浙江省温州市2022年中考数学模拟试卷（四）（含解析）

2022年浙江省温州市中考数学模拟试卷（四）

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 分别写有数字，，，，的五张卡片，除数字外其他均相同，将它们背面朝上，从中任抽一张，抽到负数的概率是

A.  B.  C.  D.

4. 计算的结果

A.  B.  C.  D.

5. 现有一组数据：，，，，，，这组数据的中位数为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，四边形内接于，，连结，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，为了测量某一垂直于地面的树高，小明站在离树米的点处，用测倾仪测得树顶端的仰角为若测倾仪离地面高为米，则树高可表示为

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

 

8. 若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为

A.  B.  C.  D.

9. 已知二次函数，当时，有最小值，最大值，则的值为

A.  B.  C.  D.

10. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板如图中各版块的边长之间的关系拼成了“锄头”如图的封闭图形，则该“锄头”的周长是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11. 若分式的值为，则的值是______．
12. 一个不透明的箱子中装有个球，它们除颜色外其余都相同，从箱子中随机摸出一个球，记下颜色并放回．若摸到红球的概率是，则箱子中红球有______个．
13. 若扇形的面积为，半径为，则该扇形的弧长为______．
14. 如图，在中，圆心是边上的一点，经过点，且与切于点若，则等于______度．
    
    
     

15. 由四个图所示的四边形和四个图所示的菱形拼成一个正八边形如图，则图中阴影部分面积与空白部分面积之比为______．
    
     

16. 如图是一种简约隐形壁挂式折叠凳，图是其开启过程的侧面结构示意图，具体数据如图所示单位：，外框宽，闭合时，点与点重合，点与点重合，则外框宽为______；当折叠凳转为半开启状态所在的直线过中点时，折叠凳上升的高度为______．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）

17. 计算：
    化简：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在▱中，是边的中点，连结并延长交的延长线于点．
    求证：≌．
    当，，时，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
19. 要了解某班名同学，两门课程的学习情况，测试后对成绩进行整理如下表．
    名同学课程成靖统计表

名同学课程成绩的频数分布直方图每一组包含前一个边界值，不包含后一个边界值如图，根据以上信息，回答下列问题：

课程成绩的众数为______分，中位数为______分．
若小张同学课程成绩为分，课程成绩为分，他哪一门课程的成绩排名更靠前？请说明理由．






 

20. 在如图所示的方格纸中，是格点三角形，请按以下要求画格点三角形．
    在图中画一个，使得和全等，
    在图中画一个，使得和的面积相等，且的周长比的周长小．

21. 如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，交线段于点，连结已知点，的横坐标分别为，．
    求的值．
    当与的面积之差等于时，求的值．
     

22. 如图，内接于，直径交于点，延长与过点的切线交于点已知与互余．
    求证：．
    连结，当，，时，求的半径和的长．

23. 某工厂承接了件工艺品生产任务，计划安排甲、乙两个车间共人合作完成每个车间工人的生产效率相同，甲车间先开始，乙车间后加入．甲、乙车间每个工人的生产总量件与生产时间小时之间函数关系的图象如图所示，已知完成全部任务时，甲车间持续工作小时．
    求甲、乙两个车间各有多少人参与生产？
    工厂再次承接相同任务后，为提前完成，改进甲车间设备，每人效率提高的百分率为，同时增加乙车间人，若甲、乙先后开始生产的时间与上次相同，则预计比上次提早小时完成，求的值．

24. 如图，在矩形中，，，是的中点，是边上一点，作的外接圆交直线于点．
    
    求的值．
    当是等腰三角形时，求的长．
    连结，当点在上时如图．
    求证：．
    求的面积．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
此题主要考查了倒数的定义，需要掌握并熟练运用．
 

2.【答案】
 

【解析】解：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】
 

【解析】解：五张卡片分别写有数字，，，，，数字为负数的卡片有张，
从中随机抽取一张卡片数字为负数的概率为．
故选：．
让是负数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率，即可选出．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

4.【答案】
 

【解析】解：原式，
故选：．
直接根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．
此题考查的是单项式乘多项式，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
 

5.【答案】
 

【解析】解：这组数据从小到大排列为：、、、、、，
所以这组数据的中位数是，
故选：．
根据中位数的定义求解即可．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．
 

6.【答案】
 

【解析】解：四边形内接于，
，
，
，，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得出，根据求出，，根据圆周角定理得出，再代入求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：由题意可知，四边形是矩形，
米，米．
在中，
，
米．

米．
故选：．
在中，先用的正切和表示出，根据线段的和差关系可得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：方程组的解为，
方程组中，
，
解得：，
故选：．
根据方程组的解，可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：二次函数，
该二次函数的图象的对称轴为直线，
当时，；当时，；
当时，函数的最值为和，
当时，有最小值，最大值，
，即，
，
故选：．
先求得抛物线的对称轴，根据二次函数图象上点的坐标特征，当时，函数的最值为和，即可得出，即，从而求得．
本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，表示出函数的最值，进而得到关于、的等式是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，

图形：边长分别为：，，，
图形：边长为：，
图形：边长分别为：，，，
图形：边长分别为：，，，
图形：边长分别为：，，，
图形：边长分别为：，，
图形：边长分别为：，，，
“锄头”的周长，
故选：．
由正方形的性质和勾股定理求出各板块的边长，即可求出周长．
本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，求出各板块的边长是解决问题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：分式的值为，
，且，
．
故答案为：．
根据分式的值为，即分母不为，分子为得到，且，求出即可．
本题考查了分式的值为的条件：分式的值为，要满足分母不为，分子为也考查了解方程和不等式．
 

12.【答案】
 

【解析】解：设有红球个，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
利用概率公式列式计算即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数事件可能出现的结果数．
 

13.【答案】
 

【解析】解：设扇形弧长为，则，
．
故答案为：．
根据扇形面积公式即可求出．
本题考查扇形面积公式，解题关系是掌握是扇形面积，是扇形弧长
 

14.【答案】
 

【解析】解：连接，

是的切线，
，
，是半径，
也是的切线，
，
，
≌，
，
，，
，
．
故答案为：．
连接，根据切线的判定与性质可得，再由全等三角形的判定与性质可得，根据三角形的外角性质可得的度数，由三角形的内角和定理可得答案．
本题考查的是切线的判定定理与性质、圆周角定理等知识，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：过图中菱形的顶点作于，设图中正八边形的中心点为点，一边为，连接、，过点作于，

设正八边形的边长为，则，
 由正八边形的性质可得，，，
，
，
，
，
空白部分面积的面积为，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
正八边形的面积为：，
阴影部分的面积为：，
阴影部分面积与空白部分面积之比为，
故答案为：．
根据正多边形的性质求得中心角和多边形的内角，设正八边形的边长为，通过直角三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，用表示出菱形与八边形的面积，进而求得结果便可．
本题主要考查了正多边形的性质，菱形的性质，关键是正确构造直角三角形，用正多边形的边长表示出各部分的面积．
 

16.【答案】 
 

【解析】解：闭合时，点与点重合，点与点重合，
，
，
总高为，，
到地距离为，
，
，
，
由图可知翻折上去，
，
不变，升高到，
折叠凳升高高度为升高的高度，
在中点上，
是等边三角形，
升高高度折叠凳升高高度，
故答案为：，．
根据数量关系求出即可求出，再得出是等边三角形利用三角形函数即可得出折叠凳上升的高度．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
 

17.【答案】解：

．



．
 

【解析】首先计算零指数幂、乘方、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
根据完全平方公式计算即可．
此题主要考查了完全平方公式的应用，以及实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，

，
是的中点，
，
在与中，
，
≌，
解：≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
，，，
．
 

【解析】根据可知，再根据是的中点可求出≌；
根据全等三角形的性质，可得，，然后根据平行四边形的性质证明是的中位线，再根据勾股定理即可解决问题．
此题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】 
 

【解析】解：课程成绩出现次数最多的是分，共出现次，因此众数是分，
将这名同学课程的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为分，因此中位数是分，
故答案为：，；
根据课程的频数正直方图可知，这名学生课程成绩的中位数要大于或等于分，
由小张课程的成绩为分，在课程成绩的中位数分以上，而课程的成绩是分，在课程成绩中位数之下，因此课程的排名靠前．
根据中位数、总数的定义进行判断即可；
根据中位数以及课程、课程的成绩进行判断即可．
本题考查频数分布直方图、中位数、众数，理解中位数、众数的定义是解决问题的前提．
 

20.【答案】解：如图中，即为所求；
如图中，即为所求．

 

【解析】根据全等三角形的判定画出图形即可；
利用等高模型解决问题即可．
本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：延长交于，
轴，，
轴，∽，
，
，的横坐标分别为，，
，，
点，在反比例函数的图象上，
，，
，
，
，
；
，
，
，
，
解得：．
 

【解析】延长交于，得到，，进而得到，，证得∽，根据相似三角形的性质求得，，代入即可求出结果；
由，，根据，即可求出．
本题考查了反比例函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接、，如图：

与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，即；
解：连接、、、设、交于点，如图：

，
，
，
 由知平分，
，
，
，
，
，，
，即，
，
的半径为，
，，
，
是等边三角形，
，
由知于，
，
，，
，
在中，
，，
，
，
，
，
根据圆周角的性质可得：，，
∽，
，即，
．
 

【解析】连接、，由切线的性质及余角的性质可得，再根据圆周角定理可得结论；
连接、、、设、交于点，根据圆周角定理及含角的直角三角形的性质可得圆的半径，由等边三角形的判定与性质得的长，利用解直角三角形和勾股定理得的长，最后根据圆周角定理及相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形及直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

23.【答案】解：设甲车间有人参与生产，则乙车间有人参与生产，
由题意得：，
解得：，
人，
答：甲车间有人参与生产，乙车间有人参与生产；
甲车间每人每小时生产件，则提高效率后每人每小时生产件，且人数为人；乙车间增加人数后为人，
预计比上次提早小时完成，
甲车间工作时长为小时，即，
甲车间每人生产件，乙车间每人生产件．
，
解得：，
，
，
又为整数，
的值为或或．
 

【解析】设甲车间有人参与生产，则乙车间有人参与生产，由题意得关于的方程，求解即可；
根据题意求出调整后的甲车间完成任务时每人生产总量，再由预计比上次提早小时完成列出关于和的方程，最后用表示出即可．
本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的应用．根据题意找出等量关系是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
∽，
，，是的中点，
，
，
，
的值为．
如图，是等腰三角形，且，连接，
，，
≌，
，
，
，
解得；
如图，是等腰三角形，且，作于点，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
∽，
，
；
如图，是等腰三角形，且，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
如图，连接，作于点，
，
是的直径，
点在上，且，
，
，
，
，
．
，，
∽，
，
，
，
设，则，
由得四边形是矩形，，
，
，
，
解得，
，
，
的面积为．
 

【解析】连接，由矩形的性质得，由圆内接四边形的对角互补得，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以∽，根据相似三角形的对应边成比例可求得的值为；
是等腰三角形存在三种情况，一是，连接，≌，则，在中根据勾股定理列方程即可求出的长；二是，作于点，证明四边形是矩形，则，可求得，再证明∽，根据，即可求出的长；三是，先根据求得的长，再根据勾股定理求出的长；
连接，作于点，由证明是的直径，由证明，由，，得；
先证明∽，得，则，所以，设，则，可求得，列方程求出的值，再求出的长，即可求出的面积．
此题考查矩形的判定与性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识和方法，此题难度较大，属于考试压轴题．