2020年甘肃省理科数学一诊试卷+答案

这是一份2020年甘肃省理科数学一诊试卷+答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题
1．已知A＝{x||x|＜1}，B＝{x|2x＜1}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，1）
2．已知：z＝i（3﹣2i），则z•z=（　　）
A．5 B．5 C．13 D．13
3．已知平面向量a→，b→满足a→=(1，-2)，b→=(-3，t)，且a→⊥(a→+b→)，则|b→|=（　　）
A．3 B．10 C．23 D．5
4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M(2，22)，焦点为F．则直线MF的斜率为（　　）
A．22 B．24 C．22 D．-22
5．函数f(x)=ln|x|+cos2xx2的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过圆E：x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则双曲线的C的离心率为（　　）
A．52 B．5 C．2 D．2
7．5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：%）的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为ŷ=0.042x-â．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C手机市场占有率能超过0.5%（　　）（精确到月）

A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月
8．设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
②若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；
③若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β；
④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
9．定义在R上的偶函数f（x），对∀x1，x2∈（﹣∞，0）．且x1≠x2，有f(x2)-f(x1)x2-x1＞0成立，已知a＝f（lnπ），b＝f(e-12)，c=f(log216)，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
10．将函数f(x)=sin(x+π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移π3个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）图象的一个对称中心为（　　）
A．(π12，0) B．(π4，0) C．（π，0） D．(4π3，0)
11．若(3x+1x)n的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（　　）
A．85 B．84 C．57 D．56
12．若函数f（x）＝e|x|﹣mx2有且只有4个不同的零点．则实数m的取值范围是（　　）
A．[e24，+∞) B．(e24，+∞) C．(-∞，e24) D．(-∞，e24]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．实数x，y满足约束条件x-y+1≥0x+2y-2≤0y+2≥0，则z＝x﹣2y的最大值为　 　．
14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种　 　．
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cosB+3sinB﹣2＝0，且b＝1，则△ABC周长的范围为　 　．
16．1611年，约翰内斯•开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯•黑尔斯（ThomasHales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共　 　个，最上面球的球顶距离地面的高度约为　 　cm（排球的直径约为21cm）．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．数列{an}满足a1＝1，an是﹣1与an+1的等差中项．
（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an+2n}的前n项和Sn．
18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为棱B1C1的中点．
（1）画出过点E且与直线A1C垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；
（2）求BD1与该平面所成角的正弦值．

19．某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时．
（1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望E（ξ）；
（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额．
20．椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F（2，0），过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为32．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（2，0）且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点．O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，求四边形OMAN面积的最大值．
21．已知函数f(x)=ax-(a+1)lnx-1x+2（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）单调性；
（2）当a＝﹣2时，求证：f(x)＜ex-2x-1x．
（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy，曲线C1的参数方程为：x=1+cosαy=sinα（α为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=23sinθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若直线l：y＝kx（k＞0）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|+|OB|取得最大值时直线l的直角坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|，不等式f（x）+f（x﹣1）＜5的解集为{x|m＜x＜n}．
（1）求实数m，n的值；
（2）若x＞0，y＞0，nx+y+m＝0，求证：x+y≥9xy．


参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知A＝{x||x|＜1}，B＝{x|2x＜1}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，1）
【分析】分别求出A，B即可求得结论．
解：因为A＝{x||x|＜1}＝（﹣1，1），
B＝{x|2x＜1}＝（﹣∞，0），
则A∪B＝（﹣∞，1）．
故选：D．
2．已知：z＝i（3﹣2i），则z•z=（　　）
A．5 B．5 C．13 D．13
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z⋅z=|z|2求解．
解：由z＝i（3﹣2i）＝2+3i，
得z•z=|z|2=(13)2=13．
故选：C．
3．已知平面向量a→，b→满足a→=(1，-2)，b→=(-3，t)，且a→⊥(a→+b→)，则|b→|=（　　）
A．3 B．10 C．23 D．5
【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求出t的值，再根据求向量的模的方法，求出|b→|．
解：∵平面向量a→，b→满足a→=(1，-2)，b→=(-3，t)，且 a→⊥(a→+b→)，
∴a→•（a→+b→）＝（1，﹣2）•（﹣2，t﹣2）＝﹣2+（﹣2）•（t﹣2）＝0，
求得t＝1，∴b→=（﹣3，1），则|b→|=9+1=10，
故选：B．
4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M(2，22)，焦点为F．则直线MF的斜率为（　　）
A．22 B．24 C．22 D．-22
【分析】由点M在抛物线上，代入抛物线的方程可得p的值，进而求出焦点F的坐标，由两个点的坐标求出直线MF的斜率．
解：由题意可得（22）2＝2p•2所以p＝2，
所以抛物线的方程为：y2＝4x，
所以焦点F（1，0），
所以kMF=222-1=22，
故选：A．
5．函数f(x)=ln|x|+cos2xx2的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先判断函数的奇偶性，可知函数为偶函数，即可排除BC；再利用f（1）＞0，可排除D，进而得出正确选项．
解：函数的定义域为{x|x≠0}，且f(-x)=ln|-x|+cos(-2x)(-x)2=ln|x|+cos2xx2=f(x)，故f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除BC；
又f(1)=ln1+cos21=cos2＜0，可排除D．
故选：A．
6．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过圆E：x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则双曲线的C的离心率为（　　）
A．52 B．5 C．2 D．2
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程为y＝±bax，求出圆E的圆心，分析可得双曲线的一条渐近线方程为y＝﹣2x，则有ba=2，即b＝2a，由双曲线的几何性质可得c=5a，由离心率公式计算可得答案．
解：根据题意，双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，
则其渐近线方程为y＝±baxx，
圆E：x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心为（﹣1，2），若双曲线的渐近线经过圆E的圆心，
则双曲线的一条渐近线方程为y＝﹣2x，
则有ba=2，即b＝2a，
则c2＝a2+b2＝5a2，即c=5a，
则双曲线的离心率e=ca=5．
故选：B．
7．5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：%）的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为ŷ=0.042x-â．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C手机市场占有率能超过0.5%（　　）（精确到月）

A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月
【分析】根据表中数据求出x，y，求出线性回归方程y＝0.042x﹣0.026，求出x＝13时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%．
解：根据表中数据，得x=1+2+3+4+55=3，
y=15（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）＝0.1，
∴0.1＝0.042×3﹣a，a＝0.026，
所以线性回归方程为y＝0.042x﹣0.026，
由0.042x﹣0.026＞0.5，得x≥13，
预计上市13个月时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%，
故选：C．
8．设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
②若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；
③若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β；
④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【分析】在①中，m与n相交、平行或异面；在②中，由线面垂直的性质定理得m∥α；在③中，n与β相交、平行或n⊂β；在④中，由线面垂直的判定定理得m⊥β．
解：由m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．知：
在①中，若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故①错误；
在②中，若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则由线面垂直的性质定理得m∥α，故②正确；
在③中，若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n与β平行或n⊂β，故③错误；
在④中，若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．
故选：C．
9．定义在R上的偶函数f（x），对∀x1，x2∈（﹣∞，0）．且x1≠x2，有f(x2)-f(x1)x2-x1＞0成立，已知a＝f（lnπ），b＝f(e-12)，c=f(log216)，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】由定义在R上的偶函数f（x），对∀x1，x2∈（﹣∞，0）．且x1≠x2，有f(x2)-f(x1)x2-x1＞0成立可得函数f（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，再比较lnπ，e-12，log216的大小，可得a，b，c的大小关系．
解：定义在R上的偶函数f（x），对∀x1，x2∈（﹣∞，0）．且x1≠x2，有f(x2)-f(x1)x2-x1＞0成立，
可得f（x）在x∈（﹣∞，0）单调递增，所以f（x）在（0，+∞）单调递减；
因为1＜lnπ＜2，0＜e-12＜1，所以a＝f（lnπ）＜b＝f（e-12），
∵﹣3＝log218＜log216＜log214=-2，c＝f（log216）＝f（﹣log216）∈（2，3），所以c＜a，
故选：A．
10．将函数f(x)=sin(x+π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移π3个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）图象的一个对称中心为（　　）
A．(π12，0) B．(π4，0) C．（π，0） D．(4π3，0)
【分析】利用三角函数的伸缩和平移变换可将函数f(x)=sin(x+π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍可得函数f1（x）＝sin（12x+π6）．再将图象向左平移π3个单位长度，得到函数y＝g（x）＝sin[12（x+π3）+π6]＝sin（12x+π3）的图象，令12x+π3=kπ，k∈Z，则x＝2kπ-2π3，k∈Z，当k＝1时，x=4π3，可得答案，
解：将函数f(x)=sin(x+π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍可得函数f1（x）＝sin（12x+π6）．
再将图象向左平移π3个单位长度，得到函数y＝g（x）＝sin[12（x+π3）+π6]＝sin（12x+π3）的图象，
令12x+π3=kπ，k∈Z，则x＝2kπ-2π3，k∈Z，
当k＝1时，x=4π3，
则函数y＝g（x）图象的一个对称中心为（4π3，0）
故选：D．
11．若(3x+1x)n的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（　　）
A．85 B．84 C．57 D．56
【分析】根据二项式系数和求出n＝8，结合二项式定理求出通项公式，结合有理数项进行求解即可．
解：∵二项式系数和为256，∴2n＝256，得n＝8，
则展开式的通项公式为Tk+1＝C8k（3x）n﹣k（1x）k＝C8k（3x）8﹣k（1x）k＝C8kx8-k3-k═C8kx8-4k3，
当k＝2时，对应的有理项为，C82=28，
当k＝5时，对应的有理项为，C85x﹣4＝56x﹣4，
当k＝8时，对应的有理项为，x﹣8，
则二项式展开式中有理项系数之和为28+56+1＝85，
故选：A．
12．若函数f（x）＝e|x|﹣mx2有且只有4个不同的零点．则实数m的取值范围是（　　）
A．[e24，+∞) B．(e24，+∞) C．(-∞，e24) D．(-∞，e24]
【分析】分析可得ex＝mx2有两个不同的正根，令h（x）=exx2，利用导数即可求得实数m的取值范围
解：f（x）有且只有4个不同的零点等价于偶函数y＝e|x|与偶函数y＝mx2的图象有且只有4个不同的交点，即ex＝mx2有两个不同的正根，
令h（x）=exx2，则h′（x）=ex(x-2)x3，x∈（0，2）时，h′（x）＜0，x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，
∴函数h（x）在（0，2）上单减，在（2，+∞）上单增，此时h（x）min＝h（2）=e24；
又∵当x→0时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，
∴m＞e24．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．实数x，y满足约束条件x-y+1≥0x+2y-2≤0y+2≥0，则z＝x﹣2y的最大值为　10　．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z＝x﹣2y过点（6，2）时，z最大值即可．
解：实数x，y满足约束条件x-y+1≥0x+2y-2≤0y+2≥0，画出可行域，如图：
由z＝x﹣2y可得y=12x-12z，则直线在y轴上的截距越小，z越大
然后平移直线L：0＝x﹣2y，
当直线z＝x﹣2y过点A时z最大
由y+2=0x+2y-2=0可得A（6，﹣2）时，z最大值为10
故答案为：10．

14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种　1344　．
【分析】先排数学，然后根据不相邻问题排英语，结合排列组合的公式进行计算即可．
解：从生物、历史、地理、政治四科中选排一节，有4种方法，
若数学排第一节，则英语可以排3，4，5，6节，其余全排列，此时有4×A44，
若数学排第二节，则英语可以排4，5，6节，其余全排列，此时有3×A44，
若数学排第三节，则英语可以排1，5，6节，其余全排列，此时有3×A44，
若数学排第四节，则英语可以排1，2，5，6节，其余全排列，此时有4×A44，
则共有4（4×A44+3×A44+3×A44+4×A44）＝4×14×A44=4×14×24＝1344，
故答案为：1344
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cosB+3sinB﹣2＝0，且b＝1，则△ABC周长的范围为　（2，3）　．
【分析】由已知结合辅助角公式进行化简可求B，然后结合余弦定理及基本不等式可求a+c的范围，再结合三角形的两边之和大于第三边可求．
解：因为cosB+3sinB﹣2＝0，
所以2sin（B+π6）＝2即sin（B+π6）＝1，
所以B=13π，
因为b＝1，
由余弦定理可得，1＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac≥(a+c)2-3×(a+c2)2，
解可得，a+c≤2，当且仅当a＝c时取等号，
所以a+b+c＝1+a+c≤3，
又a+c＞b＝1，
所以a+b+c＞2，
故2＜a+b+c≤3，
故答案为：（2，3]．
16．1611年，约翰内斯•开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯•黑尔斯（ThomasHales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共　20　个，最上面球的球顶距离地面的高度约为　21(6+1)　cm（排球的直径约为21cm）．

【分析】（1）由堆积方式可以判断球的个数，
（2）由连接位于四个顶点的球的球心，得到一个棱长为63cm的正四面体O1﹣O2O3O4，求其高，再加21则为所求．
解：（1）由下往上数依次有10，6，3，1，共有20个，
（2）连接位于四个顶点的球的球心，得到一个棱长为63cm的正四面体O1﹣O2O3O4，如图：
取O3O4的中点E，
△O2O3O4的重心F，连接O1F，则O1F⊥平面O2O3O4，
O2E=6332，
O2F=6332×23=213，
O1F=612-(213)2=216，
所以最上面球的球质距离地面的高度约为21(6+1)
故答家为：20，21(6+1)．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．数列{an}满足a1＝1，an是﹣1与an+1的等差中项．
（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an+2n}的前n项和Sn．
【分析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）求得an+2n＝2n+2n﹣1，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，化简可得所求和．
解：（1）证明：an是﹣1与an+1的等差中项，可得2an＝an+1﹣1，即an+1＝2an+1，
可化为an+1+1＝2（an+1），又a1＝1，
故数列{an+1}是首项和公比均为2的等比数列，即有an+1＝2•2n﹣1＝2n，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1；
（2）由（1）可得an+2n＝2n+2n﹣1，
则Sn＝（2+4+8+…+2n）+（1+3+5+…+2n﹣1）=2(1-2n)1-2+12n（1+2n﹣1）
＝2n+1+n2﹣2．
18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为棱B1C1的中点．
（1）画出过点E且与直线A1C垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；
（2）求BD1与该平面所成角的正弦值．

【分析】（1）截面如下图所示，其中F，G，H，I，J为棱的中点，满足A1C⊥平面EFGHIJ．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系．设平面EFGHIJ的一个法向量为n→=（x，y，z）．可得n→•HI→=n→•HG→=0，利用向量夹角公式即可得出．
解：（1）截面如下图所示，其中F，G，H，I，J为棱的中点，则A1C⊥平面EFGHIJ．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系．则B（2，2，0），D1（0，0，2），H（1，0，0），I（2，1，0），G（0，0，1）．
∴BD1→=（﹣2，﹣2，2），HI→=（1，1，0），HG→=（﹣1，0，1）．
设平面EFGHIJ的一个法向量为n→=（x，y，z）．则n→•HI→=n→•HG→=0，
∴x+y＝0，﹣x+z＝0．取n→=（1，﹣1，1），则cos＜BD1→，n→＞=212×3=13．
∴BD1与该平面所成角的正弦值为13．


19．某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时．
（1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望E（ξ）；
（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额．
【分析】（1）易得ξ可能取值为0，20，40，60，80，求出对应的概率，进而得到分布列，由此求得期望；
（2）结合（1）可知营业额预计为40×300×12=6000（元）．
解：（1）由题意，ξ可能取值为0，20，40，60，80，且
P(ξ=0)=14×16=124，P(ξ=20)=14×23+16×12=14，P(ξ=40)=14×16+12×23+16×14=512，P(ξ=60)=12×16+14×23=14，P(ξ=80)=14×16=124，
故ξ的分布列为
ξ
0
20
40
60
80
P
124
14
512
14
124
∴ξ的数学期望为E(ξ)=0×124+20×14+40×512+60×14+80×124=40（元）；
（2）此次促销活动后健生馆每天的营业额预计为40×300×12=6000（元）．
20．椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F（2，0），过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为32．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（2，0）且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点．O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，求四边形OMAN面积的最大值．
【分析】（1）根据题意可求出参数，
（2）设直线，联立与椭圆方程，可以知坐标的关系，转化面积，求最值．
解：（1）由题意知，c=2，a=22，b=6，
所以椭圆的方程为x28+y26=1，
（2）设直线MN的方程为x＝my+2，
联立直线与椭圆得（3m2+4）y2+12my﹣12＝0，
所以y1+y2=-12m3m2+4，y1y2=-123m2+4，
所以S四边形OMAN＝S△OAM+S△OAN=12×22|y1|+12×22|y2|=2|y1-y2|=2(y1+y2)2-4y1y2=833m2+23m2+4．
令t=3m2+2，则t≥2，
所以S四边形OMAN=83tt2+2=83t+2t，
因t≥2，则t+2t≥22，
所以S四边形OMAN≤26，当且仅当t=2，即m＝0时取等号．
即四边形OMAN面积的最大值26．
21．已知函数f(x)=ax-(a+1)lnx-1x+2（a∈一、选择题）．
（1）讨论函数f（x）单调性；
（2）当a＝﹣2时，求证：f(x)＜ex-2x-1x．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性；
（2）问题可转化为要证lnx+2＜ex，结合不等式的特点，可考虑构造函数，结合导数可证．
解：（1）函数的定义域（0，+∞），f′(x)=a-a+1x+1x2=ax2-(a+1)x+1x2=(ax-1)(x-1)x2，
①当a≤0时，由f′（x）＜0可得x＞1，由f′（x）＜0可得0＜x＜1，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
②0＜a＜1时，由f′（x）＜0可得1＜x＜1a，由f′（x）＞0可得0＜x＜1或x＞1a，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，1a）上单调递减，（1a，+∞）上单调递增，
③当a＝1时，f′(x)=(x-1)2x≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
④当a＞1时，由f′（x）＜0可得1a＜x＜1，由f′（x）＞0可得x＞1或x＜1a，
所以f（x）在（0，1a）上单调递增，在（1a，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，
（2）证明：当a＝﹣2时，要证：f(x)＜ex-2x-1x，只要证lnx+2＜ex，
令g（x）＝lnx﹣ex+2，x＞0，则g′(x)=1x-ex在（0，+∞）上单调递减，且x→0时，g（x）＞0，g′（1）＝1﹣e＜0
故存在x0∈（0，1）使得1x0=ex0即x0＝﹣lnx0，使得g′（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，函数单调递减，
故g（x）max＝g（x0）＝lnx0-ex0+2＝﹣x0-1x0+2=2﹣（x0+1x0），
因为x0∈（0，1），x0+1x0＞2，
所以g（x）max＜﹣2+2＝0，即g（x）＜0
故当a＝﹣2时，求证：f(x)＜ex-2x-1x成立．
（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy，曲线C1的参数方程为：x=1+cosαy=sinα（α为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=23sinθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若直线l：y＝kx（k＞0）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|+|OB|取得最大值时直线l的直角坐标方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
解：（1）曲线C1的参数方程为：x=1+cosαy=sinα（α为参数），转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，转换为极坐标方程为ρ＝2cosθ．
曲线C2的极坐标方程为ρ=23sinθ．转换为直角坐标方程为x2+(y-3)2=3．
（2）直线l：y＝kx（k＞0）转换为极坐标方程为θ＝α（0＜α＜π2）与曲线C1交于O，A两点，
所以ρ=2cosθθ=α，得到|OA|＝2cosα，
曲线C2交于O，B两点，所以ρ=23cosθθ=α，则|OB|＝23sinα，
所以|OA|+|OB|=2cosα+23sinα=4sin(α+π6)，当α=π3时，|OA|+|OB取得最大值．
此时l的极坐标方程为θ=π3，即直角坐标方程为y=3x．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|，不等式f（x）+f（x﹣1）＜5的解集为{x|m＜x＜n}．
（1）求实数m，n的值；
（2）若x＞0，y＞0，nx+y+m＝0，求证：x+y≥9xy．
【分析】（1）由题意可得|x﹣1|+|x﹣2|＜5，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，即可得到原不等式的解集，进而得到m，n的值；
（2）由（1）可得4x+y＝1，运用乘1法和基本不等式，证得1x+1y≥9，
解：（1）f（x）+f（x﹣1）＜5即为|x﹣1|+|x﹣2|＜5，
等价为x≤11-x+2-x＜5或1＜x＜2x-1+2-x＜5或x≥2x-1+x-2＜5，
解得﹣1＜x≤1或1＜x＜2或2≤x＜4，
所以原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜4}，
由题意可得m＝﹣1，n＝4；
（2）证明：由（1）可得4x+y＝1，
由x＞0，y＞0，可得1x+1y=（4x+y）（1x+1y）＝5+yx+4xy≥5+2yx⋅4xy=9，
当且仅当y＝2x=13时等号成立，
故1x+1y≥9，即x+y≥9xy．