压轴专题17函数动点问题中平行四边形存在性答案解析

这是一份压轴专题17函数动点问题中平行四边形存在性答案解析，共37页。试卷主要包含了平行四边形存在性，特殊平行四边形存在性等内容，欢迎下载使用。
专题17 函数动点问题中平行四边形存在性
类型一、平行四边形存在性

结论：
类型二、特殊平行四边形存在性
1. 矩形存在性
常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.
2. 菱形存在性
常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.
3. 正方形存在性
常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.

1.如图，直线y=与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=经过B、C两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，当△BEC的面积最大时，求出点E的坐标和最大值；
（3）在（2）条件下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵直线y=与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴B(0,3)，C(4,0)，
将B(0,3)，C(4,0)代入y= 得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：.
（2）过点E作EF⊥x轴于F，交BC于M，

设E（x，），则M（x，），
∴ME=－（）=
∴S△BEC=×EM×OC
=2EM
=2()
=,
∴当x=2时，△BEC的面积取最大值3，此时E(2，3).
（3）由题意得：M(2，)，抛物线对称轴为：x=1，A(－2,0),
设P(m，y)，y=，Q(1，n)
①当四边形APQM为平行四边形时，

有：，解得：m=－3，
即P(－3，)；
②当四边形AMPQ为平行四边形时，

有：－2+m=2+1，即m=5
即P(5, )；
③当四边形AQMP为平行四边形时，

有：2－2=1+m，得：m=－1，
即P(－1，)；
综上所述，抛物线上存在点P，使以点P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为：(－3，)，(5, )，(－1，).
2.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3).
（1）求抛物线的解析式与顶点M的坐标；
（2）求△BCM的面积与△ABC面积的比；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）将A(－1，0)，B(3，0)， C(0，－3)代入y=ax2+bx+c，得：
，
解得：a=1，b=－2，c=－3，
即抛物线的解析式为：y=x2－2x－3，顶点M的坐标为：（1，－4）；
（2）连接BC，BM，CM，过M作MD⊥x轴于D，如图所示，

S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，
S△ACB=6，
∴S△BCM：S△ACB=1：2；
（3）存在.
①当点Q在x轴上方时，过Q作QF⊥x轴于F，如图所示，

∵四边形ACPQ为平行四边形，
∴QP∥AC，QP=AC
∴△PFQ≌△AOC，
∴FQ=OC=3，
∴3=x2﹣2x﹣3，
解得 x=1+或x=1﹣，
∴Q(1+，3)或(1﹣，3)；
②当点Q在x轴下方时，过Q作QE⊥x轴于E，如图所示，

同理，得：
△PEQ≌△AOC，
∴EQ=OC=3，
∴﹣3=x2﹣2x﹣3，
解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，
∴Q(2，﹣3)；
综上所述，点Q的坐标为：(1+，3)或(1﹣，3)或(2，﹣3).
3.如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx－5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2所示，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别交于点F、G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（3）点M是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N是反比例函数y=图象上一点，若以点B、C、M、N为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k的值.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）将A(-1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx－5得：
，解得：，
即抛物线的解析式为：y=x2－4x－5.
（2）在y=x2－4x－5中，当x=0时，y=－5，即C(0，－5),
∵CE∥x轴，则C、E关于直线x=2对称，
∴E(4，－5), CE=4，
由B（5,0）, C(0，－5)得直线BC的解析式为：y=x－5，
设H(m，m2－4m－5)，
∵FH⊥CE，
∴F(m，m－5)，
∴FH= m－5－（m2－4m－5)= －m2+5m，
S四边形CHEF=·FH·CE
=（－m2+5m）×4
=－2（m－）2+，
当m=时，四边形CHEF的面积取最大值，此时H(，).
（3）设M（2，m），N(n，)，B(5,0)，C(0，－5)，
①当BC为矩形对角线时，此时：2+n=5+0，m+=0－5，即n=3，
设BC与MN交于点H，则H(，)，MH=BC=，
∴，
解得：m=1或m=－6，
当m=1时，k=－18；m=－6时，k=3，
②当BC为矩形边时，分两种情况讨论：
（i）当点M在直线BC下方时，即四边形BCMN为矩形，

则∠BCM=90°，2+5=n+0，m=－5，
过M作MH⊥y轴于H，则由OB=OC知，∠OCB=45°，
∴∠MCH=∠CMH=45°，即CH=MH，
∴－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；
（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，
则∠CBM=90°，n+5=2， =m－5，

设对称轴与x轴交于点H，同理可得：BH=MH，
∴3=m，n=－3，k=6；
综上所述，k的值为：－18，3，－14或6.
4.如图，抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A(-1，0)，B(3，0)两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接BD．
（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式．
（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标．
（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F，M，G，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A(-1，0)，B(3，0)两点，
∴，解得：，
即抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.
（2）由y=-x2+2x+3知，C(0，3)，E(1，0)，D(1,4)，
可得直线BD的解析式为：y=-2x+6，
设P（m，-2m+6），由勾股定理得：PE2=，PC2=，
由PE=PC，得：=，
解得：m=2，即P(2，2).
（3）∵M在x轴上，N在直线PF上，
∴∠NFM=90°，
由四边形MFNG是正方形，知MF=MG，
设M(n，0)，则G(n，-n2+2n+3)，
MG=|-n2+2n+3|，MF=|n-2|，
∴|-n2+2n+3|=|n-2|，
解得：n=或n=或n=或n=，
故点M的坐标为：（，0），（，0），（，0），（，0）.
5.如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-4,0)，B(1,0)，C（0,3），点P在抛物线上，且在x轴的上方，点P的横坐标记为t.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点P作y轴的平行线交直线AC于点M，交x轴于点N，若MC平分∠PMO，求t的值.
（3）点D在直线AC上，点E在y轴上，且位于点C的上方，那么在抛物线上是否存在点P，使得以点C、D、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.

图1 图2
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-4,0)，B(1,0)，C（0,3），
∴，解得：，
即抛物线的解析式为：y=x2x+3.
（2）由A(-4,0)，C(0,3)得直线AC的解析式为：y=，
∵点P的横坐标为t，
∴M(t, )，
∵PN∥y轴，
∴∠PMC=∠MCO，
∵MC平分∠PMO，
∴∠PMC=∠OMC，
∴∠MCO=∠OMC，
即OM=OC=3，
∴OM2=9，
即，解得：t=0（舍）或t=，
∴当MC平分∠PMO时，t=.
（3）设P(t, t2t+3)，
①当CE为菱形的边时，四边形CEPD为菱形，

则PD∥y轴，CD=PD，
则D(t，),
∴PD=t2t+3－（）=t2t，
由勾股定理得：CD==，
∴t2t=，解得：t=0（舍）或t=，
即PD=，菱形面积为：×=；
②当CE为菱形的对角线时，此时P与D点关于y轴对称，

则D(-t, t2t+3)，将D点坐标代入y=，得：
t2t+3=，解得：t=0（舍）或t=－2，
PD=4，CE=3，菱形的面积为：×4×3=6；
综上所述，菱形的面积为：或6.

6.如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵矩形OBDC的边CD＝1，
∴OB＝1，
由AB＝4，得OA＝3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，
∴a+b+2=0，9a－3b+2=0，
解得：a=，b=，
∴抛物线解析式为y＝x2x+2；
（2）以AC为边或对角线分类讨论：
A（﹣3，0），C（0，2），
抛物线y＝x2x+2的对称轴为x＝﹣1，
设M(m, yM)，N(－1，n)，yM=m2m+2
①当四边形ACMN为平行四边形时，
有：，
解得：m=2，yM=，即M(2，)；
②当四边形ACNM为平行四边形时，
有：，
解得：m=－4，yM=，即M(－4，)；
③当四边形AMCN为平行四边形时，
有：，
解得：m=－2，yM=2，即M(－2，2)；
综上所述，点M的坐标为（2，）或（﹣4，）或（﹣2，2）．
7.如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得∠ABP＝90°，求出点P坐标；
（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，
当x＝0时， y＝4，当y＝0时，x＝4，
即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），
将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：
b=1，c=4，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）∵OA＝OB＝4，
∴∠ABO＝45°，
∵∠ABP＝90°，
则∠PBO=45°，
若直线PB交y轴于点M，
则OM=OB=4，
可得直线BP的解析式为：y=x－4，
联立：y=x－4，y＝﹣x2+x+4，得：
x=4，y=0(即B点)；x=－4，y=－8，
即P(－4，－8).
（3）存在；
由y＝﹣x2+x+4知抛物线的对称轴为：x=1，
设E(1，m)，F(n，﹣n2+n+4)，O(0,0)，B(4,0)，
①当四边形OBEF是平行四边形时，
有：EF=4，
∴n-1=-4，即n=-3，
F点坐标为（-3，）；
②当四边形OBFE是平行四边形时，
有：EF=4，
n-1=4，即n=5，
F点坐标为（5，）；
③当四边形OFBE是平行四边形时，
有：,
即n=3，
F点坐标为（3，）；
综上所述：点F的坐标为（5，），（﹣3，），（3，）．
8.如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝﹣x交第二象限于点E，与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，EC∥x轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点N是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意知：A（﹣3，0），C（0，2），EC∥x轴
∴点E的纵坐标为2，
∵点E在直线y＝﹣x上，
∴点E（﹣2，2），
∵将A（﹣3，0）、E（﹣2，2）代入y＝ax2+bx+2，得：
，解得：
抛物线的解析式为：；
（2）由知，抛物线的对称轴为x=－1，
设N(－1，n)，M(m，)，
∵A（﹣3，0），C（0，2），
（1）当四边形ACNM是平行四边形时，有：
，得：m=－4，yM= ；
即M(－4，).
（2）当四边形ACMN是平行四边形时，有：
，得：m=2，yM= ；
即M(2，).
（3）当四边形ANCM是平行四边形时，有：
，得：m=－2，yM= 2；
即M(－2，2).
综上所述，M点的坐标是(－4，)，(2，)，(－2，2).
9.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F
（1）求抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．
∴A（﹣3，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，解得：
抛物线的解析式为y＝x 2+x﹣1；
（2）点G的坐标为（2，1），（﹣2，﹣2﹣1），（2，2﹣1），（﹣4，3）．
①当四边形DCEG是菱形时，CD=CE=EG=4，
设E(m，m+3)，则G（m，m+7），
由C(0，－1)，E(m，m+3)，得：CE2=m2+(m+4)2=16，
解得：m=0（舍）或m=－4，
此时G(－4,3)；
②当四边形DCGE是菱形时，CG2=16,
设E(m，m+3)，则G（m，m－1），
即m2+ m2=16，
解得：m=或m=－，
此时，G(，－1)或G(－,－－1)；
③当四边形DGCE是菱形时，设E(m，m+3)，则G（－m，－m－1），
此时E在CD的垂直平分线上，
即m+3=1，m=－2，
此时G(2，1);
综上所述，点G的坐标为：(－4,3)、(,－1)、(－,－－1)、(2，1).
10.（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为(-1，0)，点 C 的坐标为(0，3)，点D和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴交于点 E ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，以 A，M，P，Q 为顶点的四边形是以 AM 为边的矩形．若点 T 和点 Q 关于 AM 所在直线对称，求点 T 的坐标．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）将 (-1，0)， (0，3)代入y＝﹣x2+bx+c ，得：
－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，
即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.
（2）由y＝﹣x2+2x+3知，点M(1，4)，
分两种情况讨论，
①当四边形MAPQ是矩形时，过M作MH⊥x轴于H，则MH=4，AH=2，

易证得：∠APO=∠MAH，
∴tan∠APO= tan∠MAH，
即=2，
∴OP=，
即P（0，－），
由A(-1，0)、M(1，4)，P（0，－）得：点Q坐标为（2，），
∵点 T 和点 Q 关于 AM 所在直线对称，
即点Q与点T关于点M(1，4)对称，
∴T(0，)；
②当四边形AMPQ是矩形时，

同理可得：T(0，)；
综上所述，点 T 的坐标为(0，)，(0，).
11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数（x>0）的图象交于点B(a，4).
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）将A(-2,0)代入y=x+b，得：b=2，
即一次函数的解析式为：y=x+2，
将B(a，4)代入y=x+2，得：a=2，
即B(2，4),
将B(2，4)代入得：x=8，
即反比例函数的解析式为：.
（2）设M(m，m+2)，则N(，m+2)，
由题意知，MN∥OA，则需MN=OA=2时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
∴=2，
解得：m=或m=－（舍）或m=或m=－（舍），
∴点M的坐标为：（，）或（，+2）.
12.如图1，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；
（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．

图1 图2
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴，解得：，
即抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；
（2）过点D作DM⊥y轴于点M，

y=x2﹣x﹣4
=（x﹣1）2﹣，
∴点D（1，﹣）、点C（0，﹣4），
S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC
=×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4
=4；
（3）四边形APEQ为菱形，理由如下：
E点关于PQ与A点对称，过点Q作QF⊥AP于F，

由折叠性质知： AP=EP，AQ=EQ
∵AP=AQ=t，
∴AP=AQ=QE=EP，
∴四边形AQEP为菱形，
∵FQ∥OC，
∴，
∴
∴AF=t，FQ=t，Q（3﹣t，﹣t），E（3﹣t﹣t，﹣t），
∵E在二次函数y=x2﹣x﹣4上，
∴﹣t=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，
∴t=或t=0（舍去），
∴E（﹣，﹣）．
13.如图，一次函数分别交y、x轴于A、B两点，抛物线过A，B两点.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直于x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N. 求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在(2)的情况下，以A，M、N、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标.

【答案】见解析
【解析】解：（1）在得，当x=0时，y=2；y=0时，x=4，
即A（0，2），B（4，0），
把A(0，2)，B(4，0)代入，得：
，解得，
∴抛物线解析式为.
（2）由题意知，，，
∴MN=
=，
∴当t=2时，MN有最大值4.
（3）根据平行四边形的性质，得：D点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.
14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH．在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，直接写出该正方形的边长．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，
∴，
解得：，
即抛物线的解析式为：y=－x2+3x+4.
（2）∵四边形EFGH是矩形，
∴当EF=EH时，四边形EFGH是正方形，

设E(m, －m2+3m+4)，则F(3－m，－m2+3m+4)，m>，
∴EF=2m－3，EH=|－m2+3m+4|，
∴2m－3=|－m2+3m+4|，
解得：m=或m=（舍）或m=或m=（舍）
∴正方形的边长EF=2+或－2，
综上所述，正方形EFGH的边长为：2+或－2.
15.如图所示，平面直角坐标系中直线y=x+1交坐标轴于点A、D两点，抛物线y=ax2+bx－3经过A、C两点，点C坐标为（a，5）. 点M为直线AC上一点，过点M作x轴的垂线，垂足为F，交抛物线于点N.
（1）求抛物线解析式；
（2）是否存在点M，使得以点D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M的坐标，如果没有，请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：∵直线y=x+1交坐标轴于点A、D两点，
∴A(－1,0)，D(0，1)，
∵点C（a，5）在直线y=x+1上，
∴a=4，即C(4,5)，
将A(－1,0)，C(4,5)代入y=ax2+bx－3得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2－2x－3.
（2）存在，
E（0，－3），∴DE=4，
由题意知：DE∥MN，
∴当DE=MN=4时，四边形DENM是平行四边形，
设N(m, m2－2m－3)，则M(m, m+1)，
∴| m+1-（m2－2m－3）|=4，
解得：m=0（舍）或m=3或m= 或m= ，
综上所述，点M的坐标为：（3,4），（，），（，）.
16.如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0),与y轴交于点B，在x轴上有一动点C(m,0) （0