2020-2021学年湖北省鄂州市八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省鄂州市八年级（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省鄂州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜0 B．x≥0 C．x＞0 D．x≤0
2．（3分）若正比例函数的图象经过点（2，4），则这个图象也必经过点（　　）
A．（2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（4，2）
3．（3分）下列根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表：
人数（人）
1
3
4
1
分数（分）
80
85
90
95
那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（　　）
A．90，90 B．90，85 C．90，87.5 D．85，85
5．（3分）如果一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二象限，且与y轴的负半轴相交，那么（　　）
A．k＞0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
6．（3分）把（2﹣x）的根号外的（2﹣x）适当变形后移入根号内，得（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
7．（3分）小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（　　）两块去玻璃店．

A．①② B．②④ C．②③ D．①③
8．（3分）如图，在△ABC中，在同一平面内，分别以AB、BC、AC为边向形外作等边△ABE、等边△BCF、等边△ACG，若S△AEB+S△ACG＝S△BCF，且AB＝2，BC＝3，则S△ABC＝（　　）

A． B．3 C． D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点A1，A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第10个等腰直角三角形是A10B9B10，其点B10的横坐标为（　　）

A．512 B．1023 C．2047 D．2048
10．（3分）在边长为2的等边△ABC中，D是AC上一动点，连接BD，以BD、AD为邻边作平行四边形BDAE，则对角线DE的最小值为（　　）

A． B．1 C． D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）比较大小　 　．
12．（3分）某组数据的方差是S2＝[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…+（x5﹣4）2]中，则该组数据的总和等于 　 　．
13．（3分）如图，一个机器人从A地沿着西南方向先前进了4米到达B地，观察到原点O地在它的南偏东60°的方向上，则A、O两地的距离等于 　 　米．

14．（3分）如图，在菱形ABCD中，E是AD上一点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F处，连接CF，若∠DFC＝110°，则∠A＝　 　．

15．（3分）已知直线l1：y＝﹣2x+3和直线l2：y＝x﹣6，若直线l3：y＝kx﹣2与l1、l2不能围成三角形，则k＝　 　．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，AC＝9，AB＝15，D、E两点分别在边AC和y轴的正半轴上，现将边长为2的正方形OCDE沿x轴向右平移，当点D落在AB边上时，则正方形OCDE移动的距离为 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（10分）计算：
（1）（）×；
（2）（π+1）0﹣+|﹣|．
18．（8分）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？

19．（8分）我市某中学八年级二班数学教师在讲授“轴对称”时，设计了如下四种教学方法，①教师讲，学生听；②学生自己做；③教师引导学生画图发现规律；④教师让学生对折纸，观察发现的规律，然后画图．为了调查本班教学效果，要求每位学生选出自己喜欢的一种，现将调查结果绘制成如图所示的两种统计图．

请结合这两幅统计图，解决下列问题：
（1）本班一共有 　 　名学生．
（2）请补全条形统计图，并在图上标出相应人数．
（3）若该校八年级共有500名学生，选择方法④约有多少名学生？
20．（8分）如图：直线y＝2x+3的图象与x轴相交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）点C（a，0）为x轴上一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线y＝2x+3于点D，若线段CD＜5，求a的取值范围．

21．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：△ABE≌△FCE．
（2）若AF＝AD，猜想：四边形ABFC是否是矩形？请证明猜想．

22．（8分）某药店购进N95型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示：

N95口罩
普通医用口罩
进价（元/包）
18
6
售价（元/包）
22
9
若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题．
（1）求出利润y与x的函数关系式．
（2）已知N95口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出a（a＞0）元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值．
23．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE∥MN交AD于E，连接EM，CN，DN．
（1）求证：DM＝MN．
（2）求证：EM∥CN．
（3）若AE＝1，BN＝3，求DN的长．

24．（12分）如图1，在平面直角坐标系，点A（﹣3，0），点B（0，4），点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB方向运动，同时点C从点O出发，以每秒0.6个单位长度沿OA方向运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）当△AEC是等腰三角形且CE为底时（如图1），求AC的长．
（2）在（1）问的条件下，如图2，若点D（0，），连接CD、DE，四边形ACDE能否是菱形？试证明之．
（3）在第（2）问条件下，如图3，直线AD上是否存在点F，满足S△AEF＝S△ADB，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．


2020-2021学年湖北省鄂州市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜0 B．x≥0 C．x＞0 D．x≤0
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案．
【解答】解：式子有意义，则x的取值范围是x≥0．
故选：B．
2．（3分）若正比例函数的图象经过点（2，4），则这个图象也必经过点（　　）
A．（2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（4，2）
【分析】设正比例函数解析式y＝kx，将点（2，4）代入可求函数解析式y＝2x，再结合选项进行判断即可．
【解答】解：∵正比例函数的图象经过点（2，4），
设正比例函数解析式y＝kx，将点（2，4）代入可得k＝2，
∴函数解析式y＝2x，
将选项中点代入，可以判断（﹣1，﹣2）在函数图象上；
故选：B．
3．（3分）下列根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．的被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表：
人数（人）
1
3
4
1
分数（分）
80
85
90
95
那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（　　）
A．90，90 B．90，85 C．90，87.5 D．85，85
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．
【解答】解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90；
排序后处于中间位置的那个数是90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90；
故选：A．
5．（3分）如果一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二象限，且与y轴的负半轴相交，那么（　　）
A．k＞0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【分析】由一次函数图象经过第二象限及一次函数图象与y轴的负半轴相交，可得出一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，再利用一次函数图象与系数的关系，可得出k＜0，b＜0．
【解答】解：依题意可知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
故选：D．
6．（3分）把（2﹣x）的根号外的（2﹣x）适当变形后移入根号内，得（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】根据二次根式有意义的条件可以得到2﹣x＜0，根号外的（2﹣x）提出负号后移入根号内即可．
【解答】解：（2﹣x）＝﹣（x﹣2）＝﹣＝﹣，
故选：D．
7．（3分）小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（　　）两块去玻璃店．

A．①② B．②④ C．②③ D．①③
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【解答】解：只有②④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，在同一平面内，分别以AB、BC、AC为边向形外作等边△ABE、等边△BCF、等边△ACG，若S△AEB+S△ACG＝S△BCF，且AB＝2，BC＝3，则S△ABC＝（　　）

A． B．3 C． D．
【分析】根据等边△ABE、等边△BCF、等边△ACG，可得S△AEB＝AB2，S△ACG＝AC2，S△BCF＝BC2，再根据S△AEB+S△ACG＝S△BCF，可以证明△ABC是直角三角形，根据勾股定理可得AC的长，进而可得△ABC的面积．
【解答】解：∵以AB、BC、AC为边向形外作等边△ABE、等边△BCF、等边△ACG，
∴S△AEB＝AB2，S△ACG＝AC2，S△BCF＝BC2，
∵S△AEB+S△ACG＝S△BCF，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝2，BC＝3，
∴AC＝＝，
∴S△ABC＝AB•AC＝2×＝．
故选：C．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点A1，A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第10个等腰直角三角形是A10B9B10，其点B10的横坐标为（　　）

A．512 B．1023 C．2047 D．2048
【分析】根据题意分别求出B1（1，0），B2（3，0），B3（7，0），由点的坐标规律可得Bn（2n﹣1，0）．
【解答】解：直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为（﹣1，0），（0，1），
∴OA1＝1，
∵△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，
∴B1（1，0），
∴A2（1，2），
∴A2B1＝2，
∴B2（3，0），
∴A3（3，4），
∴A3B2＝4，
∴B3（7，0），
……
∴顶点Bn的坐标为Bn（2n﹣1，0），
∴点B10的横坐标为：210﹣1＝1023．
故选：B．
10．（3分）在边长为2的等边△ABC中，D是AC上一动点，连接BD，以BD、AD为邻边作平行四边形BDAE，则对角线DE的最小值为（　　）

A． B．1 C． D．2
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥AC时，线段DE取最小值．
【解答】解：如图，AB与DE相交于点O，

在△ABC中，∠BAC＝60°，
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OB．
∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时OD⊥AC．
∵点O是AB的中点，
∴OA＝AB＝1，
∵∠ODA＝90°，OA＝1，∠BAC＝60°，
∴OD＝，
∴ED＝2OD＝，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）比较大小　＜　．
【分析】根据2＜3即可得出答案．
【解答】解：∵2＜3，
∴＜，
故答案为：＜．
12．（3分）某组数据的方差是S2＝[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…+（x5﹣4）2]中，则该组数据的总和等于 　20　．
【分析】样本方差S2＝×[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…（x5﹣4）2]，其中n是这个样本的容量，是样本的平均数．利用此公式直接求解．
【解答】解：∵S2＝×[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…（x5﹣4）2]，
∴共有5个数据，这5个数据的平均数为4，
则该组数据的总和为4×5＝20，
故答案为：20．
13．（3分）如图，一个机器人从A地沿着西南方向先前进了4米到达B地，观察到原点O地在它的南偏东60°的方向上，则A、O两地的距离等于 　（4+）　米．

【分析】过点B作BC⊥OA于C，由等腰直角三角形的性质得AC＝BC＝AB＝4（米），再由含30°角的直角三角形的性质得OC＝BC＝（米），即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BC⊥OA于C，
在Rt△ABC中，AB＝4米，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝AB＝4（米）．
在Rt△OBC中，∠OBC＝90°﹣60°＝30°，
∴OC＝BC＝（米），
∴AO＝AC+CO＝（4+）米，
故答案为：（4+）．

14．（3分）如图，在菱形ABCD中，E是AD上一点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F处，连接CF，若∠DFC＝110°，则∠A＝　100°　．

【分析】根据菱形的性质得到AB＝BC，根据折叠的性质得到AB＝BF，根据等腰三角形的性质得到∠BFC＝∠BCF，求得∠CBD＝40°，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F处，
∴AB＝BF，
∴BF＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF，
∵∠DFC＝110°，
∴∠BFC＝∠BCF＝70°，
∴∠CBD＝40°，
∴∠ABC＝2∠DBC＝80°，
∵AD∥BC，
∴∠A＝180°﹣∠ABC＝100°，
故答案为：100°．
15．（3分）已知直线l1：y＝﹣2x+3和直线l2：y＝x﹣6，若直线l3：y＝kx﹣2与l1、l2不能围成三角形，则k＝　﹣2或1或　．
【分析】根据“直线l3与l1、l2不能围成三角形”可知l1∥l3或l2∥l3或三条直线交于一点，解之即可得k的值．
【解答】解：∵直线l3与l1、l2不能围成三角形，
∴有三种情况：
l1∥l3或l2∥l3或三条直线交于一点，
∴当l1∥l3时，k＝﹣2，
当l2∥l3时，k＝1，
当三条直线交于一点时，
，
解得，即交点坐标为（3，﹣3），
把（3，﹣3）代入l3得：﹣3＝3k﹣2，
解得k＝﹣．
故答案为：﹣2或1或．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，AC＝9，AB＝15，D、E两点分别在边AC和y轴的正半轴上，现将边长为2的正方形OCDE沿x轴向右平移，当点D落在AB边上时，则正方形OCDE移动的距离为 　　．

【分析】根据已知条件得到BC＝12，可得顶点A，B的坐标分别为（﹣2，9）和（10，0），根据正方形的性质得到DE＝OC＝OE＝2，求得O′E′＝O′C′＝2，根据相似三角形的性质得到BC′＝，于是得到结论．
【解答】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，

∵AC＝9，AB＝15，
∴BC＝＝＝12，
∵正方形OCDE边长为2，
∴顶点A，B的坐标分别为（﹣2，9）和（10，0），
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE＝OC＝OE＝2，
∴O′E′＝O′C′＝2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BC′D′∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴BC′＝，
∴OC′＝OB﹣BC′＝10﹣＝，
∴DD′＝OC′+OC＝+2＝．
∴当点D落在AB边上时，点D的坐标为（，2），
∴正方形OCDE移动的距离为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（10分）计算：
（1）（）×；
（2）（π+1）0﹣+|﹣|．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则运算；
（2）根据零指数幂的意义、绝对值的意义和二次根式的性质计算．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝2﹣1
＝1；
（2）原式＝1﹣3+
＝1﹣2．
18．（8分）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？

【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，
由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，
答：最短路程是150cm．

19．（8分）我市某中学八年级二班数学教师在讲授“轴对称”时，设计了如下四种教学方法，①教师讲，学生听；②学生自己做；③教师引导学生画图发现规律；④教师让学生对折纸，观察发现的规律，然后画图．为了调查本班教学效果，要求每位学生选出自己喜欢的一种，现将调查结果绘制成如图所示的两种统计图．

请结合这两幅统计图，解决下列问题：
（1）本班一共有 　50　名学生．
（2）请补全条形统计图，并在图上标出相应人数．
（3）若该校八年级共有500名学生，选择方法④约有多少名学生？
【分析】（1）根据本班的总人数＝选择方法①的人数÷选择方法①人数占本班总人数的百分比；
（2）用本班总人数减去选择方法①、③、④的人数，得出选择方法②的人数，在条形统计图中表示出来即可；
（3）样本中选择方法④的人数占了44%，根据样本估计总体求解即可．
【解答】（1）本班的学生总人数：6÷12%＝50（名）；
故答案为：50；
（2）选择方法②的人数：50﹣6﹣14﹣22＝8（名），
不全条形统计图如下：
；
（3）500×44%＝220（名），
答：若该校八年级共有500名学生，选择方法④约有220名学生．
20．（8分）如图：直线y＝2x+3的图象与x轴相交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）点C（a，0）为x轴上一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线y＝2x+3于点D，若线段CD＜5，求a的取值范围．

【分析】（1）令y＝0，求出A，令x＝0，求出B（0，3）；
（2）由题意可知D（a，2a+3），则CD＝|2a+3|＜5，解得：﹣4＜a＜1即为所求．
【解答】解：（1）当y＝0时，，
∴A点的坐标为，
当x＝0时，y＝3，
∴B点的坐标为（0，3）；
（2）∵CD⊥x轴，C（a，0），
∴D（a，2a+3），
∴CD＝|2a+3|＝5，
解得：﹣4＜a＜1，
∴a的取值范围是：﹣4＜a＜1．
21．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：△ABE≌△FCE．
（2）若AF＝AD，猜想：四边形ABFC是否是矩形？请证明猜想．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB∥DC，根据平行线的性质得出∠BAE＝∠CFE，求出BE＝CE，再根据全等三角形的判定定理AAS推出即可；
（2）根据△ABE≌△FCE推出AB＝FC，根据平行四边形的判定求出四边形ABFC是平行四边形，求出AD＝BC＝AF，再根据矩形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
即AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；

（2）解：四边形ABFC是矩形，
理由是：∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝FC，
∵AB∥FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵AF＝AD，
∴AF＝BC，
∴四边形ABFC是矩形．
22．（8分）某药店购进N95型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示：

N95口罩
普通医用口罩
进价（元/包）
18
6
售价（元/包）
22
9
若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题．
（1）求出利润y与x的函数关系式．
（2）已知N95口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出a（a＞0）元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值．
【分析】（1）根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出y与x的函数关系式即可；
（2）由N95型口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，列出不等式解出自变量的取值范围，得出y与x的函数关系式，利用获得的最大利润为11000元，求出a的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝（4000﹣x）（22﹣18）+（9﹣6）x，
整理得：y＝﹣x+16000；
（2）依题意，y＝﹣x+16000﹣4000a，
又，
∴x≥1000，又k＝﹣1＜0，
∴y随着x的增大而减小，
∴当x＝1000时，y最大＝11000，
代入解析式中得11000＝﹣1000+16000﹣4000a．
∴a＝1．
23．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE∥MN交AD于E，连接EM，CN，DN．
（1）求证：DM＝MN．
（2）求证：EM∥CN．
（3）若AE＝1，BN＝3，求DN的长．

【分析】（1）在边DA上截取线段DF，使DF＝MB，根据ASA证明△MDF≌△NMB解答即可；
（2）根据ASA证明△EDC≌△MAD，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（3）过N作NQ⊥AP垂足为Q，根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）在边DA上截取线段DF，使DF＝MB，连MF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，
∵DF＝BM，
∴AF＝AM，
∴△FAM是等腰直角三角形，
∴∠AFM＝45°，
∴∠DFM＝135°，
∵∠CBP的角平分线BN，
∴∠CBN＝45°，
∴∠MBN＝135°，
∴∠DFM＝∠MBN，
∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD＝90°，
∵∠AMD+∠FDM＝90°，
∴∠NMB＝∠FDM，
∴△MDF≌△NMB（ASA），
∴DM＝MN．
（2）∵CE∥MN，DM⊥MN，
∴DM⊥CE，
∴∠DEC+∠EDM＝90°，
∵∠AMD+∠EDM＝90°，
∴∠DEC＝∠AMD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AD，∠EDC＝∠MAD＝90°，
∴△EDC≌△MAD（ASA）．
∴EC＝DM，
∵DM＝MN，
∴EC＝MN，
∵EC∥MN．
∴四边形EMNC为平行四边形．
∴EM∥CN．
（3）过N作NQ⊥AP垂足为Q．
由（2）知，△EDC≌△MAD，
∴DE＝MA，
∵AD＝AB，
∴AD﹣DE＝AB﹣AM，
即AE＝MB＝1，
∵BN平分∠CBP，
∴∠NBQ＝45°，
∴△NBQ是等腰直角三角形，
在Rt△NBQ中，设BQ＝x，则NQ＝BQ＝x，即，
∴x＝3．
∴NQ＝3，MQ＝1+3＝4，
在Rt△MQN中，，
又∵在Rt△DMN中，MN＝5，DM＝5，
∴．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系，点A（﹣3，0），点B（0，4），点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB方向运动，同时点C从点O出发，以每秒0.6个单位长度沿OA方向运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）当△AEC是等腰三角形且CE为底时（如图1），求AC的长．
（2）在（1）问的条件下，如图2，若点D（0，），连接CD、DE，四边形ACDE能否是菱形？试证明之．
（3）在第（2）问条件下，如图3，直线AD上是否存在点F，满足S△AEF＝S△ADB，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据AE＝AC，构建方程求出t即可解决问题．
（2）是菱形．先证明是平行四边形，再根据AE＝AC，可得结论．
（3）如图3中，连接CF，过F作FM⊥x轴，垂足为M，首先求出直线AD的解析式为，设，利用面积的关系，构建方程求出a即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，

∵AE＝t，OC＝0.6t，
∴AC＝3﹣0.6t，当AE＝AC时，即t＝3﹣0.6t，
∴，即．

（2）结论：四边形ACDE为菱形，
理由：如图2中，

设直线AB的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣3，0），B（0，4），代入上式得
∴，b＝4，
故直线AB的函数解析式为．
∵，
∴，，
设直线CD的函数解析式为y＝mx+n（m≠0），
将C、D两点坐标代入上式得，
∴，，
∴直线CD的解析式为，
∴m＝k，即AB∥CD，
在Rt△COD中，，
∴，，，
∴四边形ACDE为平行四边形，
又∵AE＝AC，故四边形ACDE为菱形．

（3）存在．
理由：如图3中，连接CF，过F作FM⊥x轴，垂足为M，

设直线AD的解析式为y＝px+q（p≠0），
将A（﹣3，0），，代入上式可得：，
解得，，
∴直线AD的解析式为，
又∵点F在直线AD上，设，
∵四边形ACDE为菱形，
∴AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，
∵AF＝AF，
∴△FEA≌△FCA（SAS），
∴S△FEA＝S△FCA，
∵，而，
∴，
又，
∵S△AEF＝S△ADB，
∴，
∴或，
即a＝5或a＝﹣11，
当a＝5时点P（5，4），当a＝﹣11时点P（﹣11，﹣4），
∴存在点P（5，4）或（﹣11，﹣4），使S△AEF＝S△ADB．
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日期：2021/8/11 12:03:11；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298