专题03 客观题之--等式与不等式--《2022年新高考数学冲刺精准训练（浙江专用）》

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专题03 客观题之—等式与不等式【命题规律】高考对不等式的考查有两种形式，一是作为工具，与函数等结合，考查不等式的解法、不等式的性质、基本不等式及其应用等，不单独命题；二是对简单线性规划的考查，独立命题.高考试题对简单线性规划的考查角度有两种：一种是求目标函数的最值或范围，但目标函数变化多样，有截距型、距离型、斜率型等；另一种是线性规划逆向思维型，提供目标函数的最值，反求参数的范围等．题型为选择题或填空题，近几年主要考查截距型目标函数的最值问题，近两年目标函数中自变量的系数为负数．关于等式的考查，常常与古典文化、实际应用结合，考查解方程问题.在解答题中，与数列结合，考查不等式的性质、“放缩法”，与导数结合，考查导数的应用—证明不等式或解决不等式恒成立问题等.虽然独立考查少，但几乎处处可见不等式的“影子”.【冲刺训练】一、单选题1．（2022·浙江湖州·高三期末）已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题知，再结合集合交集运算求解即可.【详解】解：因为，所以，所以，由于所以故选：D2．（2022·安徽宣城·二模（文））已知正实数a，b满足，则的最小值是（       ）A． B．4 C． D．【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式可求最小值.【详解】设，则，故，其中，，由，当且仅当，时等号成立，此时，满足，故的最小值为，故选：D.3．（2022·河南焦作·二模（文））已知满足约束条件，则的最大值为（       ）A．1 B．4 C．7 D．11【答案】D【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立方程组，解得，即，平移直线至经过点时目标函数取得最大值，即故选：D.4．（2022·浙江·高三专题练习）若，满足约束条件，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】作出线性约束条件的可行域，再利用截距的几何意义求最小值.【详解】约束条件的可行域，如图所示：目标函数在点取得最小值，即.故选：A.5．（2022·浙江省义乌中学高三期末）已知x，y满足则（       ）A．的最大值是2 B．的最小值是C．y的最大值为0 D．的最小值为【答案】B【解析】【分析】先画出可行域，设，则，画出直线，向下平移过点时，取得最小值，求出点B坐标，代入可求出其最小值，由图可知y无最大值，无最小值【详解】不等式组表示的可行域如图所示，设，则，画出直线，向下平移过点时，取得最小值，由，得，即，所以最小值为，无最大值，所以A错误，B正确，由于可行域是开放区域，且向右上方延伸，所以y无最大值，所以C错误，由于表示过原点和可行域中的点直线的斜率，由图可知直线的斜率无最小值，所以D错误，故选：B6．（2022·浙江湖州·高三期末）在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域内整点个数是（       ）A．16 B．14 C．12 D．10【答案】C【解析】【分析】作出约束条件的可行域，再直接数点即可得答案.【详解】解：根据题意，作出不等式组约束的平面区域，如图，所以可行域内整数点的个数为个.故选：C7．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知实数x，y满足约束条件，则（       ）A．有最小值，最大值2 B．有最小值，最大值C．有最小值2，最大值 D．有最小值2，无最大值【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由线性约束条件可得如下可行域：由解得，即，解得，即，解得，即，作出直线，由图可知，平移直线至时，取最小值为；平移直线至时，取最大值为．有最小值，最大值．故选：B8．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））设实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（       ）A．40 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】【分析】画出可行域，将问题转化为点到区域内一个点的距离的平方即可【详解】约束条件所满足的区域如图所示目标函数的几何意义是点到区域内一个点的距离的平方由图知此最小值为以点为圆心，与直线相切的圆的半径的平方根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为故最小值为4故选：C．9．（2022·陕西陕西·二模（文））已知x，y满足不等式组，且目标函数的最大值为180，则实数m的值为（       ）A．60 B．75 C．50 D．80【答案】A【解析】【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，根据最大值列方程，从而求得的值.【详解】作出不等式组对应的平面区域，如图：由可得：，平移直线；由图象可知当直线，经过点时，直线的截距最小，此时z最大，，解得.故选：A10．（2022·浙江浙江·二模）已知，，且，则下列结论正确的个数是（       ）①的最小值是4；                                 ②恒成立；③恒成立；                         ④的最大值是．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】①利用基本不等式求解判断；②令，得到，用导数法判断；③利用基本不等式结合对数运算求解判断；④由，令，用导数法求解判断.【详解】①,当且仅当，即，即等号成立，而，故错误；②令，因为，，且，所以，，则，所以在上递减，则，即，故正确；③因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，则，故正确； ④因为，令，则，令，解得当时，，当时，，所以当时，取得最大值，故正确．故选：C11．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若实数x，y满足约束条件，则的最大值是（       ）A．3 B．0 C． D．【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使最大，则直线在轴上的截距最小，结合可行域可知当直线过点时最大，求出的坐标，代入得答案．【详解】解：令，则，由题意作平面区域如下，由，得 ．要使最大，则直线的截距最小，由图可知，当直线过点时截距最小．联立，解得，∴的最大值为．故选：C．12．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（       ）A．4 B．1 C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出可行域，根据几何意义求解即可.【详解】解：作出不等式组表示的可行域．如图阴影曲域（包括边界），将变形为，故要使目标函数的最小值，则直线在轴上截距最大，所以，平移直线，当经过点时目标函数取得最小值．由得，即，所以．故选：C．       13．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，若，恒成立，则实数m的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式画出函数图象，即可判断函数为奇函数且在定义域上单调递减，则不等式等价于，即恒成立，再分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为，所以函数图象如下所示：由函数图象可知函数为定义域上单调递减的奇函数，当时，则，当时，则，所以，因为，恒成立，即，恒成立，所以恒成立，即恒成立，当，显然不成立，当时，则，解得，即；故选：C14．（2022·浙江·温州中学高三期末）已知“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据线性规划的几何意义，分别作出和表示的平面区域，即可判断出答案.【详解】设点满足，则点所在的平面区域为如图所示的正方形区域（包括边界） ，设满足，则点所在的平面区域为如图所示的圆面区域，由此可知成立，不一定成立；成立时，一定有成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.15．（2021年浙江省高考数学试题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B.16．（2022·全国·高三专题练习）南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由公式列出面积的表达式，代入，然后利用基本不等式可求得结果【详解】由题意得，则，当且仅当，即时取等号，所以三角形面积的最大值为.故选:B17．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．18．（2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（       ）A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0【答案】C【解析】【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为，所以且，设，则的零点为当时，则，，要使，必有，且，即，且，所以；当时，则，，要使，必有.综上一定有.故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.21.（2016年浙江理）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（  ）A．2       B．4     C．3     D．【答案】C【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．故选C．二、填空题20．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高三期末）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的直角三角形，若，则小正方形的面积是________.【答案】1【解析】【分析】设出小正方形边长，用勾股定理列出方程，求出小正方形的边长和面积.【详解】设小正方形边长为，由勾股定理得：，解得：，故小正方形的面积为.故答案为：121．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为___________.【答案】9【解析】【分析】将化为，再根据基本不等式可得结果.【详解】，当且仅当时等号成立，取等条件满足，所以的最小值为9.故答案为：922．（2022·贵州·模拟预测（文））若，满足约束条件，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，根据目标函数的几何意义，数形结合即可求得结果.【详解】画出不等式组表示的可行域，如下所示：即，其表示经过可行域与平行，且纵截距为的直线，数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，纵截距最小，此时目标函数取得最小值，即.故答案为：.23．（2022·浙江杭州·高三期末）已知正实数x，y满足，则的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】由基本不等式得出，再由得出最值.【详解】，当且仅当时，取等号，即，当且仅当时，取等号.故的最小值是故答案为：24．（2022·江西·二模（理））设关于x，y的不等式组表示的平面区域为，若平面区域内任意点，满足，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】问题转化为求目标函数的最小值，且，利用线性规划方法求得,进而得到k的取值范围.【详解】依题意问题转化为求目标函数的最小值，且，由约束条件得到平面区域如图阴影部分△ABC及其内部所示，由解得,即.可知直线通过点处取得最小值，即，即．故答案为：25．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）若直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数a的最大值是___________.【答案】9【解析】【分析】作图，根据几何意义在可行性区域求最值即可.【详解】依题意作上图，阴影部分即为可行性区域，联立方程 ，解得 ，即点A的坐标为 ，目标函数转化为 ，其几何意义为可行性区域内一点 与点 连线的斜率，显然其最大值为当点P与A重合时，此时AQ的斜率= ；故答案为：9.26．（2022·安徽滁州·二模（理））知实数x，y满足，则的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】把去绝对值符号变形，画出图形，利用线性规划知识结合元与双曲线的性质求出的范围，即可得出答案.【详解】解：由，当时，得，表示渐近线为焦点在轴得双曲线位于第一象限的部分（包括坐标轴），当时，得，表示以原点为圆心1为半径，位于第四象限的部分，当时，得，不表示任何图形，当时，得，表示渐近线为焦点在轴得双曲线位于第三象限的部分（包括坐标轴），作出图形如图所示，，令，则，由图可知，当直线与相切时，最大，此时，故，即的最大值为，当直线与双曲线的渐近线无限接近时，趋于0，所以的取值范围为.故答案为：.三、双空题27．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室一模（文））《九章算术》中有如下问题“今有卖牛二、羊五，以买十三猪，有余钱一千；卖牛三、猪三，以买九羊，钱适足.”设牛、羊、猪每头价格分别为（钱），则第一句话可以列出的方程是_______，若告诉你，依第二句话可以推断出_______.【答案】          1500【解析】【分析】（1）直接根据已知列出方程即可；（2）化简即得解.【详解】（1）由题得；（2）由题得.故答案为：；150028．（2022·浙江·温州中学高三期末）我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有____________人，每个人分得____________两银子”.【答案】     36     24【解析】【分析】设共有人，则每人分得两银子，由条件可得，解出即可.【详解】设共有人，则每人分得两银子，因为每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，所以，即，解得或（舍去）所以一共有36人，每人分得24两银子故答案为：36；2429．（2022·浙江绍兴·高三期末）若实数满足约束条件，则的最小值是__________，最大值是_________.【答案】     -2；     6【解析】【分析】作出约束条件对应的可行域，根据目标函数的几何意义找到取最大值和最小值的位置，代入点的坐标即可.【详解】作出不等式组的可行域如图所示：目标函数表示函数在y轴上的截距，由图知在B点取最小值，A点取最大值；则B点满足，解得，即最小值；A点满足，解得，即最大值；故答案为：-2；630．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数则当时，函数有______个零点；记函数的最大值为，则的值域为______.【答案】     1     【解析】【分析】对于答题空1，当时，分段求解函数的零点即可得答案；对于答题空2，分段考查函数的单调性以及最值情况，作出其大致图象，数形结合，可得答案.【详解】当时，,当时，，得；当时，无解，所以时，函数有1个零点；由题意得函数是定义域为R的奇函数，且当时，，当且仅当时，函数取得最大值，函数，当时，函数取得最大值4，由函数图象知函数的最大值，所以的值域是.