安徽省六安市金寨县2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案）

2020-2021学年安徽省六安市金寨县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠BAP＝116°，则∠P的度数为（　　）

A．64° B．26° C．52° D．38°

3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y与x的函数关系是（　　）

A．y＝a（1+x）（1+2x） B．y＝a（1+x）2 

C．y＝2a（1+x）2 D．y＝2x2+a

4．已知点A（x，y）在反比例函数y＝的图象上，若x＞2，则y的取值范围是（　　）

A．3＜y＜6 B．y＜3 C．0＜y＜3 D．y＞3

5．如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F，则图中与△ABD相似的是（　　）

A．△ABC B．△ABF C．△BFD D．△AEF

6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是上的三等分点，且sin∠ABC＝，则∠A+∠D等于（　　）

A．120° B．95° C．105° D．150°

7．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，四边形OBCD是菱形，AC与OD相交于点P，则下列结论错误的是（　　）

A．OD⊥AC B．AC平分OD C．CB＝2DP D．AP＝2OP

8．如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，若将正方形AEFG绕点A旋转，则在旋转过程中，点C，E之间的最小距离为（　　）

A．3 B． C． D．

9．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则扇形AEF的面积为（　　）

A． B． C． D．

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE，DE，P，Q分别是AE，DE上的点，且PE＝DQ．设△EPQ的面积为y，PE的长为x，则y关于x的函数关系式的图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

11．（5分）在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在　   　．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．

12．（5分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标为　       　．

13．（5分）圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知扇形的半径为9，圆心角为120°，则圆锥的底面圆的半径为　 　．

14．（5分）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）．

（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则AD的长为　            　．

（2）该圆弧的长为　            　．

三、本大题共2小题，每小题8分，满分16分．

15．（8分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D，E重合），求∠CPD的余角的度数．

16．（8分）如图，在等边△ABC中，D是边AC上的一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC＝7，BD＝6，求△AED的周长．

四、本大题共2小题，每小题8分，满分16分．

17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC，且∠B＝90°．

（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△EFG（其中A，B，C三点旋转后的对应点分别是E，F，G），画出△EFG．

（2）设△EFG的内切圆的半径为r，△EFG的外接圆的半径为R，则＝　              　．

18．（8分）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB上方150米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为65°和45°，求桥AB的长度．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14；结果精确到0.1米）

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）定义：若一次函数y＝ax+b（a≠0）和反比例函数y＝﹣（c≠0）满足a﹣b＝b﹣c，则称y＝ax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“等差”函数．

（1）y＝x+b和y＝﹣是否存在“等差”函数？若存在，请写出它们的“等差”函数．

（2）若y＝5x+b和y＝﹣存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与y＝﹣的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式．

20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝120°，将平行四边形绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到平行四边形BEFG．

（1）求点B到AD的距离；

（2）当点E落在AD边上时，求点D经过的路径长．

六、（本题满分12分）

21．（12分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O分别交BC、AC于点D、F两点，连接AD，点E为AC延长线上一点，连接BE，若∠E＝∠DAC．

（1）求证：BE为⊙O的切线；

（2）若CE＝CF，BD＝1，求⊙O半径．

七、（本题满分12分）

22．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为6．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过D（﹣2，0）的直线l交线段BC于点M，l与抛物线右侧的交点为N，求的最大值．

八、（本题满分14分）

23．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12．点O在边BC上，OB＝9，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A．P是弧AB上的一个动点．

（1）求线段AC的长；

（2）若P是弧AB的中点，连接PC，PB，求∠PBC的正切值；

（3）若BA平分∠PBC，延长BP交CA的延长线于点D，求线段DP的长．

2020-2021学年安徽省六安市金寨县九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意．

故选：C．

2．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠BAP＝116°，则∠P的度数为（　　）

A．64° B．26° C．52° D．38°

【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO＝90°，根据等腰三角形的性质求出∠B＝26°，由圆周角定理求出∠AOP的度数，则可求出∠P的度数．

【解答】解：连接OA，如图，

∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，

∴∠PAO＝90°，

∵∠BAP＝116°，

∴∠BAO＝∠BAP﹣∠OAP＝116°﹣90°＝26°，

∵OA＝OB，

∴∠B＝∠OAB＝26°，

∴∠AOP＝2∠B＝52°，

∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣52°＝38°．

故选：D．

3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y与x的函数关系是（　　）

A．y＝a（1+x）（1+2x） B．y＝a（1+x）2 

C．y＝2a（1+x）2 D．y＝2x2+a

【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），然后根据已知条件可得出函数关系式．

【解答】解：设第二个月的增长率是x，则第三个月的增长率是2x，

依题意得：第三个月投放单车a（1+x）（1+2x）辆，

则y＝a（1+x）（1+2x）．

故选：A．

4．已知点A（x，y）在反比例函数y＝的图象上，若x＞2，则y的取值范围是（　　）

A．3＜y＜6 B．y＜3 C．0＜y＜3 D．y＞3

【分析】比例系数k＞0时，函数在每个象限内，y随x的增大而减小，根据性质即可求解．

【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝6＞0，

∴在第一象限内，y随x的增大而减小，

∴当x＞2时，0＜y＜3，

故选：C．

5．如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F，则图中与△ABD相似的是（　　）

A．△ABC B．△ABF C．△BFD D．△AEF

【分析】根据相似三角形的判定与性质可得出答案．

【解答】解：在△ABE与△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，

∴△ABE∽△ACB，

∴∠AEB＝∠ABC，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠EAF，

∴△ABD∽△AEF．

故选：D．

6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是上的三等分点，且sin∠ABC＝，则∠A+∠D等于（　　）

A．120° B．95° C．105° D．150°

【分析】由圆心角，弦，弧的关系及圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠BOD＝60°，∠A＝60°，通过证明△OBD为等边三角形，即可求∠D＝60°，进而可求解．

【解答】解：∵C、D是上的三等分点，

∴，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，∠BOD＝60°，∠A＝60°，

∵OB＝OD，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠D＝60°，

∴∠A+∠D＝120°，

故选：A．

7．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，四边形OBCD是菱形，AC与OD相交于点P，则下列结论错误的是（　　）

A．OD⊥AC B．AC平分OD C．CB＝2DP D．AP＝2OP

【分析】利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据菱形的性质得到CB∥OD，CB＝OD，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系可对D选项进行判断；利用OP∥CB，CB⊥AC可对A选项进行判断；利用垂径可判断OP为△ACB的中位线，则CB＝2OP，原式可对C选项进行判断；同时得到OD＝2OP，则可对B选项进行判断．

【解答】解：∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∵四边形ODCB为菱形，

∴CB∥OD，CB＝OD，

在Rt△ACB中，sinA＝，

∴∠A＝30°，

在Rt△AOP中，AP＝OP，所以D选项的结论错误；

∵OP∥CB，CB⊥AC，

∴OP⊥AC，所以A选项的结论正确；

∴AP＝CP，

∴OP为△ACB的中位线，

∴CB＝2OP，

∵OD＝2OP，

∴DP＝OP，

∴CB＝2DP，所以C选项的结论正确；

∴OD＝2OP，

∴AC平分OD，所以B选项的结论正确．

故选：D．

8．如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，若将正方形AEFG绕点A旋转，则在旋转过程中，点C，E之间的最小距离为（　　）

A．3 B． C． D．

【分析】如图，连接CE，AC．利用勾股定理求出AC即可解决问题．

【解答】解：如图，连接CE，AC．

∵正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4、1，

∴∠B＝90°，AB＝BC＝4，AE＝1，

∴AC＝＝＝4，

∵CE≥AC﹣AE，

∴CE≥4﹣1，

∴CE的最小值为4﹣1，

故选：B．

9．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则扇形AEF的面积为（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用扇形的面积公式计算即可．

【解答】解：连接AC．

由题意AC＝＝，

∵∠EAF＝45°，AE＝AF＝AC＝，

∴S扇形AEF＝＝π，

故选：B．

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE，DE，P，Q分别是AE，DE上的点，且PE＝DQ．设△EPQ的面积为y，PE的长为x，则y关于x的函数关系式的图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】证明△ADE为等边三角形，利用y＝×PH×EQ＝××（4﹣x）＝﹣，即可求解．

【解答】解：∵BC＝4，E为BC的中点，则BE＝2，

在Rt△ABE中，AE＝，BE＝2，则AE＝4，

同理可得ED＝4＝AE＝AD，

故△ADE为等边三角形，则∠AED＝60°，

∵PE＝QD＝x，则QE＝4﹣x，

在△PQE中，过点P作PH⊥ED于点H，

则PH＝PEsin∠AED＝x•sin60°＝，

则y＝×PH×EQ＝××（4﹣x）＝﹣，

该函数为开口向下的抛物线，x＝2时，y的最大值为，

故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

11．（5分）在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在　圆外　．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．

【分析】根据点的圆的位置关系的判定方法进行判断．

【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为6cm，

∴OP＞⊙O的半径，

∴点P在⊙O外．

故答案为圆外．

12．（5分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标为　（2，﹣4）　．

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．

【解答】解：点（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣4）．

故答案为：（2，﹣4）．

13．（5分）圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知扇形的半径为9，圆心角为120°，则圆锥的底面圆的半径为　3　．

【分析】易得扇形的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径．

【解答】解：扇形的弧长为：＝6π，

∴圆锥的底面半径为6π÷2π＝3，

故答案为：3．

14．（5分）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）．

（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则AD的长为　2　．

（2）该圆弧的长为　π　．

【分析】（1）先找出圆弧的圆心，再根据点的坐标和勾股定理求出AD即可；

（2）连接AC和CD，根据勾股定理分别求出AC、CD长度，根据勾股定理的逆定理求出∠CDA＝90°，再根据弧长公式求出答案即可．

【解答】解：（1）分别作线段BA和BC的垂直平分线EF、MN，则直线EF和直线MN的交点为D，则D为已知弧的圆心，如图，

∵A（0，4），B（﹣4，4），

∴OA＝4，AB＝4，

∴OD＝2，

在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝＝2，

故答案为：2；

（2）连接AC、CD，

∵A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），OD＝2，

∴由勾股定理得：CD＝＝，AD＝＝，AC＝＝，

∴CD2+AD2＝AC2，

∴∠ADC＝90°，

∴圆弧的长度是＝π．

三、本大题共2小题，每小题8分，满分16分．

15．（8分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D，E重合），求∠CPD的余角的度数．

【分析】连接OC，OD，先由正五边形的性质求出∠COD的度数，再根据圆周角定理求出∠CPD的度数，即可解决问题．

【解答】解：如图，连接OC，OD．

∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠COD＝＝72°，

∴∠CPD＝∠COD＝36°，

∴∠CPD的余角的度数为90°﹣36°＝54°．

16．（8分）如图，在等边△ABC中，D是边AC上的一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC＝7，BD＝6，求△AED的周长．

【分析】先根据旋转的性质得BE＝BD，AE＝CD，∠DBE＝60°，于是可判断△BDE为等边三角形，则有DE＝BD＝6，所以△AED的周长＝DE+AC，再利用等边三角形的性质得AC＝BC＝7，则易得△AED的周长为13．

【解答】解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，

∴BE＝BD，AE＝CD，∠DBE＝60°，

∴△BDE为等边三角形，

∴DE＝BD＝6，

∴△AED的周长＝DE+AE+AD＝DE+CD+AD＝DE+AC，

∵△ABC为等边三角形，

∴AC＝BC＝7，

∴△AED的周长＝DE+AC＝6+7＝13．

四、本大题共2小题，每小题8分，满分16分．

17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC，且∠B＝90°．

（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△EFG（其中A，B，C三点旋转后的对应点分别是E，F，G），画出△EFG．

（2）设△EFG的内切圆的半径为r，△EFG的外接圆的半径为R，则＝　　．

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点E，F，G即可．

（2）分别求出三角形的外接圆半径，内切圆半径即可．

【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求作．

（2）∵FG＝3，EF＝4，EG＝5，

∴△EFG是直角三角形，

∴△EFG的外接圆的半径R＝，内切圆的半径为r＝＝1，

∴＝，

故答案为：．

18．（8分）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB上方150米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为65°和45°，求桥AB的长度．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14；结果精确到0.1米）

【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据锐角三角函数即可求出结果．

【解答】解：如图示：过点C作CD⊥AB，垂足为D，

由题意得，∠MCA＝∠A＝65°，∠NCB＝∠B＝45°，CD＝150（米），

在Rt△ACD中，AD＝≈≈70.09（米），

在Rt△BCD中，

∵∠CBD＝45°，

∴BD＝CD＝150（米），

∴AB＝AD+BD＝70.09+150≈220.1（米）．

答：桥AB的长度为220.1米．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）定义：若一次函数y＝ax+b（a≠0）和反比例函数y＝﹣（c≠0）满足a﹣b＝b﹣c，则称y＝ax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“等差”函数．

（1）y＝x+b和y＝﹣是否存在“等差”函数？若存在，请写出它们的“等差”函数．

（2）若y＝5x+b和y＝﹣存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与y＝﹣的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式．

【分析】（1）假设存在，根据等差函数定义得出b＝4，从而得出解析式；

（2）根据等差函数定义得出5+c＝2b，即c＝2b﹣5，根据“等差”函数的图象与y＝﹣的图象的一个交点的横坐标为1，列出方程即可求得b，进而求得c，即可解决问题．

【解答】解：（1）存在，

假设y＝x+b和y＝﹣存在“等差”函数，

则a＝1，c＝3，a+c＝2b，

解得：b＝2，

∴存在“等差”函数，其解析式为y＝x2+2x+3；

（2）根据题意知：a＝5，5+c＝2b，

∴c＝2b﹣5，

则“等差”函数的解析式为y＝5x2+bx+2b﹣5，反比例函数的解析式为y＝﹣，

根据题意，将x＝1代入，

得：5+b+2b﹣5＝﹣2b+5，解得b＝1，c＝﹣3，

故一次函数的解析式为y＝5x+1，反比例函数的解析式为y＝．

20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝120°，将平行四边形绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到平行四边形BEFG．

（1）求点B到AD的距离；

（2）当点E落在AD边上时，求点D经过的路径长．

【分析】（1）过点B作BH⊥AD于H，在Rt△ABH中，BH＝sin60°×AB代入计算即可；

（2）连接BD，BF，点E落在AD边上，可证△ABE是等边三角形，则α＝60°，在Rt△BDH中，利用勾股定理求出BD的长，代入弧长公式计算即可．

【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥AD于H，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠ABC＝180°，

∵∠ABC＝120°，

∴∠A＝60°，

∵∠AHB＝90°，

∴BH＝sin60°×AB＝；

（2）连接BD，BF，

∵点E落在AD边上，

∴AB＝BE，

∵∠A＝60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠ABE＝60°，

∵将平行四边形绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到平行四边形BEFG，

∴∠DBF＝∠ABE＝60°，

在Rt△BDH中，∵BH＝，DH＝AD﹣AH＝4﹣1＝3，

∴BD＝，

∴点D经过的路径长为．

六、（本题满分12分）

21．（12分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O分别交BC、AC于点D、F两点，连接AD，点E为AC延长线上一点，连接BE，若∠E＝∠DAC．

（1）求证：BE为⊙O的切线；

（2）若CE＝CF，BD＝1，求⊙O半径．

【分析】（1）证得∠CBE＝∠BAD，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，证得AB⊥BE，则可得出答案；

（2）连接BF，证明△ADC∽△EBA，得出，求出AB＝3，则可得出答案．

【解答】证明：（1）∵AB＝BC，

∴∠BAC＝∠ACB，

∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∠ACB＝∠CBE+∠E，∠E＝∠DAC，

∴∠CBE＝∠BAD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ABE＝∠ABD+∠CBE＝∠ABD+∠DAB＝90°，

∴AB⊥BE，

∴BE为⊙O的切线；

（2）连接BF，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB＝90°，

又∵AB＝BC，

∴AF＝CF，

∵CE＝CF，

∴，

∵∠E＝∠CAD，∠ABE＝∠ADC＝90°，

∴△ADC∽△EBA，

∴，

∵BD＝1，AB＝BC，

∴，

∴AB＝3，

∴⊙O的半径为．

七、（本题满分12分）

22．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为6．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过D（﹣2，0）的直线l交线段BC于点M，l与抛物线右侧的交点为N，求的最大值．

【分析】（1）由△ABC的面积＝AB×OC，求出AB＝4；由函数的对称轴为x＝﹣＝1，求出点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），进而求解；

（2）证明△DHM∽△NKM，则MN：DM＝KN：HD，则MN：DM＝KN＝（m﹣3﹣m2+2m+3），即可求解．

【解答】解：（1）∵△ABC的面积＝AB×OC＝×AB×3＝6，解得AB＝4，

由抛物线的表达式知，函数的对称轴为x＝﹣＝1，

则点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），

设抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

则﹣3a＝﹣3，解得a＝1，

故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）过点D作y轴的平行线交BC的延长线于点H，过点N作y轴的平行线交BC于点K，

则KN∥HD，

∴△DHM∽△NKM，则MN：DM＝KN：HD，

设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，

故直线BC的表达式为y＝x﹣3，

当x＝﹣2时，y＝x﹣3＝﹣5，故点H的坐标为（﹣2，﹣5），则DH＝5，

设点K的坐标为（m，m﹣3），则点N的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），

则MN：DM＝KN＝（m﹣3﹣m2+2m+3）＝（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，

∵＜0，故MN：DM有最大值，

当m＝时，的最大值为．

八、（本题满分14分）

23．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12．点O在边BC上，OB＝9，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A．P是弧AB上的一个动点．

（1）求线段AC的长；

（2）若P是弧AB的中点，连接PC，PB，求∠PBC的正切值；

（3）若BA平分∠PBC，延长BP交CA的延长线于点D，求线段DP的长．

【分析】（1）过点O作OH⊥AB于点H，易证△BHO∽△BCA，得BC＝16，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC＝4；

（2）连接OP交AB于点H，过点P作PE⊥BC于点E，在Rt△BHO中，勾股定理求得OH＝3，可证△POE≌△BOH，得PE＝HB＝6，OE＝OH＝3，则BE＝OB﹣OE＝6，即可求出答案；

（3）过点A作AE⊥BD于点E，可证出△ADE∽△BDC，设DE＝x，可表示出AD的长，根据CD2+BC2＝BD2，代入（4+）2+162＝（16+x）2，解得AD＝，BD＝，过点O作OF⊥PB于F，则△OBF∽△DBC，有，则BF＝7即可解决问题．

【解答】解：（1）如图1，过点O作OH⊥AB于点H，

则BH＝，

∵∠BHO＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，

∴△BHO∽△BCA，

∴，

∴＝，

∴BC＝16，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16，AB＝12，

∴AC＝＝4．

（2）如图，连接OP交AB于点H，过点P作PE⊥BC于点E，

∵P是弧AB的中点，

∴OP⊥AB，AH＝BH＝＝6，

在Rt△BHO中，OH＝，

在△POE与△BOH中，

，

∴△POE≌△BOH（AAS）

∴PE＝HB＝6，OE＝OH＝3，

∴BE＝OB﹣OE＝6，

∴∠PBC的正切值为＝＝；

（3）如图，过点A作AE⊥BD于点E，

∵BA平分∠PBC，AC⊥BC，

∴AE＝AC＝4，

∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠D＝∠D，

∴△ADE∽△BDC，

∴＝，

设DE＝x，

∴，

∴AD＝，

在Rt△ACB与Rt△AEB中，

∴，

∴Rt△ACB≌Rt△AEB（HL），

∴BE＝BC＝16，

∵CD2+BC2＝BD2，

∴（4+）2+162＝（16+x）2，

解得x＝0（舍）或x＝，

∴AD＝，BD＝，

过点O作OF⊥PB于F，

则△OBF∽△DBC，

∴，

∴，

∴BF＝7，

∴PB＝2BF＝14，

∴PD＝BD﹣BP＝．