福建省泉州实验中学2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷（含解析） (1)

福建省泉州实验中学2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 在、、、、、这些实数中，无理数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 在中，公因式是

A.  B.
C.  D.

3. 如图，已知，添加以下条件，不能判定≌的是

A.
B.
C.
D.
 

4. 下列二次根式中，最简二次根式是

A.  B.  C.  D.

5. 计算的结果为

A.  B.  C.  D.

6. 在中，，，则下列式子成立的是

A.  B.
C.  D.

7. 下列各命题的逆命题是真命题的是

A. 对顶角相等 B. 全等三角形的面积相等
C. 相等的角是同位角 D. 等边三角形的三个内角都相等

8. 用反证法证明“是无理数”时，最恰当的证法是先假设

A. 是分数 B. 是整数 C. 是有理数 D. 是实数

9. 如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转到点落在边上，此时得到，斜边交边于点，则图中阴影部分的面积为

A.  B.  C.  D.

10. 已知整数，满足，则的值是

1. 或 B.  C. 或 D.

二．填空题（本题共6小题，共24 分）

11. 若是关于的完全平方式，则的值是______．
12. 一个正数的平方根分别是和，则这个正数为______．
13. 如图，≌，，则______．

14. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______．
15. 如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是______
16. 如图，在等腰中，，，，点、、分别为边、、上均不与端点重合的动点，周长的最小值是______．
     

三．解答题（本题共10小题，共86分）

17. 因式分解：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 计算：
    其中，；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     
20. 用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点要求：不写作法，保留作图痕迹
    若数轴上的另一点与点关于所在的点对称，则点对应的数是______．
    
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在中，，平分，是上一点，且求证：．

22. 设
    当取什么实数时，，，都有意义；
    若，，为三边长，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在中，，于点，，分别交，于点、．
    如图，若，，求的长度；
    如图，若，求证：．

24. 如图，已知在中，，，，是上的一点，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为，连接．
    当秒时，求的长度结果保留根号；
    当点在线段的垂直平分线上时，求的值；
    过点作于点在点的运动过程中，当为何值时，能使？

25. 阅读材料并解决问题：
    材料一：若一个三位数，满足百位数小于十位数，十位数等于个位数，则称这个三位数为“长平数”；
    材料二：若一个三位数，将它的三个数字、三个数字两两乘积、三个数字的乘积相加，恰好等于它本身，则称这个三位数为“长久数”．
    如：，所以不是“长久数”．
    最小的“长平数”为______； ______“长久数”；填“是”或“不是”
    若一个三位数既是“长平数”又是“长久数”，且它既能被整除，又能被整除，求满足这样条件的所有三位数；
    求最小的“长久数”．
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，已知中，，点是上一点，且，，于点，交于点．
    如图，若，求的长；
    如图，若，求的面积；
    如图，点是延长线上一点，且，连接，求证：

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：，
无理数有、，共有个，
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

2.【答案】

【解析】

解：，
，

，
故选：．
首先把式子进行变形，可变为，进而可得到公因式．
此题主要考查了找公因式的方法，找公因式的要点是：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母；相同字母的指数取次数最低的．
 

3.【答案】

【解析】

解：、，，，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出≌，故本选项正确；
B、，，，符合，即能推出≌，故本选项错误；
C、，，，符合，即能推出≌，故本选项错误；
D、，，，符合，即能推出≌，故本选项错误；
故选：．
全等三角形的判定方法有，，，，根据定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有，，，．
 

4.【答案】

【解析】

解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
，是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

5.【答案】

【解析】

解：



，
故选：．
先变形，变成同底数幂的乘法，再根据同底数幂的乘法进行计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法法则，注意：．
 

6.【答案】

【解析】

解：在中，，，
，
是直角三角形，
，故选项A正确，选项B、、D错误，
故选：．
根据在中，，，可以得到的度数，然后根据勾股定理，即可判断各个选项中的说法是否正确．
本题考查勾股定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
 

7.【答案】

【解析】

解：、对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角，此逆命题为假命题；
B、全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题；
C、相等的角是同位角的逆命题为同位角相等，此逆命题为假命题；
D、等边三角形的三个内角都相等的逆命题为三个内角都相等的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题．
故选：．
先交换命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后根据对顶角的定义、等边三角形的判定方法和全等三角形的判定方法对四个逆命题的真假进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

8.【答案】

【解析】

解：反证法证明“是无理数”时，先假设是有理数，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，结合实数包括有理数和无理数解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

9.【答案】

【解析】

解：是直角三角形，，，，
，，，
是旋转而成，
，
，
是等边三角形，
，
，，即，
，
，
是的中位线，
，，
，
故选：．
先根据已知条件求出的长及的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出的形状，进而得出的度数，由直角三角形的性质可判断出是的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：由，得：

，
，都为整数，
或，
解得或，
或．
故选：．
运用因式分解法把原来的等式变形为，再根据两个整数的乘积是的，只有和，再进一步解方程组即可．
此题考查了因式分解，关键是运用因式分解法把原来的等式变形，根据条件的限制分析出不定方程的解．
 

11.【答案】

【解析】

解：是关于的完全平方式，
，
解得：．
故答案为：．
根据完全平方公式即可求出的值．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
 

12.【答案】

【解析】

解：由题意得，．
．
．
．
故答案为：．
根据平方根的定义与性质解决此题．
本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的定义与性质是解决本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：如图，≌，，
．
．
故答案是：．
由全等三角形的对应角相等和三角形外角定理求解．
本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：
根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 

15.【答案】

【解析】

解：由题意可知，将木块展开，
相当于是个正方形的宽，
长为米；宽为米．
于是最短路径为：米．
故答案为：．
解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．
 

16.【答案】

【解析】

解：作点关于的对称点，作关于的对称点，
连接，分别交、于点、，连接、．

则，，，，，
周长，
，
为等边三角形，
，
当时，最短，即为周长的最小值．
如图，作，

，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即周长的最小值为．
作点关于的对称点，作关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接、则，，，，，所以周长，根据，可知为等边三角形，得出，因此当时，最短，即为周长的最小值，据此解答即可．
本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
 

17.【答案】

解：原式

．
原式

．
 

【解析】

先展开，再分解；
先分组，用完全平方公式后，再用平方差公式分解．
本题考查因式分解．解题关键在于观察式子特点，选择正确的分解方法．注意有公因式的先提取公因式．
 

18.【答案】

解：原式

；
原式

．
 

【解析】

化简二次根式，然后根据二次根式乘除法运算法则进行计算；
化简二次根式，然后先算乘法，再算加减．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
 

19.【答案】

解：


，
当，时，
原式

．
 

【解析】

先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值和分母有理化，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

20.【答案】

【解析】

解：如图，

点即为所求．
点到对称点的距离为，
点表示的数为．
故答案为：．
根据，构造长为宽为的长方形可得点；
由题意得，点到对称点的距离为，再根据点与点关于所在的点对称可得答案．
本题主要考查了实数与数轴上的点一一对应，用勾股定理构造长度为的线段是解题关键．
 

21.【答案】

证明：作于，
，
，
，
，
平分交于，
，，
≌，
．
．
 

【解析】

作于，再根据等腰三角形的性质可得，再证明≌可得．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．证明三角形全等是证明角相等和线段相等的重要手段．
 

22.【答案】

解：由二次根式的性质，得，
解得；

当为斜边时，由，
即，
解得，
当为斜边时，，
即，
解得，
当为斜边时，，
即，
解得，
，
或．
 

【解析】

根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式组求解；
根据、、分别作直角三角形的斜边，由勾股定理分别求解．
本题考查了二次根式的性质及勾股定理的运用．在没有指定直角三角形的斜边的情况下，注意分类讨论．
 

23.【答案】

解：如图，，，

，
，
，
中，，
，
中，，
是等腰直角三角形，
，
；

证明：如图，在上取一点，使，连接，

在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
中，由勾股定理得：，
．
 

【解析】

先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论；
如图，作辅助线，构建全等三角形，证明≌，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论．
本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．
 

24.【答案】

解：根据题意，得，，，
在中，根据勾股定理，得．
答：的长为．

在中，，，
根据勾股定理，得
当点在线段的垂直平分线上时，即，
则，
解得．

点在线段上时，过点作于，如图所示：
则，
，
平分，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
点在线段的延长线上时，过点作于，如图所示：
同得：≌，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使．
 

【解析】

根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解；
根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．
 

25.【答案】

  是
 

【解析】

解：一个三位数，满足百位数小于十位数，十位数等于个位数，则称这个三位数为“长平数”，
最小的“长平数”的百位数字为，十位数字与个位数字为，
最小的“长平数”为：；
，
是“长久数”；
故答案为：；是；
设这个数的百位数字为，十位数字为，
这个数是“长平数”，
这个三位数为：，
这个数是“长久数”，
．
化简可得：．
．
，
．
这个三位数为：，，，，，，，，
它既能被整除，又能被整除，
满足这样条件的三位数是．
设这个最小的“长久数”为，
则．
化简整理可得：，
或．
解得：不合题意，舍去或．
最小的“长久数”是．
利用“长平数”和“长久数”的定义进行解答即可；
设这个数的百位数字为，十位数字为，依据“长平数”和“长久数”的定义得到关于，的式子，从而确定这个三位数，再根据它既能被整除，又能被整除，进行合理的取舍；
设这个最小的“长久数”为，利用“长久数”的定义得出关于，式子，依据数位上数字的特征即可确定，的值，结论可求．
本题主要考查了因式分解的应用，数位上的数字的特征，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
 

26.【答案】

解：如图中，

，，
，
，
，
，
，
．

解：如图中，在上取一点，使得，连接．

，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，



证明：如图中，过点作于点，与交于点，连接．

，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
即．
 

【解析】

利用勾股定理求出，再利用面积法求出即可．
如图中，在上取一点，使得，连接设，想办法构建方程求出即可解决问题．
如图中，过点作于点，与交于点，连接，证明≌，推出，再证明≌，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．