范围

①：；

②：；

③：

3

二次根式的

性质

（1）（）2= （≥0）

（2）

4

最简二次根式

必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母；

⑶分母中不含根式。

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同类二次根式

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式

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二次根式的

运算

①=·（a≥0，b≥0）；

②（b≥0，a>0）．

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

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分母有理化

①

②

1

勾股定理

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2

2

勾股定理

逆定理

如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形

3

直角三角形的性质

①直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

②在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半

③a2＋b2=c2

④斜边的中线等于斜边的一半

4

斜边上的高

若a，b是直角边，c是斜边，则斜边上的高是

5

直角三角形

三边的关系

①

②

6

勾股定理的

证明

①

②

③

④

7

勾股数

3,4,5；6,8,10；5,12,13

8

勾股定理与

数轴

利用勾股定理表示无理数的方法：

（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个整数的直角三角形的斜边；

（2）以原点为圆心，以无理数边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示负无理数，在原点右边的点表示正无理数；

（3）若出现类型，则在数轴上以点2为圆心，弧与数轴的右侧交点即为所求；

1

四边形内角和

四边形的内角和等于360°

2

四边形外角和

四边形的外角和等于360°

3

多边形的

内角和

(n-2)180°

4

多边形的

外角和

360°

5

平行四边形的性质

6

平行四边形的判定

7

矩形的性质

8

矩形的判定

四边形ABCD是矩形

9

菱形的性质

10

菱形的判定

四边形四边形ABCD是菱形

11

正方形的性质

12

正方形的判定

四边形ABCD是正方形.

13

等腰梯形的性质

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等腰梯形的判定

四边形ABCD是等腰梯形

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三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

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三角形中位线定理

三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半

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三角形中位线定理的作用

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

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中位线

常用结论

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

1

函数的定义

如果对于任意一个确定的自变量的值，都有唯一确定的因变量的值

2

自变量取值

范围

（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数。

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

3

函数图象的

定义

一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

4

画函数的图象

1、列表表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。

注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称

2、描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点

3、连线：按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）

5

函数有三种表示形式

（1）列表法

（2）图像法

（3）解析式法

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正比例函数

一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。

7

一次函数

一般地，形如y=kx+b  (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.

当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.

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正比例函数的图象与性质

（1)图象:

正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。

(2)性质:

当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；

当k<0时,直线y= kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。

9

一次函数的图像与性质

k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；

k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).

（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；

（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；

（3）k>0，b＝0  图像经过一、三象限；

（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；

（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；

（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。

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求函数解析式

求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.

11

一次函数与坐标轴的交点

（1）与y轴的交点，令x=0，y=b，即（0，b）

（2）与x轴的交点，令y=0，x=

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一次函数与一元一次不等式

（1）解ax+b＞0(a，b是常数，a≠0)

从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围；

（2）解ax+b<0(a，b是常数，a≠0)

从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴下方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围；

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求两一次函数的交点坐标

列二元一次方程组，解出x和y，即为交点的横坐标

1

平均数

一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.

2

加权平均数

若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.

3

中位数

将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数

4

众数

一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.

5

方差

方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是：