2021年甘肃省高考（文科）数学一诊试卷 +答案解析

这是一份2021年甘肃省高考（文科）数学一诊试卷 +答案解析，共20页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）
一、选择题（每题5分）.
1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{1，2} B．{﹣1，1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}
2．若复数z满足2i•z＝||，则z＝（　　）
A． B．﹣ C．﹣i D．i
3．下列函数中，在（﹣∞，0）单调递增且图象关于坐标原点对称的是（　　）
A．f（x）＝x+ B．f（x）＝2x+1 C．f（x）＝log2|x| D．f（x）＝x3
4．2020年第三届中国国际进口博览会开幕，时值初冬呼吸系统传染病高发期，防疫检测由上海交通大学附属瑞金医院与上海联通公司合作研发的“5G发热门诊智慧解决方案”完成．该方案基于5G网络技术实现了患者体温检测、人证核验、导诊、诊疗、药品与标本配送的无人化和智能化．5G技术中数学原理之一就是香农公式：C＝Wlog2（1+）．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C（单位bit/s）取决于信道带宽W（单位：HZ）、信道内信号的平均功率S（单位：dB）、信道内部的高斯噪声功率N（单位：dB）的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约是原来的（　　）
A．2倍 B．1.1倍 C．0.9倍 D．0.5倍
5．若向量，满足||＝2，||＝1，且＜，＞＝，则＜﹣，＞＝（　　）
A． B． C． D．
6．已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面．设有四个命题：
p1：若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
p2：若m∥α，n⊥α，则m⊥n；
p3：若m∥α，α⊥β，则m∥β；
p4：若m∥α，m∥β，则α∥β．
则下列复合命题中为真命题的是（　　）
A．p1∧p2 B．￢p1∧p4 C．p2∨p3 D．p3∨p4
7．已知α是第四象限角，且，则tan2α＝（　　）
A． B． C． D．
8．圆x2+y2＝4上任意一点M到直线3x+4y﹣15＝0的距离大于2的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（　　）

A．7，7 B．7，1.2 C．1.1，2.3 D．1.2，5.4
10．在△ABC中，A＝120°，BC＝6，则△ABC的面积的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．3
11．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0cm，外径2.4cm，通高6.0cm，方高4.0cm，则其体积约为（　　）（单位：cm3）

A．23.04﹣3.92π B．34.56﹣3.92π
C．34.56﹣3.12π D．23.04﹣3.12π
12．设F1，F2是双曲线＝1（a＞0）的左、右焦点，一条渐近线方程为y＝x，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则△PF1F2的面积等于（　　）
A．6 B．12 C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线方程为　 　．
14．设a＝log2021，b＝，c＝log2022，则a，b，c的大小关系是　 　.（按照从大到小的顺序排列）
15．抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线经过椭圆＝1的右焦点，则p＝　 　．
16．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，x∈R，有下列命题：
①y＝f（x）的表达式可改写为y＝2cos（2x+）；
②直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可以由函数y＝2sin2x的图象向右平移个单位长度得到；
④满足f（x）≤的x的取值范围是{x|﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z}．
其中正确的命题序号是　 　.（注：把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an，3成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对一切的正整数n，有．
18．如图，已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，△PAD是边长为2的等边三角形，点E是线段PD的中点，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）求三棱锥P﹣AEC的体积．

19．2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分．学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在[165，215]间，并得到如图所示频率分布直方图，计分规则如表：
一分钟跳绳个数
[165，175）
[175，185）
[185，195）
[195，205）
[205，215]
得分
16
17
18
19
20

（1）补全频率分布直方图．若每分钟跳绳成绩为16分，则认为该学生跳绳成绩不合格，求在进行测试的100名学生中跳绳成绩不合格的人数为多少？
（2）学校决定由这次跳绳测试得分最高的学生组成“小小教练员”团队，小明和小华是该团队的成员，现学校要从该团队中派2名同学参加某跳绳比赛，求小明和小华至少有一人被选派的概率．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，离心率e＝，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，若MN⊥B1F2，试求△F1MN内切圆的面积．
21．已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+alnx．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）＝ex﹣（a+2）x+2alnx﹣1﹣2f（x），若g（x）在[1，2]内有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标为（0，2），直线C1的方程为：（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρcos2θ+4cosθ﹣ρ＝0．
（1）将直线C1的方程化为普通方程，曲线C2的方程化为直角坐标方程；
（2）若直线C1过点Q（，﹣1）且交曲线C2于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|PM|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+a|，g（x）＝|x﹣b|．
（1）若a＝1，b＝3，解不等式f（x）+g（x）≥4；
（2）当a＞0，b＞0时，f（x）﹣2g（x）的最大值是3，证明：a2+4b2≥．


参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{1，2} B．{﹣1，1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}
解：因为A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{﹣1，1，2}，
所以A∩B＝{1，2}．
故选：A．
2．若复数z满足2i•z＝||，则z＝（　　）
A． B．﹣ C．﹣i D．i
解：由2i•z＝||＝，
得z＝．
故选：C．
3．下列函数中，在（﹣∞，0）单调递增且图象关于坐标原点对称的是（　　）
A．f（x）＝x+ B．f（x）＝2x+1 C．f（x）＝log2|x| D．f（x）＝x3
解：根据题意，要求函数的图象关于坐标原点对称，则该函数为奇函数，依次分析选项：
对于A，f（x）＝x+，在区间（﹣∞，0）上，有f（﹣2）＝f（﹣），则f（x）在（﹣∞，0）上不是减函数，不符合题意，
对于B，f（x）＝2x+1，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意，
对于C，f（x）＝log2|x|，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数，不符合题意，
对于D，f（x）＝x3，是幂函数，是奇函数且在（﹣∞，0）单调递增，符合题意；
故选：D．
4．2020年第三届中国国际进口博览会开幕，时值初冬呼吸系统传染病高发期，防疫检测由上海交通大学附属瑞金医院与上海联通公司合作研发的“5G发热门诊智慧解决方案”完成．该方案基于5G网络技术实现了患者体温检测、人证核验、导诊、诊疗、药品与标本配送的无人化和智能化．5G技术中数学原理之一就是香农公式：C＝Wlog2（1+）．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C（单位bit/s）取决于信道带宽W（单位：HZ）、信道内信号的平均功率S（单位：dB）、信道内部的高斯噪声功率N（单位：dB）的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约是原来的（　　）
A．2倍 B．1.1倍 C．0.9倍 D．0.5倍
解：由题意可知≈1.1，
故选：B．
5．若向量，满足||＝2，||＝1，且＜，＞＝，则＜﹣，＞＝（　　）
A． B． C． D．
解：因为向量，满足||＝2，||＝1，且＜，＞＝，
∴|﹣|＝＝＝，
∴cos＜﹣，＞＝＝＝0，
又因为向量的夹角θ∈[0，π]．
∴＜﹣，＞＝，
故选：B．
6．已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面．设有四个命题：
p1：若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
p2：若m∥α，n⊥α，则m⊥n；
p3：若m∥α，α⊥β，则m∥β；
p4：若m∥α，m∥β，则α∥β．
则下列复合命题中为真命题的是（　　）
A．p1∧p2 B．￢p1∧p4 C．p2∨p3 D．p3∨p4
解：m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面．
p1：若m∥α，m⊥n，则n⊥α也可能n∥α，也可能n与α相交，所以它是假命题．
p2：若m∥α，n⊥α，则m⊥n，正确、
p3：若m∥α，α⊥β，则m∥β也可能m⊂β，也可能m与β相交，所以它是假命题；
p4：若m∥α，m∥β，则α∥β，也可能α与β相交，所以它是假命题．
所以p2∨p3是真命题．
故选：C．
7．已知α是第四象限角，且，则tan2α＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵α是第四象限角，且，
∴cosα＝，tanα＝＝﹣，
∴tan2α＝＝＝﹣．
故选：B．
8．圆x2+y2＝4上任意一点M到直线3x+4y﹣15＝0的距离大于2的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：圆x2+y2＝4的圆心O（0，0）到直线3x+4y﹣15＝0的距离为d＝|OC|＝＝3，
如图所示：

上的点到直线3x+4y﹣15＝0的距离小于或等于2，
所以OD＝3﹣2＝1，OA＝2，所以∠AOD＝，∠AOB＝，
所以圆上任意一点M到直线3x+4y﹣15＝0的距离大于2的概率为
P＝1﹣＝．
故选：C．
9．甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（　　）

A．7，7 B．7，1.2 C．1.1，2.3 D．1.2，5.4
解：实线的数据为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，
虚线的数据为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，
所以实线数据的平均数为，
实线的方差为＝5.4，
同理可求出虚线的平均数为7，方差为1.2，
所以甲、乙两人中靶环数的方差分别为1.2，5.4．
故选：D．
10．在△ABC中，A＝120°，BC＝6，则△ABC的面积的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．3
解：由题意，由余弦定理可得36＝b2+c2﹣2bccos120°，
∴b2+c2+bc＝36，
∵b2+c2≥2bc，
∴3bc≤36，可得bc≤12，当且仅当b＝c时等号成立，
∴S＝bcsin120°≤3，当且仅当b＝c时等号成立，即△ABC面积的最大值是3．
故选：D．
11．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0cm，外径2.4cm，通高6.0cm，方高4.0cm，则其体积约为（　　）（单位：cm3）

A．23.04﹣3.92π B．34.56﹣3.92π
C．34.56﹣3.12π D．23.04﹣3.12π
解：由题意，该玉琮的体积V为底面边长为2.4cm，高为6cm的长方体的体积减去底面直径为2cm，高为2cm的圆柱的体积，
再加上底面直径为2.4cm，高为6cm的圆柱的体积．
则V＝2.42×6﹣π×（）2×6+π×（）2×2＝23.04﹣6π+2.88π＝23.04﹣3.12π（cm3）．
故选：D．
12．设F1，F2是双曲线＝1（a＞0）的左、右焦点，一条渐近线方程为y＝x，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则△PF1F2的面积等于（　　）
A．6 B．12 C． D．
解：由双曲线的方程和一条渐近线方程为y＝x，可得＝＝，
所以可得离心率e2＝1+＝，而b2＝6，所以可得a2＝4，
因为|PF1|＝3|PF2|，因为|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以可得|PF1|＝3a，|PF2|＝a，
设∠F1PF2＝θ，则cosθ＝＝﹣e2＝﹣•＝0，所以θ＝，
所以sinθ＝1，
所以S＝•3a•a•sinθ＝×3×4×1＝6，
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线方程为　y＝2x+1　．
解：∵y＝ex+x，
∴y′＝ex+1，
∴曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线的斜率为：k＝2，
∴曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线的方程为：y﹣1＝2x，即y＝2x+1．
故答案为：y＝2x+1．
14．设a＝log2021，b＝，c＝log2022，则a，b，c的大小关系是　b＞a＞c　.（按照从大到小的顺序排列）
解：∵a＝log2021＝log20212022∈（0，1），
b＝＞20210＝1，
c＝log2022＜log20221＝0，
∴b＞a＞c．
故答案为：b＞a＞c．
15．抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线经过椭圆＝1的右焦点，则p＝　4　．
解：椭圆＝1的右焦点（2，0），
抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线经过椭圆＝1的右焦点，
可得，解得p＝4．
故答案为：4．
16．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，x∈R，有下列命题：
①y＝f（x）的表达式可改写为y＝2cos（2x+）；
②直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可以由函数y＝2sin2x的图象向右平移个单位长度得到；
④满足f（x）≤的x的取值范围是{x|﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z}．
其中正确的命题序号是　①④　.（注：把你认为正确的命题序号都填上）
解：函数f（x）＝cos2x﹣sin2x＝2（cos2x﹣sin2x）＝2cos（2x+），x∈R，故①正确；
当x＝时，2x+＝，cos（2x+）＝0，故x＝不是f（x）的对称轴，故②错误；
由函数y＝2sin2x的图像向右平移个单位得到函数：
y＝2sin2（x﹣）＝2sin（2x﹣）≠2cos（2x+），故③错误；
由f（x）≤，即cos（2x+）≤，解得+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
所以，+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故④正确．
故答案为：①④．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an，3成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对一切的正整数n，有．
解：（1）由Sn，an，3成等差数列，
可得2an＝3+Sn，
当n＝1时，2a1＝3+S1＝3+a1，
解得a1＝3，
当n≥2时，2an﹣1＝3+Sn﹣1，又2an＝3+Sn，
两式相减可得2an﹣2an﹣1＝3+Sn﹣3﹣Sn﹣1＝an，
即有an＝2an﹣1，
所以{an}是以3为首项，2为公比的等比数列，
可得an＝3•2n﹣1；
（2）证明：由（1）可得＝＝•（）n，
所以++…+＝（++…+）
＝×＝（1﹣）＜，
故对一切的正整数n，有．
18．如图，已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，△PAD是边长为2的等边三角形，点E是线段PD的中点，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）求三棱锥P﹣AEC的体积．

【解答】（1）证明：连接BD，设BD∩AC＝O，连接OE，
因为底面ABCD是矩形，
所以O为BD的中点，
又因为E是PD的中点，
所以OE为△PBD的中位线，
所以OE∥PB，
因为PB⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
所以PB∥平面AEC；
（2）解：在正方形ABCD中，CD⊥AD，
又因为平面PAD∩平面ABCD＝AD，
且平面PAD⊥平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，
因为△PAD为等边三角形，且E为线段PD的中点，
所以S△PAE＝S△PAD＝××2×2×＝，
所以VP﹣AEC＝VC﹣PAE＝S△PAE•CD＝××2＝．

19．2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分．学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在[165，215]间，并得到如图所示频率分布直方图，计分规则如表：
一分钟跳绳个数
[165，175）
[175，185）
[185，195）
[195，205）
[205，215]
得分
16
17
18
19
20

（1）补全频率分布直方图．若每分钟跳绳成绩为16分，则认为该学生跳绳成绩不合格，求在进行测试的100名学生中跳绳成绩不合格的人数为多少？
（2）学校决定由这次跳绳测试得分最高的学生组成“小小教练员”团队，小明和小华是该团队的成员，现学校要从该团队中派2名同学参加某跳绳比赛，求小明和小华至少有一人被选派的概率．
解：（1）如图补全频率分布直方图如下：

若一分钟跳绳成绩为16分，则一分钟跳绳个数在[165，175），
根据频率分布直方图100名学生中跳绳成绩不合格人数为：
100×0.005×10＝5（人）．
（2）跳绳测试得分最高的学生一分钟跳绳个数在[205，215]，
根据频率分布直方图，其人数为：
100×0.006×10＝6（人），
记小明为m，小华为h，其余四人为a，b，c，d，
则在这六人中选两人参加比赛的所有情况如下：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，m），（a，h），（b，c），（b，d），（b，m），（b，h），
（c，d），（c，m），（c，h），（d，m），（d，h），（m，h），共15种，
其中小明和小华至少有一个被选派的情况有：
（a，m），（a，h），（b，m），（b，h），（c，m），（c，h），（d，m），（d，h），（m，h），共9种，
∴小明和小华至少有一人被选派的概率为：P＝＝．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，离心率e＝，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，若MN⊥B1F2，试求△F1MN内切圆的面积．
解：（1）由题意可得，
又a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的方程为+＝1．
（2）由B1（0，），F2（1，0），知B1F2的斜率为﹣，
因为MN⊥B1F2，故MN的斜率为，
则直线l的方程为y＝（x﹣1），即x＝y+1，
联立，得13y2+6y﹣9＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，
则△F1MN的面积为S＝c•|y1﹣y2|＝＝，
则△F1MN的周长L＝4a＝8，
即S＝LR，得内切圆R＝＝，
所以△F1MN的内切圆面积为πR2＝π．
21．已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+alnx．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）＝ex﹣（a+2）x+2alnx﹣1﹣2f（x），若g（x）在[1，2]内有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝x﹣（a+1）+＝＝，
①当0＜a＜1时，令f′（x）＜0，得到a＜x＜1；令f′（x）＞0，得到0＜x＜a或x＞1，
此时f（x）在（a，1）上为减函数，在（0，a）和（1，+∞）上为增函数；
②当a＝1时，显然f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上为增函数；
③当a＞1时，令f′（x）＜0，得到1＜x＜a，令f′（x）＞0，得到0＜x＜1或x＞a，
此时f（x）在（1，a）上为减函数，在（0，1）或（a，+∞）上为增函数；
综上：当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）上为减函数，在（0，a）和（1，+∞）上为增函数；
当a＝1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＞1时，f（x）在（1，a）上为减函数，在（0，1）和（a，+∞）上为增函数．
（2）g（x）＝ex﹣（a+2）x+2alnx﹣1﹣2f（x）＝ex﹣x2+ax﹣1，
g（x）在[1，2]上有且仅有一个零点，即关于x的方程a＝在[1，2]上有且仅有一个实数根，
令h（x）＝，x∈[1，2]，则h′（x）＝，
令p（x）＝x+1﹣ex，x∈[1，2]，则p′（x）＝1﹣ex＜0，故p（x）在[1，2]上单调递减，
所以p（x）≤p（1）＝2﹣e＜0，即当x∈[1，2]时，h′（x）≤0，所以h（x）在[1，2]上单调递减，
又h（1）＝2﹣e，h（2）＝，则≤h（x）≤2﹣e，
所以a的取值范围是[，2﹣e]．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标为（0，2），直线C1的方程为：（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρcos2θ+4cosθ﹣ρ＝0．
（1）将直线C1的方程化为普通方程，曲线C2的方程化为直角坐标方程；
（2）若直线C1过点Q（，﹣1）且交曲线C2于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|PM|．
解：（1）直线C1的方程为：（其中t为参数）消去参数转换为普通方程为xsinα﹣ycosα+2cosα＝0；
曲线C2的极坐标方程为：ρcos2θ+4cosθ﹣ρ＝0，根据转换为直角坐标方程为．
（2）直线C1过点Q（，﹣1），所以把点的坐标代入xsinα﹣ycosα+2cosα＝0；得到，
所以，
所以直线的参数方程为（t为参数），
代入，
得到，
则，
根据参数的几何意义：|PM|＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+a|，g（x）＝|x﹣b|．
（1）若a＝1，b＝3，解不等式f（x）+g（x）≥4；
（2）当a＞0，b＞0时，f（x）﹣2g（x）的最大值是3，证明：a2+4b2≥．
【解答】（1）解：当a＝1，b＝3时，f（x）+g（x）＝|2x+1|+|x﹣3|＝，
当x≤﹣时，由2﹣3x≥4，解得x≤﹣；
当﹣＜x≤3时，x+4≥4，解得0≤x≤3；
当x＞3时，由3x﹣2≥4，解得x＞3，
所以不等式f（x）+g（x）≥4的解集为（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）．
（2）证明：当a＞0，b＞0时，由不等式的基本性质，
得f（x）﹣2g（x）＝|2x+a|﹣|2x﹣2b|≤|2x+a﹣2x+2b|＝a+2b，
所以a+2b＝3，
因为≤，即3≤，所以a2+4b2≥．
另解：根据柯西不等式，得（12+12）[a2+（2b）2]≥（a+2b）2＝9，
即a2+4b2≥，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取得等号．