专题09 客观题之--直线与圆 --《2022年新高考数学冲刺精准训练（浙江专用）》

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专题09 客观题之--直线与圆【命题规律】从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是:(1)直线的平行与垂直;(2)圆的方程;(3)直线与圆的位置关系.可以说基本涉及了直线与圆的全部内容.主要考查一是直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．二是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年除在主观题中与圆锥曲线问题综合考查外，客观题也有与圆锥曲线综合考查的趋势，难度控制在中等或以下水平.另外，平面向量问题与圆结合的情况也较多出现.预测在今后的高考命题中依然会有两种可能考查方式，即独立命题或与其它知识点相结合，综合考查直线、直线与圆的位置关系等.【精准训练】一、单选题1．（2022·浙江·瑞安中学高二开学考试）已知与抛物线的准线相切，则（       ）A． B．16 C． D．8【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切可得，求解即可．【详解】抛物线的准线方程为，圆的方程，圆心，半径，由已知得，解得，故选：A2．（2022·浙江绍兴·高二期末）对任意实数k，直线与圆的位置关系是（       ）A．相交 B．相切 C．相离 D．与k有关【答案】A【解析】【分析】判断直线恒过定点，可知定点在圆内，即可判断直线与圆的位置关系.【详解】由可知，即该圆的圆心坐标为，半径为,由可知，则该直线恒过定点，将点代入圆的方程可得，则点在圆内，则直线与圆的位置关系为相交.故选：.3．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知圆C：，直线l：，直线l交圆C于A，B两点，设点，则（       ）A． B． C．5 D．7【答案】D【解析】【分析】根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合圆的几何性质进行求解即可.【详解】圆的圆心坐标为：，半径为，取AB中点D，所以，显然点在直线l上，在该圆外，所以有：，.故选：D.4．（2022·浙江·高三专题练习）已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设，得到，利用椭圆的范围求解.【详解】解：设，则，，，因为，所以，即，故选：B5．（2022·浙江·金华市外国语学校高二开学考试）已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（       ）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】【分析】当斜率存在时，设切线方程为，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程求出斜率，当斜率不存在时，满足题意【详解】当斜率存在时，设切线方程为，则，解得，所以切线方程为，即.当斜率不存在时，切线方程为.综上，过点的圆的切线方程为或，故选：D6．（2022·广东茂名·高二期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满，则动点P轨迹与圆的位置关系是（     ）A．相交 B．相离 C．内切 D．外切【答案】A【解析】【分析】首先求得点的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.【详解】由条件可知，，化简为：，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，圆是以为圆心，为半径的圆，两圆圆心间的距离，所以两圆相交.故选：A7．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）若是直角三角形的三边（为斜边），则直线被圆所截得的弦长为（       ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形可得答案.【详解】因为是直角三角形的三边，所以，圆心到直线的距离为，则被圆所截得的弦长为.故选：C.8．（2022·浙江杭州·高二阶段练习）已知直线与圆相交于两点，当的面积最大时，的值是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，即可求出答案.【详解】圆心到直线的距离，弦长为..   当，即时，取得最大值.故选：C.9．（江西省宜春市2022届高三4月模拟考试数学（理）试题）已知直线l过点，则“直线l斜率小于等于0”是“直线l与圆有公共点”的（       ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】讨论直线斜率存在和不存在时，直线l与圆有公共点的情况，再根据充分条件和必要条件判断即可.【详解】化为标准方程为：，则圆心为，半径为3，若直线l的斜率不存在，直线，则圆心到直线的距离为3，直线l与圆有公共点，成立；若直线l的斜率存在，设，化为一般式：，若直线l与圆有公共点，则圆心到直线的距离，则.直线l斜率小于等于0能推出直线l与圆有公共点，但直线l与圆有公共点不能推出直线l斜率小于等于0.所以：“直线l斜率小于等于0”是“直线l与圆有公共点”的充分而不必要条件.故选：A.10．（2021·重庆市两江中学校高二阶段练习）已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出过点的直线与圆相切的直线方程，利用两直线垂直列方程求出m.【详解】设过点的直线为l.（1）当l的斜率不存在时，直线l：.圆的圆心到l的距离为，所以不是圆的切线，不合题意.（2）当l的斜率存在时，直线l：.由题意可得：，解得：k=2.因为l与直线垂直，所以，解得：m=-2.故选：C11．（2022·安徽安庆·二模（文））唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】判断出军营的位置，求得关于直线的对称点，然后根据点和圆的位置关系求得最短总路程.【详解】军营区域，表示军营在以原点为圆心，半径为的圆内和圆上.设点关于直线的对称点是，、的中点为，所以，所以点关于直线的对称点是，，所以最短距离是.故选：B12．（2022·四川内江·高二期末（文））几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大的．”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决一下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（       ）A．B．C．或D．或【答案】A【解析】【分析】根据米勒问题的结论，点应该为过点、的圆与轴的切点，设圆心的坐标为，写出圆的方程，并将点、的坐标代入可求出点的横坐标.【详解】解：设圆心的坐标为，则圆的方程为，将点、的坐标代入圆的方程得，解得或（舍去），因此，点的横坐标为，故选：A.13．（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（       ）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线【答案】C【解析】【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得，即，对其进行整理变形：，，，，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.二、填空题14．（2020·重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知圆关于双曲线：的一条渐近线对称，则_________.【答案】【解析】【分析】由题可知圆的圆心在双曲线的一条渐近线上，据此即可求出m.【详解】由题可知圆的圆心在双曲线的一条渐近线上.，故圆的圆心为(1,－2)，(1,－2)在第四象限，故(1,－2)在双曲线的渐近线上，∴，解得m＝.故答案为：.15．（2022·河北衡水·高三阶段练习）过圆上一点作圆的切线，切点为，则的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】由切线长公式求得切线长，因此需要求得的最小值，而的最小值可由减圆半径得到，由此可得结论．【详解】由题意，半径为，，，圆的半径为，所以，所以．故答案为：4．16．（2021·重庆市两江中学校高二阶段练习）已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则__________．【答案】或【解析】【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再根据二次函数的性质求出半径的最小值，即可求出，即可得圆的方程，再根据圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得参数的值；【详解】解：圆，即，圆心为，半径，当且仅当时半径取得最小值，此时圆的面积最小，此时圆的方程为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得或；故答案为：或；17．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则该双曲线的离心率等于___________.【答案】##【解析】【详解】求出圆心和半径，由于渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，列方程可求出的关系，从而可求出离心率【点睛】双曲线的渐近线方程为，即，圆的圆心为，半径为2，因为双曲线的两条渐近线均与圆相切，所以，即，所以，，所以，则，所以离心率，故答案为： 18．（2022·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A在直线上，，以为直径的圆C与直线l的另一个交点为D.若，则圆C的半径等于______.【答案】【解析】【分析】设出点A的坐标，写出圆C的方程，联立直线l与圆C的方程求出点D的坐标，再借助垂直关系列式计算作答.【详解】依题意，设点，则圆心，因此，圆C的方程为，由，解得或，于是得，，而，则，即，而，解得，则有点，，所以圆C的半径等于.故答案为：19．（2019·浙江·高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.【答案】【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知，由中位线定理可得，即求得，所以.20．（2022·浙江绍兴·高二期末）已知圆，直线与圆C交于A，B两点，且，则______．【答案】-2【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合垂径定理和勾股定理表示出圆心到弦的距离，再由点到直线的距离公式表示出圆心到弦的距离，解方程即可求得的值.【详解】解：将圆的方程化为标准方程可得，圆心为，半径圆C与直线相交于、两点,且，由垂径定理和勾股定理得圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得，所以，解得，故答案为：.21．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高二阶段练习）由直线上的点P向圆C：引切线为切点，当PT的长最小时，点P的坐标是___________.【答案】（0，2）【解析】【分析】由切线长公式可得，当最小时，最小，由图可知点到直线的距离最小，再求直线方程，与直线联立，求点的坐标.【详解】的圆心为，半径，连接，因为是圆的切线，所以，根据勾股定理得，所以当最小时，最小，如图，点到直线的距离是的最小值，并且直线的斜率为-1，所以直线的方程是，即，联立，解得，所以.故答案为：.22．（2021·重庆市两江中学校高二阶段练习）已知点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，若圆心到直线的距离的最大值为，则实数________．【答案】或【解析】【分析】设点，求出切点弦方程，再利用点到直线的距离公式得到，再根据二次函数的性质求出的最小值，即可得解；【详解】解：设点，圆①，其圆心为，因为、是圆的切线，则有，，则点、在以为直径的圆上，又由，，则以为直径的圆的方程为：，即，②联立①②，可得，即直线的方程为，在直线上，，，，，，令是关于的二次函数且开口向上，所以当时取得最小值，，或，故答案为：或，．23．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）过点作一条直线截圆所得弦长为，则直线的方程是___________.【答案】或【解析】【分析】待定系数法设直线，由弦长公式求解【详解】可化为故圆心到直线距离若直线斜率不存在，方程为，则，满足题意若直线斜率存在，设其方程为，，解得，此时直线方程为故答案为：或24．（2022·福建·三模）直线与曲线恰有2个公共点，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】画出直线与曲线的图象，结合图象可得答案.【详解】由曲线得，当时；当时；直线恒过点，所以直线与曲线的图象为当直线与相切时，此时，得，解得，当直线与平行时，，直线与曲线要恰有2个公共点，可得，故答案为：.三、双空题25．（2019·浙江·高考真题）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______.【答案】          【解析】【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.【详解】可知，把代入得，此时.【点睛】解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.26．（2020·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．【答案】          【解析】【分析】由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可.【详解】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，所以，所以（舍）或者，解得.故答案为：27．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作圆的一条切线，切点为A，且，则点F的坐标是__________，__________．【答案】          　##【解析】【分析】由抛物线方程确定参数，得焦点坐标，由圆心是准线与轴交点，，结合抛物线的定义得点纵坐标，从而可得横坐标，由焦半径公式得．【详解】由题意，，，焦点为，抛物线的准线方程是，圆的圆心是，半径是，，即为到准线的距离，点在准线上，因此轴，则点纵坐标为或，所以点横坐标是，因此．故答案为：；．28．（2022·浙江·高三专题练习）已知、，是圆上的动点，当最大时，________；的最大值为________.【答案】          【解析】【分析】求得，利用基本不等式可求得当取最大值时对应的的值，推导出，利用三角换元结合正弦型函数的有界性可求得的最大值.【详解】由已知可得，则，得，且有，所以，，当且仅当时，即当时，取得最大值.因为，，所以，，设，，其中，所以，，因为，则，当时，即当时，取得最大值，此时，可得，合乎题意.故答案为：；.29．（2022·浙江·高三专题练习）已知直线过定点，圆，若直线与圆相切于点，则的值为________；使得直线与圆相交的的取值可以是________（写出一个即可）．【答案】     16     4（答案不唯一）【解析】【分析】利用数量积的定义及圆的性质可得，然后利用切线长公式即得.【详解】由直线，可知定点，圆，得，圆心，半径为1，∴，又直线与圆相切于点，则AP⊥CP,,∴，当在直线上时，直线与圆相交，此时，即，故答案为：16；4（答案不唯一）.30．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.【答案】          【解析】【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设，设切点为，，所以, 由，所以，，于是，即，所以．故答案为：；．31.（2012·浙江高考真题（理））定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．【答案】【解析】由新定义可知，直线与曲线相离，圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，根据新定义可知，曲线到直线的距离为，对函数求导得，令，故曲线在处的切线方程为，即，于是曲线到直线的距离为，则有，解得或，当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.综上所述，.