安徽省六安市第九中学2022年九年级一模数学试卷(word版含答案)

这是一份安徽省六安市第九中学2022年九年级一模数学试卷(word版含答案)，共28页。试卷主要包含了如图，根据要求画图等内容，欢迎下载使用。

九年级第二阶段综合素质评价
数学试题
一．选择题（每小题4分，共40分，）
1．（4分）﹣|﹣3|的倒数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．（4分）如图，该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（4分）据2021年11月9日新华社消息，天问一号环绕器开展火星全球遥感探测，截至11月8日，环绕器在轨运行473天，地球与火星的距离为384000000千米．数字384000000用科学记数法表示为（　　）
A．38.4×107 B．384×106 C．3.84×108 D．3.84×109
4．（4分）下列计算，正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．3a2﹣a2＝2 C．a8÷a2＝a6 D．（﹣2a）3＝﹣2a3
5．（4分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式S2＝，由公式提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．样本容量是5 B．样本的中位数是4
C．样本的平均数是3.8 D．样本的众数是4
6． （4分）一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程为（　　）．
A．12x+ 24x=1 B．＝1 C．＝1 D．(12+24)x= 1
7．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（a是常数）的图象上，且y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为（　　）
A．x2＞x1＞x3 B．x1＞x2＞x3 C．x3＞x2＞x1 D．x3＞x1＞x2
8．（4分）如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18
9．（4分）如图，平面直角坐标系中，已知A（3，3），B（0，﹣1），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，点B'恰好在反比例函数y＝的图象上，则k等于（　　）

A．6 B．﹣6 C．7 D．﹣7
10．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+5上的点，且y1＞y2．下列命题正确的是（　　）
A．若|x1+2|＜|x2+2|，则a＜0 B．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则a＞0
C．若|x1+2|＞|x2+2|，则a＜0 D．若|x1﹣2|＜|x2﹣2|，则a＞0
二．填空题（每小题5分,共20分，）
11．（5分）已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中项，则c＝　 　cm．
12．（5分）如图（1），点P从点A出发，匀速沿等腰三角形ABC的边运动，设点P的运动时间为t（s），AP的长为y（cm），点P回到A点时停止运动．y于t的函数关系式如图（2）所示，点Q为曲线部分的最低点，则m的值为 　 　．

13．（5分）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 　 　．

14．（5分）平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点．
（1）请判断并写出该抛物线经过A，B，C中的 　 　两点；
（2）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m．则平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 　 　．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）先化简，再求值：÷（1+x+），其中x＝tan60°﹣tan45°．
16．（8分）如图，根据要求画图
（1）把△ABC向右平移5个方格，画出平移的△A1B1C1；
（2）以点B为旋转中心，把△ABC顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2BC2．

17．（8分）如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等．

（1）求x+y的值．
（2）若n＝22，则这些小桶内所放置的小球数之和是多少？
（3）用含k（k为正整数）的代数式表示装有“4个球”的小桶序号．
18．（8分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PO的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

19．（10分）2021年，“碳中和，碳达峰”成为高频热词，为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题：

（1）参加这次调查的学生总人数为 　 　人；
（2）扇形统计图中，B，C部分扇形所对应的圆心角分别是 　 　，　 　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
20．（10分）如图，在菱形ABCD中，AD∥x轴，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0）．CD边所在直线y1＝mx+n与x轴交于点C，与双曲线y2＝（x＜0）交于点D．
（1）求直线CD对应的函数解析式及k的值．
（2）当x＜0时，使y1﹣y2≤0的自变量x的取值范围为 　 　．

21．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是AB边上的中线，点E为线段CD上一点（不与点C、D重合），连接BE，作EF⊥BE与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连接BF．
（1）求证：△CFG∽△EBG；
（2）求∠EFB的度数．

22．（12分）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤5），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
23．（14分）（1）[阅读与证明]
如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．
①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝　 　°．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝　 　°．
②求证：BF＝AF+2FG．
（2）[类比与探究]
把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①∠FEG＝　 　°；
②线段BF、AF、FG之间存在数量关系 　 　．

九年级第二阶段综合素质评价数学试题
解析与答案
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）﹣|﹣3|的倒数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】先计算出﹣|﹣3|的值，然后再计算它的倒数．
【解答】解：﹣|﹣3|＝﹣3，它的倒数为﹣．
故选：D．
2．（4分）如图，该几何体的左视图是（　　）

【分析】根据左视图的意义，从左面看该几何体所得到的图形即可，注意能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示．
【解答】解：从左面看该几何体所得到的图形是一个长方形，被挡住的棱用虚线表示，图形如下：

故选：D．
3．（4分）据2021年11月9日新华社消息，天问一号环绕器开展火星全球遥感探测，截至11月8日，环绕器在轨运行473天，地球与火星的距离为384000000千米．数字384000000用科学记数法表示为（　　）
A．38.4×107 B．384×106 C．3.84×108 D．3.84×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：384000000＝3.84×108．
故选：C．
4．（4分）下列计算，正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．3a2﹣a2＝2 C．a8÷a2＝a6 D．（﹣2a）3＝﹣2a3
【分析】根据整式运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝a5，故A错误；
（B）原式＝2a2，故B错误；
（D）原式＝﹣8a3，故D错误；
故选：C．
5．（4分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式S2＝，由公式提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．样本容量是5 B．样本的中位数是4
C．样本的平均数是3.8 D．样本的众数是4
【分析】由方差的计算公式得出这组数据为5、4、4、3、3，再根据中位数、众数和平均数的定义求解即可．
【解答】解：由方差的计算公式知，这组数据为5、4、4、3、3，
所以这组数据的样本容量为5，中位数为4，众数为3和4，平均数为＝3.8，
故选：D．
6.（4分）一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程为（　　）．
A．12x+ 24x=1 B．＝1 C．＝1 D．(12+24)x= 1
【分析】利用甲、乙两工程队每天完成的工作量乘以总天数＝1，进而得出答案．
【解答】解：设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程：
（+）x＝1．
故选：B．．
7．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（a是常数）的图象上，且y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为（　　）
A．x2＞x1＞x3 B．x1＞x2＞x3 C．x3＞x2＞x1 D．x3＞x1＞x2
【分析】先判断k＝a2+1＞0，可知反比例函数的图象在一、三象限，再利用图象法可得答案．
【解答】解：∵a2+1＞0，
∴反比例函数y＝（a是常数）的图象在一、三象限，
如图所示，当y1＜y2＜0＜y3时，x3＞0＞x1＞x2，
故选：D．

8．（4分）如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND，
∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
∵M是△ABC的边BC的中点，
∴DC＝2MN＝6，
∴AC＝AD+CD＝14，
故选：B．

9．（4分）如图，平面直角坐标系中，已知A（3，3），B（0，﹣1），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，点B'恰好在反比例函数y＝的图象上，则k等于（　　）

A．3 B．4 C．﹣6 D．8
【分析】根据题意可以求得点B'的横坐标，然后根据点B'恰好在反比例函数y＝的图象上，从而可以求得k的值．
【解答】解：作AC⊥y轴于点C，B′D⊥AC于D，如图所示，
∵∠BAB′＝90°，∠ACB＝90°，AB＝AB′，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，∠BAC+∠B′AD＝90°，
∴∠ABC＝∠B′AD，
∴△ABC≌△B′AD，
∴AC＝B′D，BC＝AD，
∵A（3，3），B（0，﹣1），
∴BC＝AD＝4，AC＝B′D＝3，
∴CD＝4﹣3＝1，
∴B′（﹣1，6），
∵点B'恰好在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣1×6＝﹣6，
故选：C．

10．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+5上的点，且y1＞y2．下列命题正确的是（　　）
A．若|x1+2|＜|x2+2|，则a＜0 B．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则a＞0
C．若|x1+2|＞|x2+2|，则a＜0 D．若|x1﹣2|＜|x2﹣2|，则a＞0
【分析】先找出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质判断各个选项即可．
【解答】解：由y＝ax2+4ax+5＝a（x+2）2﹣4a+5知，该抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
A、若|x1+2|＜|x2+2|，则a＜0，此选项正确，符合题意；
B、若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则a的符号不能判断，此选项错误，不符合题意；
C、若|x1+2|＞|x2+2|，则a＞0，此选项错误，不符合题意；
D、若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则a的符号不能判断，此选项错误，不符合题意．
故选：A．
二．填空题（每小题5分，共20分，）
11．（5分）已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中项，则c＝　2　cm．
【分析】由c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以c2＝4×1，
解得：c＝±2（线段是正数，负值舍去）．
则c＝2cm．
故答案为：2．
12．（5分）如图（1），点P从点A出发，匀速沿等腰三角形ABC的边运动，设点P的运动时间为t（s），AP的长为y（cm），点P回到A点时停止运动．y于t的函数关系式如图（2）所示，点Q为曲线部分的最低点，则m的值为 　6+2　．

【分析】从图象2可得出AB＝AC＝6，点P的运动速度为每秒2个单位，AP的最小值为4，再利用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：由题图2，可知：AB＝AC＝6，D为BC的中点，AD＝4，点P的运动速度为每秒2个单位，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD＝＝2，
∴BC＝4，
∴2t＝6+6+4，
解得：t＝6+2，
∴m＝6+2，
故答案为：6+2．

13．（5分）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 　　．

【分析】由∠AFC＝90°，得点F在以AC为直径的圆上运动，当点E与B重合时，此时点F与G重合，当点E与D重合时，此时点F与A重合，则点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长，然后根据条件求出所在圆的半径和圆心角，从而解决问题．
【解答】解：∵CF⊥AE，
∴∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的圆上运动，
以AC为直径画半圆AC，连接OA，

当点E与B重合时，此时点F与G重合，
当点E与D重合时，此时点F与A重合，
∴点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长，
∵点G为OD的中点，
∴OG＝OD＝OA＝2，
∵OG⊥AB，
∴∠AOG＝60°，AG＝2，
∵OA＝OC，
∴∠ACG＝30°，
∴AC＝2AG＝4，
∴所在圆的半径为2，圆心角为60°，
∴的长为，
故答案为：．
14．（5分）平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点．
（1）请判断并写出该抛物线经过A，B，C中的 　A，C　两点；
（2）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m．则平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 　　．
【分析】（1）利用待定系数法确定a，b的值；
（2）根据平移规律写出平移后抛物线的函数关系式；根据抛物线解析式与一元二次方程的关系求得答案．
【解答】解：（1）∵B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线y＝ax2+bx+1只能经过A，C两点或A、B两点，
把A（1，2），C（2，1），代入y＝ax2+bx+1得．
解得；
把A（1，2），B（2，3），代入y＝ax2+bx+1得．
解得（不合题意，舍去）；
∴该抛物线经过A，B，C中的A，C两点；
故答案为：A，C；
（3）由（1）知，a＝﹣1，b＝2；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），
∵顶点在直线y＝x+1上，
∴+q＝+1，
∴q＝﹣++1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）先化简，再求值：÷（1+x+），其中x＝tan60°﹣tan45°．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝，
当x＝tan60°﹣tan45°＝﹣1时，
原式＝＝＝．
16．（8分）如图，根据要求画图
（1）把△ABC向右平移5个方格，画出平移的△A1B1C1；
（2）以点B为旋转中心，把△ABC顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2BC2．

【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2BC2为所作．

17．（8分）如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等．

（1）求x+y的值．
（2）若n＝22，则这些小桶内所放置的小球数之和是多少？
（3）用含k（k为正整数）的代数式表示装有“4个球”的小桶序号．
【分析】（1）根据任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等列方程为：5+2+3+4＝3+4+x+y，即可得到结论；
（2）根据每4个数为一组，从第五个开始循环，当n＝22时，为5组余2桶，由此计算这些小桶内所放置的小球数之和；
（3）先找出装有“4个球”的小桶序号，再找其中的规律，然后，依据规律表示装有“4个球”的小桶序号．
【解答】解：（1）∵任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等，
∴5+2+3+4＝3+4+x+y，
∴x+y＝7；
（2）∵5+2+3+4＝14，
每4个数一组和为14，
当n＝22时，22÷4＝5…2，
∴当n＝22时，这些小桶内所放置的小球数之和是14×5+5+2＝77；
（3）由图可知：装有“4个球”的小桶序号分别是：4，8，12，…，
∴装有“4个球”的小桶序号n＝4k（k为正整数）．
18．（8分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PO的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

【分析】（1）先过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出，设AH＝5k，则PH＝12k，AP＝13k，求出k的值即可．
（2）先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD＝45°，得出PD＝BD，然后设BC＝x，得出AC＝DH＝x﹣14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°＝，列出方程，求出x的值即可．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴，
设AH＝5k，则PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k，
∴13k＝26，
解得k＝2，
∴AH＝10，
答：坡顶A到地面PO的距离为10米．
（2）延长BC交PO于点D，
∵BC⊥AC，AC∥PO，
∴BD⊥PO，
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH，
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD，
设BC＝x，则x+10＝24+DH，
∴AC＝DH＝x﹣14，
在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.01．
解得x≈19．
答：古塔BC的高度约为19米．

19．（10分）2021年，“碳中和，碳达峰”成为高频热词，为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题：

（1）参加这次调查的学生总人数为 　40　人；
（2）扇形统计图中，B，C部分扇形所对应的圆心角分别是 　108°　，　162°　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）根据A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）用360°分别乘以B，C部分人数所占比例即可；
（3）由（2）的结果即可补全图形；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果为8种，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）参加这次调查的学生总人数为6÷15%＝40（人），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是360°×＝108°，
C部分人数为40﹣（6+12+4）＝18（人），
∴C部分扇形所对应的圆心角为360°×＝162°，
故答案为：108°，162°；
（3）补全条形统计图如下：

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果为8种，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．
20．（10分）如图，在菱形ABCD中，AD∥x轴，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0）．CD边所在直线y1＝mx+n与x轴交于点C，与双曲线y2＝（x＜0）交于点D．
（1）求直线CD对应的函数解析式及k的值．
（2）当x＜0时，使y1﹣y2≤0的自变量x的取值范围为 　﹣5≤x＜0　．

【分析】（1）根据勾股定理求得AB的长，进而求得D、C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线CD的函数表达式及k的值；
（2）根据函数的图象即可求得使y1≤y2的自变量x的取值范围，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A（0，3），点B（4，0），
∴AO＝3，BO＝4．
在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝＝5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝BC＝AB＝5，
∴OC＝5﹣4＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（﹣5，3）．
∴对于直线y1＝mx+n，有，
解得，
∴y＝﹣x﹣
∵双曲线y2＝（x＜0）交于点D，
∴k＝﹣5×3＝﹣15；
（2）由图象可知，当﹣5≤x＜0时，y1≤y2，
所以，当x＜0时，使y1﹣y2≤0的自变量x的取值范围为﹣5≤x＜0，
故答案为﹣5≤x＜0．
21．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是AB边上的中线，点E为线段CD上一点（不与点C、D重合），连接BE，作EF⊥BE与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连接BF．
（1）求证：△CFG∽△EBG；
（2）求∠EFB的度数；
（3）求的值．

【分析】（1）得出∠FCG＝∠BEG＝90°，∠CGF＝∠EGB，则结论得证；
（2）证明△CGE∽△FGB，得出∠EFB＝∠ECG＝∠ACB＝45°．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，EF⊥BE，
∴∠FCG＝∠BEG＝90°，
又∵∠CGF＝∠EGB，
∴△CFG∽△EBG；
（2）解：由（1）得△CFG∽△EBG，
∴，
∴，
又∵∠CGE＝∠FGB，
∴△CGE∽△FGB，
∴∠EFB＝∠ECG＝∠ACB＝45°；
22．（12分）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤5），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
【分析】（1）设每顶头盔应降价x元，则每顶头盔的销售利润为（68﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（100+20x）顶，根据每周销售头盔获得的利润＝每顶头盔的销售利润×平均每周的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合每顶售价不高于58元，即可确定x的值；
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价为a元，利用每周销售头盔获得的利润＝每顶头盔的销售利润×平均每周的销售量，即可得出w关于a的函数关系式，利用二次函数的性质可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合1≤m＜5且m为整数，即可得出m的值．
【解答】解：（1）设每顶头盔应降价x元，则每顶头盔的销售利润为（68﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（100+20x）顶，
依题意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，
整理得：x2﹣23x+60＝0，
解得：x1＝3，x2＝20，
∵68﹣x≤58，
∴x≥10，
∴x＝20．
答：每顶头盔应降价20元；
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价为a元，
依题意得：w＝[100+20（68﹣a）]（a﹣40﹣m）＝﹣20a2+（20m+2260）a﹣1460（40+m）．
∵抛物线的对称轴为a＝，开口向下，当a≤58时，利润仍随售价的增大而增大，
∴≥58，
解得：m≥3，
又∵1≤m≤5，且m为整数，
∴m＝3或m＝4或m＝5．
23．（14分）（1）[阅读与证明]
如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．
①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝　60　°．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝　30　°．
②求证：BF＝AF+2FG．
（2）[类比与探究]
把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①∠FEG＝　45　°；
②线段BF、AF、FG之间存在数量关系 　BF＝AF+FG　．

【分析】（1）①由对称性可求∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2，由等腰三角形的性质可求解；
②由“AAS”可证△ABF≌△AEQ，可得BF＝EQ，可得结论；
（2）①作出△ECB的外接圆⊙A，利用圆周角定理解决问题即可；
②猜想：BF＝AF+FG．连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．证明△BCT∽△ACF，推出＝，可得BT＝AF，可得结论．
【解答】（1）①解：如图1，∵点E是点C关于AM的对称点，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，
∴∠1+∠3＝60°．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，
∴∠FEG＝30°，
故答案为：60；30；
②证明：如图1，在BF上截取FQ＝AF，连接AQ，

∵∠FEG＝30°，FG⊥CE，
∴FE＝2FG，
∵∠BFA＝60°，AF＝FQ，
∴△AFQ是等边三角形，
∴FQ＝AF＝AQ，∠AFQ＝∠AQF＝60°，
又∵∠3＝∠4，
∴△ABF≌△AEQ（AAS），
∴BF＝EQ，
∴BF＝QF+EF＝AF+2FG；
（2）①如图2中，

∵AB＝AC＝AE，
∴点A是△ECB的外接圆的圆心，
∴∠BEC＝∠BAC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FEG＝45°．
故答案为45．
②猜想：BF＝AF+FG．
理由：如图2中，连接CF，BC，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．
∵AM⊥EC，CG＝GE，
∴FC＝EF，
∴∠FEC＝∠FCE＝45°，EF＝FG，
∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝90°，
∵CF＝FT，
∴△CFT是等腰直角三角形，
∴CT＝CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AC，
∴，
∵∠BCA＝∠TCF＝45°，
∴∠BCT＝∠ACF，
∴△BCT∽△ACF，
∴＝，
∴BT＝AF，
∴BF＝BT+TF＝AF+FG．