初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程教案设计

这是一份初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程教案设计，共19页。
第二十一章 一元二次方程（三）
一元二次方程的应用
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤
要点1.简单地可分为审、设、列、解、验、答六个步骤：
（1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系；
（2）设：用字母(如x)表示题目中的一个未知量；
（3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程；
（4）解：解方程，求出未知数的值；
（5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去；
（6）答：写出答案(包括单位名称).
注意：（1）设未知数时：必须写清单位，正确使用单位；
（2）单位一致性：列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，写答案时必须写上单位；
（3）验根：一定要检验根是否符合实际意义.

知识点二 平均增长（降低）率问题
要点1.增长（降低）率=.
要点2.增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的值为a(1+x)，两次增长后的值为a(1+x)2，依次类推，n次增长后的值为a(1+x)n；
降低率问题：设基数为a，平均降低率为x，则第一次降低后的值为a(1-x)，两次降低后的值为a(1-x)2，依次类推，n次降低后的值为a(1-x)n.
要点3.累计值：设基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的累计值为a+a(1+x)，两次增长后的累计值为a+a(1+x)+a(1+x)2；
依次类推，n次增长后的累计值为a+a(1+x)+a(1+x)2+…+a(1+x)n.

课堂练习
1.某农业大镇2018年葡萄总产量为1.2万吨，预计2020年葡萄总产量达到1.6万吨，求葡萄总产量的年平均增长率，设葡萄总产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A.1.2(1+x)2=1.6 B.1.6(1+x)2=1.2 C.1.2(1+2x)=1.6 D.1.2(1+x2)=1.6

2.为响应政府号召，加强防疫物资储备，我市某服装厂改装一条生产线加工口罩，今年一月口罩产量是80万只，第一季度总产量是340万只，设二、三月份的产量月平均增长率为x，根据题意可得方程为（ ）
A.80(1+x)2=340 B.80+80(1+x)+80(1+2x)=340
C.80(1+x)3=340 D.80+80(1+x)+80(1+x)2=340

3.2020年1月20日长沙市政府工作报告公布：2018年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2020年将达到2180亿元.设平均每年增长的百分率为x，可列方程为 .

4.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是　 　.

5.某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元.假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同.
（1）求每个月增长的利润率；
（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少.











6.某年长沙星城某楼盘以每平方米8000元的均价对外销售.由于受周边地区及炒房的影响，长沙星城的房价在两年内疯涨，至第3年该楼盘的均价为每平方米11520元.设每年楼盘均价的增长率相同.
（1）求平均每年增长的百分率.
（2）设第4年该楼盘的均价仍然按相同的百分率增长，周老师准备在第4年底购买一套100平方米的住房，他持有现金80万元，可在银行贷款50万元，周老师的愿望能否实现？(房价按照均价计算，不考虑其他因素)











7.某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查，该品牌足球两年前单价为200元，今年单价为 162 元.
（1）求两年前到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率.
（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案
A商场：买十送一；B商场：全场九折.试问去哪个商场购买足球更优惠?








8.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2021年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同.
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2021年底共建设了多少万平方米的廉租房？








9.庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求该种植户每年投资的增长率；
（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．







知识点三 传播问题
要点1.常见传播问题：细胞分裂、信息传播、储蓄收益等.
等量关系：传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数.

课堂练习
1.有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为
.

2.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑，若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有 台.


3.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出个x小分支，若在个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则x等于 .



知识点四 单、双循环问题
要点1.若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为(n-1)场，比赛总场数为场.
双循环赛中每队比赛场数为2(n-1)场，比赛总场数为n(n-1)场.

课堂练习
1.要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排15场比赛，应邀请 支球队参加比赛.


2.在一次晚宴上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯66次，则参加晚宴的人数为 .


3.六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每名同学送一份小礼品，全班共互送306份小礼品，则该班有________名同学.





知识点五 销售利润问题
要点1.利润=售价-进价 利润率= 售价=进价×(1+利润率)
总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量=(单价-成本)×销量

课堂练习
1.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？









2.某玩具厂生产一种玩具，按照控制成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？










3.“蓝宝石”是葡萄优质新品种，在某省被广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“蓝宝石”100亩，到2020年“蓝宝石”的种植面积达到225亩.
（1）求该基地这两年“蓝宝石”种植面积的年平均增长率；
（2）市场调查发现，当“蓝宝石”售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降低1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，已知该基地“蓝宝石”的平均成本价位12元/千克，若使销售“蓝宝石”每天获利1800元，则售价应降低多少元？









4.全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.
（1）求一台 A 型空气净化器和一台 B 型空气净化器的进价各为多少元；
（2）在销售过程中，A 型空气净化器因为净化能力强、噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元/台时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？



















知识点六 几何问题
要点1.找面积问题的等量关系的方法：
（1）直接利用相应图形的面积公式列方程；
（2）利用割补法将不规则图形转化为规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积公式列出方程.
课堂练习
1.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有饼池径丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深，葭长各几何.”意思是：如示意图，有一个直径为1丈的圆柱形水池，在水池正中心有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注：1丈=10尺.设芦苇长x尺，
则可列方程为（ ）
A.x2+102=(x+1)2 B.(x-1)2+52=x2
C.x2+52=(x-1)2 D.x2+12=(x-1)2


2.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A.x2-6=(10-x)2 B.x2-62=(10-x)2 C.x2+6=(10-x)2 D.x2+62=(10-x)2

3.如图，某小区规划在一块长40米，宽36米的矩形场地ABCD上修建横、纵道路宽为
3：2的三条道路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若每一块草坪的面积都为198平方米，求道路的宽度.





4.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2?





5.一块长为60m，宽为50m的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为am）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽度为xm，则a=__________；（用含x的代数式表示）
（2）若塑胶运动场地总的占地面积为2430m2，请问通道的宽度为多少？







知识点七 动点问题
要点1.解决这类问题的关键，是在点的运动变化过程中，找出相应线段的长度与变量之间的关系，并用变量表示出来，最后利用面积公式、勾股定理等列方程求解.

课堂练习
1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由.






2.如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AB 向点B以1cm/s的速度匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度匀速移动.当点Q运动到点C时，两点停止运动，则经过几秒时，以A，P，Q，C为顶点的多边形的面积等于16cm2.





3.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D同时出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，若BQ=x cm(x≠0)，则AP =2x cm，CM=3x cm，DN=x2cm.
（1）当x为何值时，点P，N重合?
（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形?














4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的长分别是一元二次方程x2-11x+30=0的两个根(OB>OC)
（1）求点A和点B的坐标.
（2）点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O，B重合)，过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m. 已知t=4时，直线l恰好过点C.当0