中考数学二轮复习压轴专题16函数动点问题中三角形存在性(教师版)

这是一份中考数学二轮复习压轴专题16函数动点问题中三角形存在性(教师版)，共30页。试卷主要包含了等腰三角形存在性问题，直角三角形存在性问题等内容，欢迎下载使用。
专题16 函数动点问题中三角形存在性
模型一、等腰三角形存在性问题
以腰和底分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.
模型二、直角三角形存在性问题
以直角顶点不同分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.常见的模型为“一线三直角”.

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2－x+c经过点A(－1,0),B(4,0)，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点（包含点A、B）.作直线BC，若过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CPQ是等腰三角形？若存在，直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意，抛物线的解析式可表示为：y=a（x+1）（x－4），
将点（0，－2）代入上式，得：a=，
即抛物线的解析式为：y=x2－x－2；
（2）由y=x2－x－2得：C(0,－2), 由勾股定理得：BC=2,
由C(0,－2), B(4,0)得直线BC的解析式为：y=x－2，
设P（m，m2－m－2），则Q(m，m－2)，
过Q作QM⊥y轴于M，则QM∥AB，
∴,即，
∴CQ=,
PQ=－m2+2m, PC==m，
①当CQ=PQ时，
=－m2+2m，解得：m=0（舍）或m=4－；
②当CQ=PC时，
= m，解得：m=0（舍）或m=2或m=4（舍）；
③当PQ=PC时，
－m2+2m= m，解得：m=0（舍）或m=；
综上所述，存在点P，使△CPQ是等腰三角形，点P的横坐标为：4－或2或.
2.如图，抛物线L：y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，已知点B(3,0)，抛物线的对称轴为x=1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC内部（包含△OBC边界），求h的取值范围；
（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=－3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，写出符合条件的点P的坐标，若不能，请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：由题意得：，解得：，
即抛物线的解析式为：y=－x2+2x+3.
（2）在y=－x2+2x+3中，当x=0时，y=3，即C(0,3),
由B(3,0)，C(0,3)得直线BC的解析式为：y=－x+3,
在y=－x2+2x+3中，当x=1时，y=4，
在y=－x+3中，当x=1时，y=2，
若将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC内部（包含△OBC边界），则2≤h≤4.
（3）①当P在x轴上方时，
过点P作PD⊥l于M，PN⊥x轴于N，由△PBQ为等腰直角三角形可知，△PBN≌△PQM，

则PN=MQ，
设P（m，y），则PN=PM=y，而PM=m+3，
∴y=m+3，
－m2+2m+3= m+3，解得：m=0或m=1，
即P(0,3)或（1,4）；
②当P点在x轴下方时，同理可得：
－m2+2m+3=－m－3，解得：m=或m=，
即P(，)或(，)，
综上所述，△PBQ能成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P的坐标为：(0,3)或（1,4）或(，)或(，).
3.如图，已知抛物线经过点A(－1,0)，B(4,0),C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M.
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x－4），
将点C(0,2)代入上式得：a=，
即抛物线的解析式为：y=（x+1）（x－4）=x2+x+2.
（2）存在；由题意知，∠QMB≠90°，分两种情况讨论：
①当∠MQB=90°时，此时点Q与点P重合于点A，即Q(－1,0)；
②当∠QBM=90°时，△BPQ∽△MPB，
∴BP2=PM·PQ，
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D(－2,0)，
由B(4,0)，D(0, －2)得直线BD的解析式为:y=x－2，
设P（m，0），则M(m，m－2)，Q(m，m2+m+2)，
∴BP=4－m，PM=2－m，PQ=m2+m+2，
∴（4－m）2=（2－m）（m2+m+2），
解得：m=3或m=4（舍），
即Q(3，2);
综上所述，点Q的坐标为：(－1,0)，(3，2).
4.如图,顶点为(2,－1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交y轴于点C(0,3),交x轴于A,B两点,直线l过AC两点,点P是位于直线l下方抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴,交直线l于点Q.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求线段PQ的最大值及此时点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使△BCG为直角三角形?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，－1），
即抛物线解析式可表示为：，
将C(0,3)代入上式得：a=1，
即抛物线的解析式为：=.
（2）由，得当y=0时，x=1或x=3，
即B(1,0)，A(3,0),
由A(3,0), C(0,3)可得直线AC的解析式为：y=－x+3，
设Q（m，－m+3），则P(m，), 0