湘教版（2019）必修 第二册4.1 空间的几何体教学设计

几类简单几何体

【教学目标】

1．通过观察实例，了解柱、锥、台、球的定义，掌握柱、锥、台、球的结构特征及其关系．

2．在描述和抽象概括简单几何体结构特征的过程中，培养学生的观察能力和空间想象能力．

3．通过对简单几何体结构特征的抽象概括过程培养学生细心观察、认真分析、严谨推理的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性认知的过程．

【教学重点】  抽象概括柱、锥、台、球的结构特征．

【教学难点】  抽象概括柱、锥、台、球的结构特征及其关系．

【教学方法】  教师启发讲授，学生探究学习．

【教学手段】  计算机、投影仪．

【核心素养】  数学抽象，直观想象，逻辑推理．

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

问题1：如图，在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你还能举出一些例子吗？如何从数学的角度来描述它们的形状呢？

引导学生回忆，举例，相互交流，启发学生思考．

教师对学生的活动及时给予评价．

所举的建筑物基本上都是由下图这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间几何体）．

问题2：你能通过观察，根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？

引导学生观察、思考、交流、讨论，对几何体进行分类.

归纳：根据围成几何体的面是否是平面来分类．

〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于空间几何体的分类，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立柱、锥、台、球的严格定义.

1．借助几何体，直观感知，生成概念

问题1：你能根据几何体的分类标准，给出具体定义吗？

预案：根据围成几何体的面的特点来定义多面体，利用动态的观点来定义旋转体．

引导学生进行观察、分类描述．可以发现（1）、（2）、（3）、（4）具有同样的特点：组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形，像这样的几何体称为多面体；（5）、（6）、（7）、（8）具有同样的特点：组成它们的面不全是平面图形，像这样的几何体称为旋转体.

多面体：我们把由若干个平面多边形（包括三角形）所围成的封闭体，叫作多面体.围成多面体的各个多边形叫作多面体的面；两个面的公共边叫作多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

旋转体：我们把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条定直线旋转而成的封闭几何体称为旋转体，这条定直线称为旋转轴.

〖设计意图〗通过对几何体进行分类，抽象概括多面体与旋转体的结构特征．

问题2：观察下面几个多面体，它们具有什么样的共同特征? 它们分别由什么样的多边形围成？各个面之间的位置关系有什么特点？各棱之间呢？

（1）               （2）          （3）

预案：学生通过直观观察，可以发现，图中每个多面体的上、下两面都是边数相同的全等多边形，且上、下两个面所在平面都不会相交，其余各面都是平行四边形.

棱柱定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫作棱柱.

两个互相平行的面，叫作棱柱的底面，其余各面（都是平行四边形）叫作棱柱的侧面．

相邻两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱．侧面与底面的公共顶点叫作棱柱的顶点.

棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如图（3）中的棱柱，可以表示为棱柱．

①              ②             ③          ④               ⑤         

棱柱中有些具有特殊性质的棱柱还有专门的名称，例如

侧面都是矩形的棱柱称为直棱柱，如图① ② ③ ④ ⑤  

底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱，如图③⑤

如果棱柱的底面和侧面都是矩形，这样的棱柱就是我们熟悉的长方体，如图②④⑤  

而所有棱长都相等的长方体就是正方体. 如图⑤

〖设计意图〗通过学生观察、思考、讨论、归纳、抽象概括棱柱的结构特征．

问题3：观察下面几个多面体，它们具有什么样的共同特征?

引导学生进行观察、思考、交流、归纳、抽象、概括．

直观上可以发现它们有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，像这样的几何体叫作棱锥．具有同一公共顶点的三角形面叫作棱锥的侧面，这个公共顶点称为棱锥的顶点．相邻两个侧面的公共边叫作棱锥的侧棱．除了侧面外，剩下的那一个多边形面叫作棱锥的底面．

棱锥可用表示它的顶点和底面各顶点的字母来表示，如图（2）中的棱锥可表示为棱锥S-ABCD．

棱锥的底面可能是三角形、四边形、五边形等，这样的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等．

如果棱锥的底面是正多边形，将底面水平放置后，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这样的棱锥称为正棱锥，如图，顶点S到底面中心O的距离SO叫作正棱锥的高．

〖设计意图〗通过学生观察、思考、讨论、归纳、抽象概括棱锥的结构特征．

问题4：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到怎样的两个几何体？

引导学生进行观察、思考、讨论、交流、抽象概括．

过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与底面平行的平面去截棱锥，棱锥被分为两部分，截面与原棱锥顶点之间的部分是棱锥，截面和原棱锥底面之间的这部分几何体叫作棱台.

截面和原棱锥底面分别叫作棱台的上底面和下底面，其余各面叫作棱台的侧面，棱台的侧面都是梯形．相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱．

棱台用上、下底面多边形各顶点的字母表示，如图中的棱台可表示为棱台．

由三棱锥、四棱锥、五棱锥等所截得的棱台，分别称为三棱台、四棱台、五棱台等．

由正棱锥截得的棱台称为正棱台．

〖设计意图〗通过学生观察、思考、讨论、归纳、抽象概括棱台的结构特征．

问题5：我们知道圆柱是旋转体，你知道圆柱是怎样旋转得到的吗？

预案：矩形绕一条边所在直线旋转而成．

引导学生进行思考、交流、抽象概括．

将矩形ABCD（及其内部）绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆柱，边AB所在直线叫作圆柱的轴，由边AD和BC绕轴旋转而成的圆面叫作圆柱的底面．由边CD绕轴旋转而成的曲面叫作圆柱的侧面，边CD叫作圆柱的一条母线.

〖设计意图〗通过学生观察、思考、讨论、归纳、抽象概括圆柱的结构特征．

问题6：我们知道圆锥也是旋转体，你知道圆锥是怎样旋转得来的吗？

如图，将直角三角形ABC(及其内部)绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体就是圆锥.

直角边AB所在直线叫作圆锥的轴，点A叫作圆锥的顶点，由直角边BC绕轴旋转而成的圆面叫作圆锥的底面，由斜边AC绕轴旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面，斜边AC叫作圆锥的一条母线.

 根据圆锥的形成过程可知，圆锥也有无数条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点.

圆锥也可用表示它的轴的字母来表示，如图中的圆锥记为圆锥AB．

〖设计意图〗通过学生观察、思考、讨论、归纳、抽象概括圆锥的结构特征．

问题7：你知道圆台是怎样旋转得来的吗？

将直角梯形ABCD（及其内部）绕其垂直于底边的腰BC所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆台．

腰BC所在直线叫作圆台的轴，由底边AB和CD绕轴旋转而成的圆面叫作圆台的底面，由腰AD绕轴旋转而成的曲面叫作圆台的侧面，腰AD叫作圆台的一条母线．

圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的几何体．

〖设计意图〗通过学生观察、思考、讨论、归纳、抽象概括圆台的结构特征．

问题8：大家知道球是旋转体，你知道球是如何旋转而成的吗？

预案：球可以由半圆（及其内部）绕其直径旋转而成.

我们将圆心为O的半圆（及其内部）绕其直径AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作球，记作球O.

半圆的圆弧所形成的曲面叫作球面（即球的表面），把点O称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径．

〖设计意图〗通过学生观察、思考、讨论、归纳、抽象概括球的结构特征．

完成对柱、锥、台、球结构特征的第一次认识．

2．探究规律，构建联系

问题1： 对棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较，它们有什么区别与联系？

问题2： 对圆柱、圆锥、圆台的结构特征比较，它们有什么区别与联系？

〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出柱、锥、台、球的定义，通过对几何体的辨析，加深学生对定义的理解，完成对几何体结构特征的第二次认识.

三、掌握特征，适当延展

例1  如右图，长方体中被截去一部分，其中.问剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？你能说出它们的名称吗？

引导学生观察分析，讨论，从棱柱的概念判断验证几何体的特征．

通过观察分析，引导学生发现剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱，它们分别是五棱柱和三棱柱．

例2 请结合棱台定义，判断下列几何体是不是棱台，为什么?

引导学生观察分析，讨论，从棱台的概念判断验证几何体的特征．

它们都不是棱台，第一个几何体不是由棱锥截得的几何体，第二个几何体中的截面与底面不平行．

练习1 如图，第一排中的图形绕虚线旋转一周，能形成第二排中的某个几何体，请把一、二排中相应的图形用线连起来．

引导学生观察分析，讨论，发现(1)—C　(2)—B　(3)—D　(4)—A．

练习2  如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．

解析 设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r，4r.

过轴SO作截面，如图所示．

则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.

∴＝.

∴＝＝.

解得l＝9(cm)，即圆台的母线长为9 cm.

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般．

(2) 分类标准及特征：

(3) 数学核心素养：数学抽象，几何直观等．

2．作业

探究1：圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们的底面发生变化时，它们能否相互转化？若能，如何转化？

   2：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们能否相互转化？若能，如何转化？