北师大版第七章 平行线的证明4 平行线的性质学案

平行线的性质（基础）知识讲解

【学习目标】

1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；

2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；

3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.

【要点梳理】

要点一、平行线的公理、定理

   公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.    

定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.

   定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).

要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．

 (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点二、平行线的性质定理的探究过程

1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角

相等）.

 因为a∥b,

所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），

又∠3=∠1 (对顶角相等)

所以∠2=∠3.

2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁

内角互补).

因为a∥b,

所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），

又∠3+∠1=180°（补角的定义），

所以∠2+∠1=180°.

要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.

要点三、平行线的性质与判定

（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
    （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
    （3）平行线的判定与性质的联系与区别
     区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
     联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
   （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．

【典型例题】

类型一、平行线的性质公理、定理的应用 

1．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么．

【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1+∠2＝180°；第二层次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3+∠4＝180°，从而解出∠2、

∠3、∠4的度数．

【答案与解析】

 解：∵  DE∥BC，

    ∴  ∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．

    ∠2+∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

    ∴  ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．

    又∵  DF∥AB(已知)，

    ∴  ∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．

    ∴  ∠3＝115°(等量代换)．

【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系．

举一反三：

【变式】（2020•永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=　　度．

【答案】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD，

∴∠A+∠ADC=180°，

∵∠A=60°，

∴∠ADC=120°．故答案为：120°

2. 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？

【思路点拨】过点B作直线BE∥CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答．

【答案与解析】

解：过点B作直线BE∥CD．

∵CD∥AF，
∴BE∥CD∥AF．
∴∠A=∠ABE=105°．
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．
又∵BF∥CD，
∴∠CBE+∠C=180°．
∴∠C=150°．

【总结升华】此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题．

3. 已知，如图，AB∥CD，BE∥FD．
求证：∠B+∠D=180°

【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1，∠1+∠D=180°，等量代换即可证明∠B+∠D=180°．

【答案与解析】

证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．
∵BE∥FD（已知），
∴∠1+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠B+∠D=180°（等量代换）．

【总结升华】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

举一反三

【变式】如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1=25°，求∠2的度数．

【答案】

解：∵CE平分∠ACD，∠1=25°，
∴∠ECD=∠1=25°，
∵AB∥CD，
∴∠ECD+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠ECD=155°．

4.（2020春•秦皇岛期末）如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）

【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．

【答案与解析】如图：

（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；

证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，

∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．

（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

（3）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；

（4）∵AB∥CD，

∴∠POB=∠PCD，

∵∠POB是△AOP的外角，

∴∠APC+∠PAB=∠POB，

∴∠APC=∠POB﹣∠PAB，

∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．

【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．

5. 如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明．
已知：如图，BC∥AD，BE∥AF．
（1）求证：∠A=∠B；
（2）若∠DOB=135°，求∠A的度数．

【思路点拨】（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A=∠B．
（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A=180°-∠DOE．

【答案与解析】

解：（1）∵BC∥AD，
∴∠B=∠DOE，
又∵BE∥AF，
∴∠DOE=∠A，
∴∠A=∠B．
（2）∵∠DOB=∠EOA，由BE∥AF，得∠EOA+∠A=180°
又∠DOB=135°，
∴∠A=45°．

【总结升华】本题考查的是平行线的性质，主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力，要结合实际图象画出数学图形，再运用平行线的性质来解决．

举一反三

【变式】已知：如图，BD∥AF∥CE，∠ABD=60°，∠ACE=36°，AP是∠BAF的平分线，求∠PAC的度数．

【答案】

类型二、平行的性质与判定综合应用

6、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝(  )

 A．180°    B．270°    C．360°    D．540°

【答案】C  

【解析】过点C作CD∥AB，

∵ CD∥AB，

∴ ∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)

又∵ EF∥AB

∴ EF∥CD．

∴ ∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)

又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE

∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°

【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+∠CEF＝360°