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2017-2018学年陕西省西安市新城区汇知中学八年级（下）期中数学试卷
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这是一份2017-2018学年陕西省西安市新城区汇知中学八年级（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年陕西省西安市新城区汇知中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合要求的）
1．（3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．+2＞3 B．x2＞16 C．3x+y≤9 D．（x﹣3）＜0
2．（3分）把多项式6a2b2﹣18ab2分解因式时，应提出的公因式是（ ）
A．6a2b B．6ab2 C．a2b2 D．18ab2
3．（3分）解不等式的下列过程中错误的是（ ）
A．去分母得9（2+x）＞7（3x﹣1）
B．去括号得18+9x＞21x﹣7
C．移项，合并同类项得﹣12x＞﹣25
D．系数化为1，得
4．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x＜1 B．x≥3 C．1＜x≤3 D．1≤x＜3
5．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转64°后得到△A′OB，若∠AOB＝20°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．24° B．30° C．36° D．44°
6．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a+b﹣c）
B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．2x2y+2xy2＝2xy（x+y）
D．12x2y3﹣18xy3＝3xy3（4x﹣6）
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝55°，∠B＝45°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
8．（3分）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝15，DF＝3，AC＝5，则AB的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与y2＝kx+4的图象相交于点P（1.5，3.5），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞4 B．x＞0 C．x＞1.5 D．x＜1.5
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，将△ABC沿直线BC向右平移6.5个单位长度得到△DEF，连接AD、AE，则下列结论中不成立的是（ ）
A．AD∥BE，AD＝BE B．∠ABE＝∠DEF
C．ED⊥AC D．AE＝DE＝AD
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）已知a、b是常数且a＜0，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是 ．
12．（3分）如图，AD是△ABC的中线，将△ABC沿射线BC方向平移5cm得到△EDF，则DC的长为 cm．
13．（3分）已知多项式x2+px+q可分解为（x+5）（x﹣3），则p＝ ，q＝ ．
14．（3分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ．
三、解答题（共10小题，计78分，解答时写出过程）
15．（6分）解下列不等式
（1）2（1﹣x）＞3x﹣8；
（2）1﹣．
16．（6分）解下列不等式组
（1）；
（2）．
17．（5分）如图，△ABC绕顶点B顺时针旋转140°得△EBD，且连接CD，若∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，求∠BDC的度数．
18．（7分）求当a为何值时，代数式的值不小于代数式4a的值？在数轴上表示解集并求出满足条件的最大整数．
19．（8分）如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形；
（2）画出将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后的图形．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AC、BD为两条对角线，且AC⊥BD，AC＝BD，
（1）把AC平移到DE的位置，方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长；
（2）判断△BDE的形状．
21．（8分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ACB的高，垂足为点D．
（1）求证：∠BCD＝∠CAD；
（2）若点F是△ABC的边BC上一点，连接AF交CD于点E，且∠CEF＝∠CFE．求证：AF平分∠CAB．
22．（8分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE⊥AB于点E且交BC边的延长线于点F，AE＝2，求BF的长．
23．（10分）某文具超市上次购进了A款中性笔和B款中性笔各若干支，其中A款中性笔的单价比B款中性笔的单价贵2元，买100支A款中性笔和100支B款中性笔共用1800元．
（1）求A款中性笔的单价和B款中性笔的单价各是多少元？
（2）若该超市又计划购进两款中性笔共200支，但B款中性笔的单价比上次提高了12.5%，A款中性笔的单价与上次相同，且购进A款中性笔和B款中性笔的总费用不超过1900元，则至少要购进多少支B款中性笔？
24．（12分）如图，在△BAD和△BCE中，∠BAD＝∠BCE＝90°，且AD＝AB，BC＝CE，连接DE，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A、B、C三点在同一直线上时（如图①），求证：AM＝MN；
（2）将图中的△BCE绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时（如图②）．求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图中△BCE绕点B旋转到如图③位置时（即A、B、M在一条直线上），△CAN是否仍为等腰直角三角形？若是，试证明之；若不成立，请说明理由．
2017-2018学年陕西省西安市新城区汇知中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合要求的）
1．（3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．+2＞3 B．x2＞16 C．3x+y≤9 D．（x﹣3）＜0
【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义解答即可．
【解答】解：A、该不等式属于分式不等式，故本选项不合题意；
B、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故本选项不合题意；
C、该不等式中含有2个未知数，属于二元一次不等式，故本选项不合题意；
D、该不等式符合一元一次不等式的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式中的未知数的最高次数为1次．
2．（3分）把多项式6a2b2﹣18ab2分解因式时，应提出的公因式是（ ）
A．6a2b B．6ab2 C．a2b2 D．18ab2
【分析】直接利用公因式的定义，找出公因式进而得出答案．
【解答】解：6a2b2﹣18ab2
＝6ab2（a﹣3），
则应提出的公因式是6ab2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
3．（3分）解不等式的下列过程中错误的是（ ）
A．去分母得9（2+x）＞7（3x﹣1）
B．去括号得18+9x＞21x﹣7
C．移项，合并同类项得﹣12x＞﹣25
D．系数化为1，得
【分析】根据不等式的基本性质，先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，最后系数化1．
【解答】解：解不等式，
去分母得：9（2+x）＞7（3x﹣1）；
去括号得18+9x＞21x﹣7；
移项，合并同类项得﹣12x＞﹣25；
系数化为1，得x＜；
所以，D错；
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1是解答此题的关键；特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．
4．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x＜1 B．x≥3 C．1＜x≤3 D．1≤x＜3
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＞1；
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为1＜x≤3，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转64°后得到△A′OB，若∠AOB＝20°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．24° B．30° C．36° D．44°
【分析】根据旋转的性质可得出∠BOB′＝64°，由∠AOB′＝∠BOB′﹣∠BOA结合∠AOB＝20°，即可求出∠AOB'的度数．
【解答】解：根据旋转的性质，可知：∠AOA′＝∠BOB′＝64°，
∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠BOA＝64°﹣20°＝44°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质以及角的计算，根据旋转的性质找出∠BOB′的度数是解题的关键．
6．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a+b﹣c）
B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．2x2y+2xy2＝2xy（x+y）
D．12x2y3﹣18xy3＝3xy3（4x﹣6）
【分析】首先找出每个多项式的公因式，再提取公因式，找准公因式后，一次要提净，只有公因式的项，提出公因式后，要留1把家守，提走负号的要注意符号的改变．
【解答】解：A、﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c），故此选项错误；
B、x2+xy+x＝x（x+y+1），故此选项错误；
C、2x2y+2xy2＝2xy（x+y），故此选项正确；
D、12x2y3﹣18xy3＝6xy3（2x﹣3），故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，要掌握公因式的找法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝55°，∠B＝45°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
【分析】由三角形内角和定理求得∠A＝80°；由垂直的定义得到∠AED＝∠AFD＝90°；然后根据四边形内角和是360度进行求解．
【解答】解：如图，在△ABC中，∠C＝55°，∠B＝45°，
∴∠A＝80°．
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD＝100°．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质．注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内角和是180°、四边形的内角和是360°．
8．（3分）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝15，DF＝3，AC＝5，则AB的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据角平分线性质求出DF＝DE＝3，根据S△ADB+S△ADC＝7和三角形面积公式求出即可．
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝3，
∴DE＝DF＝3，
∵S△ABC＝15，
∴S△ADB+S△ADC＝15，
∴＝15，
∴＝15，
解得：AB＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
9．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与y2＝kx+4的图象相交于点P（1.5，3.5），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞4 B．x＞0 C．x＞1.5 D．x＜1.5
【分析】观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式x+b＞kx+4的解集．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＞1.5时，一次函数y1＝x+b的图象在y2＝kx+4的图象的上方，
∴关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是x＞1.5．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，将△ABC沿直线BC向右平移6.5个单位长度得到△DEF，连接AD、AE，则下列结论中不成立的是（ ）
A．AD∥BE，AD＝BE B．∠ABE＝∠DEF
C．ED⊥AC D．AE＝DE＝AD
【分析】直接利用平移的性质可对A选项和B选项进行判断；先利用平移的性质得到AB∥DE，再利用AB⊥AC和平行线的性质可判断AC⊥DE，从而可对C选项进行判断；利用DE＝5，AD＝6.5可对D选项进行判断．
【解答】解：∵△ABC沿直线BC向右平移6.5个单位长度得到△DEF，
∴AD∥BE，AD＝BE＝6.5，所以A选项的结论正确；
∠ABC＝∠DEF，所以B选项的结论正确；
∵△ABC沿直线BC向右平移6.5个单位长度得到△DEF，
∴AB∥DE，
而AB⊥AC，
∴DE⊥AC，所以C选项的结论正确；
∵AB＝DE＝5，AD＝BE＝6.5，
∴DE≠AD，所以D选项的结论错误．
故选：D．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）已知a、b是常数且a＜0，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是 x＞﹣ ．
【分析】根据不等式的性质解关于x的不等式．
【解答】解：ax+b＜0，
ax＜﹣b，
因为a＜0，
所以x＞﹣．
故答案为x＞﹣．
【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
12．（3分）如图，AD是△ABC的中线，将△ABC沿射线BC方向平移5cm得到△EDF，则DC的长为 5 cm．
【分析】由AD是△ABC的中线，得到BD＝CD，根据平移的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵将△ABC沿射线BC方向平移5cm得到△EDF，
∴BD＝5，
∴CD＝5cm，
故答案为：5．
【点评】本题考查了平移的性质，三角形中线的定义，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
13．（3分）已知多项式x2+px+q可分解为（x+5）（x﹣3），则p＝ 2 ，q＝ ﹣15 ．
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．
【解答】解：根据题意得：x2+px+q＝（x+5）（x﹣3）＝x2+2x﹣15，
则p＝2，q＝﹣15．
故答案为：2，﹣15．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 a≤1 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解即可得出答案．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜﹣1，
解不等式②得：x＞1﹣2a，
又∵不等式组无解，
∴1﹣2a≥﹣1，
∴a≤1，
故答案为：a≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集得出关于a的不等式是解此题的关键．
三、解答题（共10小题，计78分，解答时写出过程）
15．（6分）解下列不等式
（1）2（1﹣x）＞3x﹣8；
（2）1﹣．
【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集．
【解答】解：（1）去括号得，2﹣2x＞3x﹣8，
移项得，﹣2x﹣3x＞﹣8﹣2，
合并同类项，得﹣5x＞﹣10，
系数化为1得，x＜2；
（2）去分母，得6﹣2（x﹣2）＞3（x+1），
去括号，得6﹣2x+4＞3x+3，
移项，得﹣2x﹣3x＞3﹣6﹣4，
合并同类项，得﹣5x＞﹣7，
系数化为1，得x＜．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，能正确运用不等式的基本性质进行计算是解此题的关键．
16．（6分）解下列不等式组
（1）；
（2）．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式（x+4）＞2，得：x＞0，
解不等式2x+6≥3x+3，得：x≤3，
则不等式组解集为0＜x≤3．
（2）解不等式3x﹣3≥2x+7，得：x≥10，
解不等式＜3﹣x，得：x＜1，
则不等式组无解．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（5分）如图，△ABC绕顶点B顺时针旋转140°得△EBD，且连接CD，若∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，求∠BDC的度数．
【分析】根据旋转的性质得到BD＝CB，由等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠BDC，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC绕着顶点B顺时针旋转140°得△EBD，
∴BD＝CB，∠ABE＝140°，∠ABC＝∠DBE＝40°，
∴∠DCB＝∠BDC，
∵∠ABC+∠ABE＝180°，
∴点C、点B、点E三点共线，
∴∠DBE＝∠DCB+∠BDC＝40°，
∴∠BDC＝20°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
18．（7分）求当a为何值时，代数式的值不小于代数式4a的值？在数轴上表示解集并求出满足条件的最大整数．
【分析】根据题意列出关于a的不等式，再根据解不等式的基本步骤求解可得．
【解答】解：根据题意，得：≥4a，
去分母，得：4a﹣4≥20a
移项、合并，得：﹣16a≥4，
系数化为1，得：a≤﹣，
将解集表示在数轴上如下：
．
则满足条件的最大整数为﹣1．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
19．（8分）如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形；
（2）画出将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后的图形．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）分别作出点B与点C绕点A顺时针方向旋转90°后得到的对应点，再与点A首尾顺次连接即可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，△AB″C″即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AC、BD为两条对角线，且AC⊥BD，AC＝BD，
（1）把AC平移到DE的位置，方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长；
（2）判断△BDE的形状．
【分析】（1）延长BC至E，使CE＝AD，连接DE即可；
（2）根据平移的性质可得DE∥AC，DE＝AC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BDE＝90°，然后根据等腰直角三角形的定义判定即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）由平移的性质得，DE∥AC，DE＝AC，
∵AC＝BD，
∴BD＝DE，
∴△BDE是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了利用平移变换作图，等腰直角三角形的判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
21．（8分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ACB的高，垂足为点D．
（1）求证：∠BCD＝∠CAD；
（2）若点F是△ABC的边BC上一点，连接AF交CD于点E，且∠CEF＝∠CFE．求证：AF平分∠CAB．
【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可．
（2）首先证明∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵CD是△ACB的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴BCD＝∠CAD．
（2）证明：∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠CEF＝∠EAC+∠ACE，∠CFE＝∠BAF+∠B，∠CEF＝∠CFE，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴AF平分∠CAB．
【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（8分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE⊥AB于点E且交BC边的延长线于点F，AE＝2，求BF的长．
【分析】根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定，即可得出DC＝CF＝4；再根据等边三角形的性质，再根据BF＝BC+CF即可得到BF的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝CD＝AC，
∵DE⊥AB于E，
∴∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，
∴CD＝AD＝2AE＝4，AC＝8，
∵∠CDF＝∠ADE＝30°，
∴∠F＝∠ACB﹣∠CDF＝30°，
∴∠CDF＝∠F，
∴DC＝CF＝4，
∴BF＝BC+CF＝8+4＝12．
【点评】此题考查等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，解决问题的关键是利用等边三角形三线合一的性质．
23．（10分）某文具超市上次购进了A款中性笔和B款中性笔各若干支，其中A款中性笔的单价比B款中性笔的单价贵2元，买100支A款中性笔和100支B款中性笔共用1800元．
（1）求A款中性笔的单价和B款中性笔的单价各是多少元？
（2）若该超市又计划购进两款中性笔共200支，但B款中性笔的单价比上次提高了12.5%，A款中性笔的单价与上次相同，且购进A款中性笔和B款中性笔的总费用不超过1900元，则至少要购进多少支B款中性笔？
【分析】（1）设A款中性笔的单价是x元，B款中性笔的单价是y元，根据“A款中性笔的单价比B款中性笔的单价贵2元，买100支A款中性笔和100支B款中性笔共用1800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设要购进m支B款中性笔，则购进（200﹣m）支A款中性笔，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1900元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A款中性笔的单价是x元，B款中性笔的单价是y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A款中性笔的单价是10元，B款中性笔的单价是8元．
（2）设要购进m支B款中性笔，则购进（200﹣m）支A款中性笔，
依题意，得：10（200﹣m）+8×（1+12.5%）m≤1900，
解得：m≥100．
答：至少要购进100支B款中性笔．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（12分）如图，在△BAD和△BCE中，∠BAD＝∠BCE＝90°，且AD＝AB，BC＝CE，连接DE，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A、B、C三点在同一直线上时（如图①），求证：AM＝MN；
（2）将图中的△BCE绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时（如图②）．求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图中△BCE绕点B旋转到如图③位置时（即A、B、M在一条直线上），△CAN是否仍为等腰直角三角形？若是，试证明之；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）由“AAS”可证△ADM≌△NEM，可得结论；
（2）易证AB＝DA＝NE，∠ABC＝∠NEC＝135°，从而可以证得△ABC≌△NEC，进而可以证得AC＝NC，∠ACN＝∠BCE＝90°，则有△ACN为等腰直角三角形；
（3）同（2）的方法证明△ACN为等腰直角三角形，即可．
【解答】证明：（1）∵EN∥AD，
∴∠MAD＝∠MNE，∠ADM＝∠NEM．
∵点M为DE的中点，
∴DM＝ME，
在△ADM和△NEM中，
，
∴△ADM≌△NEM（AAS），
∴AM＝NM；
（2）∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AD，CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB＝45°，
∵AD∥NE，
∴∠DAE+∠NEA＝180°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠NEA＝90°，
∴∠NEC＝135°，
∵A，B，E三点在同一直线上，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝135°．
∴∠ABC＝∠NEC．
∵△ADM≌△NEM（已证），
∴AD＝NE．
∵AD＝AB，
∴AB＝NE．
在△ABC和△NEC中，
，
∴△ABC≌△NEC（SAS）．
∴AC＝NC，∠ACB＝∠NCE．
∴∠ACN＝∠BCE＝90°．
∴△ACN为等腰直角三角形；
（3）、（2）中的结论是仍成立，
理由：如图3中，
∵AD∥NE，M为DE的中点，
∴易得△ADM≌△NEM，
∴AD＝NE．
∵AD＝AB，
∴AB＝NE，
∵AD∥NE，
∴AN⊥NE，
在四边形BCEN中，
∵∠BCE＝∠BNE＝90°
∴∠NBC+∠NEC＝360°﹣180°＝180°
∵∠NBC+∠ABC＝180°
∴∠ABC＝∠NEC
在△ABC和△NEC中，
，
∴△ABC≌△NEC（SAS）
∴AC＝NC，∠ACB＝∠NCE．
∴∠ACN＝∠BCE＝90°．
∴△ACN为等腰直角三角形，
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，多边形的内角与外角等知识，解本题的关键是判断出△ABC≌△NEC，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题．
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2017-2018学年陕西省西安市新城区汇知中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合要求的）
1．（3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．+2＞3 B．x2＞16 C．3x+y≤9 D．（x﹣3）＜0
2．（3分）把多项式6a2b2﹣18ab2分解因式时，应提出的公因式是（ ）
A．6a2b B．6ab2 C．a2b2 D．18ab2
3．（3分）解不等式的下列过程中错误的是（ ）
A．去分母得9（2+x）＞7（3x﹣1）
B．去括号得18+9x＞21x﹣7
C．移项，合并同类项得﹣12x＞﹣25
D．系数化为1，得
4．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x＜1 B．x≥3 C．1＜x≤3 D．1≤x＜3
5．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转64°后得到△A′OB，若∠AOB＝20°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．24° B．30° C．36° D．44°
6．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a+b﹣c）
B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．2x2y+2xy2＝2xy（x+y）
D．12x2y3﹣18xy3＝3xy3（4x﹣6）
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝55°，∠B＝45°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
8．（3分）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝15，DF＝3，AC＝5，则AB的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与y2＝kx+4的图象相交于点P（1.5，3.5），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞4 B．x＞0 C．x＞1.5 D．x＜1.5
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，将△ABC沿直线BC向右平移6.5个单位长度得到△DEF，连接AD、AE，则下列结论中不成立的是（ ）
A．AD∥BE，AD＝BE B．∠ABE＝∠DEF
C．ED⊥AC D．AE＝DE＝AD
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）已知a、b是常数且a＜0，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是 ．
12．（3分）如图，AD是△ABC的中线，将△ABC沿射线BC方向平移5cm得到△EDF，则DC的长为 cm．
13．（3分）已知多项式x2+px+q可分解为（x+5）（x﹣3），则p＝ ，q＝ ．
14．（3分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ．
三、解答题（共10小题，计78分，解答时写出过程）
15．（6分）解下列不等式
（1）2（1﹣x）＞3x﹣8；
（2）1﹣．
16．（6分）解下列不等式组
（1）；
（2）．
17．（5分）如图，△ABC绕顶点B顺时针旋转140°得△EBD，且连接CD，若∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，求∠BDC的度数．
18．（7分）求当a为何值时，代数式的值不小于代数式4a的值？在数轴上表示解集并求出满足条件的最大整数．
19．（8分）如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形；
（2）画出将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后的图形．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AC、BD为两条对角线，且AC⊥BD，AC＝BD，
（1）把AC平移到DE的位置，方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长；
（2）判断△BDE的形状．
21．（8分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ACB的高，垂足为点D．
（1）求证：∠BCD＝∠CAD；
（2）若点F是△ABC的边BC上一点，连接AF交CD于点E，且∠CEF＝∠CFE．求证：AF平分∠CAB．
22．（8分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE⊥AB于点E且交BC边的延长线于点F，AE＝2，求BF的长．
23．（10分）某文具超市上次购进了A款中性笔和B款中性笔各若干支，其中A款中性笔的单价比B款中性笔的单价贵2元，买100支A款中性笔和100支B款中性笔共用1800元．
（1）求A款中性笔的单价和B款中性笔的单价各是多少元？
（2）若该超市又计划购进两款中性笔共200支，但B款中性笔的单价比上次提高了12.5%，A款中性笔的单价与上次相同，且购进A款中性笔和B款中性笔的总费用不超过1900元，则至少要购进多少支B款中性笔？
24．（12分）如图，在△BAD和△BCE中，∠BAD＝∠BCE＝90°，且AD＝AB，BC＝CE，连接DE，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A、B、C三点在同一直线上时（如图①），求证：AM＝MN；
（2）将图中的△BCE绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时（如图②）．求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图中△BCE绕点B旋转到如图③位置时（即A、B、M在一条直线上），△CAN是否仍为等腰直角三角形？若是，试证明之；若不成立，请说明理由．
2017-2018学年陕西省西安市新城区汇知中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合要求的）
1．（3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．+2＞3 B．x2＞16 C．3x+y≤9 D．（x﹣3）＜0
【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义解答即可．
【解答】解：A、该不等式属于分式不等式，故本选项不合题意；
B、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故本选项不合题意；
C、该不等式中含有2个未知数，属于二元一次不等式，故本选项不合题意；
D、该不等式符合一元一次不等式的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式中的未知数的最高次数为1次．
2．（3分）把多项式6a2b2﹣18ab2分解因式时，应提出的公因式是（ ）
A．6a2b B．6ab2 C．a2b2 D．18ab2
【分析】直接利用公因式的定义，找出公因式进而得出答案．
【解答】解：6a2b2﹣18ab2
＝6ab2（a﹣3），
则应提出的公因式是6ab2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
3．（3分）解不等式的下列过程中错误的是（ ）
A．去分母得9（2+x）＞7（3x﹣1）
B．去括号得18+9x＞21x﹣7
C．移项，合并同类项得﹣12x＞﹣25
D．系数化为1，得
【分析】根据不等式的基本性质，先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，最后系数化1．
【解答】解：解不等式，
去分母得：9（2+x）＞7（3x﹣1）；
去括号得18+9x＞21x﹣7；
移项，合并同类项得﹣12x＞﹣25；
系数化为1，得x＜；
所以，D错；
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1是解答此题的关键；特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．
4．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x＜1 B．x≥3 C．1＜x≤3 D．1≤x＜3
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＞1；
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为1＜x≤3，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转64°后得到△A′OB，若∠AOB＝20°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．24° B．30° C．36° D．44°
【分析】根据旋转的性质可得出∠BOB′＝64°，由∠AOB′＝∠BOB′﹣∠BOA结合∠AOB＝20°，即可求出∠AOB'的度数．
【解答】解：根据旋转的性质，可知：∠AOA′＝∠BOB′＝64°，
∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠BOA＝64°﹣20°＝44°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质以及角的计算，根据旋转的性质找出∠BOB′的度数是解题的关键．
6．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a+b﹣c）
B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．2x2y+2xy2＝2xy（x+y）
D．12x2y3﹣18xy3＝3xy3（4x﹣6）
【分析】首先找出每个多项式的公因式，再提取公因式，找准公因式后，一次要提净，只有公因式的项，提出公因式后，要留1把家守，提走负号的要注意符号的改变．
【解答】解：A、﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c），故此选项错误；
B、x2+xy+x＝x（x+y+1），故此选项错误；
C、2x2y+2xy2＝2xy（x+y），故此选项正确；
D、12x2y3﹣18xy3＝6xy3（2x﹣3），故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，要掌握公因式的找法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝55°，∠B＝45°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
【分析】由三角形内角和定理求得∠A＝80°；由垂直的定义得到∠AED＝∠AFD＝90°；然后根据四边形内角和是360度进行求解．
【解答】解：如图，在△ABC中，∠C＝55°，∠B＝45°，
∴∠A＝80°．
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD＝100°．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质．注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内角和是180°、四边形的内角和是360°．
8．（3分）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝15，DF＝3，AC＝5，则AB的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据角平分线性质求出DF＝DE＝3，根据S△ADB+S△ADC＝7和三角形面积公式求出即可．
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝3，
∴DE＝DF＝3，
∵S△ABC＝15，
∴S△ADB+S△ADC＝15，
∴＝15，
∴＝15，
解得：AB＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
9．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与y2＝kx+4的图象相交于点P（1.5，3.5），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞4 B．x＞0 C．x＞1.5 D．x＜1.5
【分析】观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式x+b＞kx+4的解集．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＞1.5时，一次函数y1＝x+b的图象在y2＝kx+4的图象的上方，
∴关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是x＞1.5．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，将△ABC沿直线BC向右平移6.5个单位长度得到△DEF，连接AD、AE，则下列结论中不成立的是（ ）
A．AD∥BE，AD＝BE B．∠ABE＝∠DEF
C．ED⊥AC D．AE＝DE＝AD
【分析】直接利用平移的性质可对A选项和B选项进行判断；先利用平移的性质得到AB∥DE，再利用AB⊥AC和平行线的性质可判断AC⊥DE，从而可对C选项进行判断；利用DE＝5，AD＝6.5可对D选项进行判断．
【解答】解：∵△ABC沿直线BC向右平移6.5个单位长度得到△DEF，
∴AD∥BE，AD＝BE＝6.5，所以A选项的结论正确；
∠ABC＝∠DEF，所以B选项的结论正确；
∵△ABC沿直线BC向右平移6.5个单位长度得到△DEF，
∴AB∥DE，
而AB⊥AC，
∴DE⊥AC，所以C选项的结论正确；
∵AB＝DE＝5，AD＝BE＝6.5，
∴DE≠AD，所以D选项的结论错误．
故选：D．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）已知a、b是常数且a＜0，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是 x＞﹣ ．
【分析】根据不等式的性质解关于x的不等式．
【解答】解：ax+b＜0，
ax＜﹣b，
因为a＜0，
所以x＞﹣．
故答案为x＞﹣．
【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
12．（3分）如图，AD是△ABC的中线，将△ABC沿射线BC方向平移5cm得到△EDF，则DC的长为 5 cm．
【分析】由AD是△ABC的中线，得到BD＝CD，根据平移的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵将△ABC沿射线BC方向平移5cm得到△EDF，
∴BD＝5，
∴CD＝5cm，
故答案为：5．
【点评】本题考查了平移的性质，三角形中线的定义，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
13．（3分）已知多项式x2+px+q可分解为（x+5）（x﹣3），则p＝ 2 ，q＝ ﹣15 ．
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．
【解答】解：根据题意得：x2+px+q＝（x+5）（x﹣3）＝x2+2x﹣15，
则p＝2，q＝﹣15．
故答案为：2，﹣15．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 a≤1 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解即可得出答案．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜﹣1，
解不等式②得：x＞1﹣2a，
又∵不等式组无解，
∴1﹣2a≥﹣1，
∴a≤1，
故答案为：a≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集得出关于a的不等式是解此题的关键．
三、解答题（共10小题，计78分，解答时写出过程）
15．（6分）解下列不等式
（1）2（1﹣x）＞3x﹣8；
（2）1﹣．
【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集．
【解答】解：（1）去括号得，2﹣2x＞3x﹣8，
移项得，﹣2x﹣3x＞﹣8﹣2，
合并同类项，得﹣5x＞﹣10，
系数化为1得，x＜2；
（2）去分母，得6﹣2（x﹣2）＞3（x+1），
去括号，得6﹣2x+4＞3x+3，
移项，得﹣2x﹣3x＞3﹣6﹣4，
合并同类项，得﹣5x＞﹣7，
系数化为1，得x＜．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，能正确运用不等式的基本性质进行计算是解此题的关键．
16．（6分）解下列不等式组
（1）；
（2）．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式（x+4）＞2，得：x＞0，
解不等式2x+6≥3x+3，得：x≤3，
则不等式组解集为0＜x≤3．
（2）解不等式3x﹣3≥2x+7，得：x≥10，
解不等式＜3﹣x，得：x＜1，
则不等式组无解．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（5分）如图，△ABC绕顶点B顺时针旋转140°得△EBD，且连接CD，若∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，求∠BDC的度数．
【分析】根据旋转的性质得到BD＝CB，由等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠BDC，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC绕着顶点B顺时针旋转140°得△EBD，
∴BD＝CB，∠ABE＝140°，∠ABC＝∠DBE＝40°，
∴∠DCB＝∠BDC，
∵∠ABC+∠ABE＝180°，
∴点C、点B、点E三点共线，
∴∠DBE＝∠DCB+∠BDC＝40°，
∴∠BDC＝20°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
18．（7分）求当a为何值时，代数式的值不小于代数式4a的值？在数轴上表示解集并求出满足条件的最大整数．
【分析】根据题意列出关于a的不等式，再根据解不等式的基本步骤求解可得．
【解答】解：根据题意，得：≥4a，
去分母，得：4a﹣4≥20a
移项、合并，得：﹣16a≥4，
系数化为1，得：a≤﹣，
将解集表示在数轴上如下：
．
则满足条件的最大整数为﹣1．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
19．（8分）如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形；
（2）画出将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后的图形．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）分别作出点B与点C绕点A顺时针方向旋转90°后得到的对应点，再与点A首尾顺次连接即可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，△AB″C″即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AC、BD为两条对角线，且AC⊥BD，AC＝BD，
（1）把AC平移到DE的位置，方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长；
（2）判断△BDE的形状．
【分析】（1）延长BC至E，使CE＝AD，连接DE即可；
（2）根据平移的性质可得DE∥AC，DE＝AC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BDE＝90°，然后根据等腰直角三角形的定义判定即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）由平移的性质得，DE∥AC，DE＝AC，
∵AC＝BD，
∴BD＝DE，
∴△BDE是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了利用平移变换作图，等腰直角三角形的判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
21．（8分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ACB的高，垂足为点D．
（1）求证：∠BCD＝∠CAD；
（2）若点F是△ABC的边BC上一点，连接AF交CD于点E，且∠CEF＝∠CFE．求证：AF平分∠CAB．
【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可．
（2）首先证明∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵CD是△ACB的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴BCD＝∠CAD．
（2）证明：∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠CEF＝∠EAC+∠ACE，∠CFE＝∠BAF+∠B，∠CEF＝∠CFE，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴AF平分∠CAB．
【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（8分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE⊥AB于点E且交BC边的延长线于点F，AE＝2，求BF的长．
【分析】根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定，即可得出DC＝CF＝4；再根据等边三角形的性质，再根据BF＝BC+CF即可得到BF的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝CD＝AC，
∵DE⊥AB于E，
∴∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，
∴CD＝AD＝2AE＝4，AC＝8，
∵∠CDF＝∠ADE＝30°，
∴∠F＝∠ACB﹣∠CDF＝30°，
∴∠CDF＝∠F，
∴DC＝CF＝4，
∴BF＝BC+CF＝8+4＝12．
【点评】此题考查等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，解决问题的关键是利用等边三角形三线合一的性质．
23．（10分）某文具超市上次购进了A款中性笔和B款中性笔各若干支，其中A款中性笔的单价比B款中性笔的单价贵2元，买100支A款中性笔和100支B款中性笔共用1800元．
（1）求A款中性笔的单价和B款中性笔的单价各是多少元？
（2）若该超市又计划购进两款中性笔共200支，但B款中性笔的单价比上次提高了12.5%，A款中性笔的单价与上次相同，且购进A款中性笔和B款中性笔的总费用不超过1900元，则至少要购进多少支B款中性笔？
【分析】（1）设A款中性笔的单价是x元，B款中性笔的单价是y元，根据“A款中性笔的单价比B款中性笔的单价贵2元，买100支A款中性笔和100支B款中性笔共用1800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设要购进m支B款中性笔，则购进（200﹣m）支A款中性笔，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1900元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A款中性笔的单价是x元，B款中性笔的单价是y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A款中性笔的单价是10元，B款中性笔的单价是8元．
（2）设要购进m支B款中性笔，则购进（200﹣m）支A款中性笔，
依题意，得：10（200﹣m）+8×（1+12.5%）m≤1900，
解得：m≥100．
答：至少要购进100支B款中性笔．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（12分）如图，在△BAD和△BCE中，∠BAD＝∠BCE＝90°，且AD＝AB，BC＝CE，连接DE，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A、B、C三点在同一直线上时（如图①），求证：AM＝MN；
（2）将图中的△BCE绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时（如图②）．求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图中△BCE绕点B旋转到如图③位置时（即A、B、M在一条直线上），△CAN是否仍为等腰直角三角形？若是，试证明之；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）由“AAS”可证△ADM≌△NEM，可得结论；
（2）易证AB＝DA＝NE，∠ABC＝∠NEC＝135°，从而可以证得△ABC≌△NEC，进而可以证得AC＝NC，∠ACN＝∠BCE＝90°，则有△ACN为等腰直角三角形；
（3）同（2）的方法证明△ACN为等腰直角三角形，即可．
【解答】证明：（1）∵EN∥AD，
∴∠MAD＝∠MNE，∠ADM＝∠NEM．
∵点M为DE的中点，
∴DM＝ME，
在△ADM和△NEM中，
，
∴△ADM≌△NEM（AAS），
∴AM＝NM；
（2）∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AD，CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB＝45°，
∵AD∥NE，
∴∠DAE+∠NEA＝180°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠NEA＝90°，
∴∠NEC＝135°，
∵A，B，E三点在同一直线上，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝135°．
∴∠ABC＝∠NEC．
∵△ADM≌△NEM（已证），
∴AD＝NE．
∵AD＝AB，
∴AB＝NE．
在△ABC和△NEC中，
，
∴△ABC≌△NEC（SAS）．
∴AC＝NC，∠ACB＝∠NCE．
∴∠ACN＝∠BCE＝90°．
∴△ACN为等腰直角三角形；
（3）、（2）中的结论是仍成立，
理由：如图3中，
∵AD∥NE，M为DE的中点，
∴易得△ADM≌△NEM，
∴AD＝NE．
∵AD＝AB，
∴AB＝NE，
∵AD∥NE，
∴AN⊥NE，
在四边形BCEN中，
∵∠BCE＝∠BNE＝90°
∴∠NBC+∠NEC＝360°﹣180°＝180°
∵∠NBC+∠ABC＝180°
∴∠ABC＝∠NEC
在△ABC和△NEC中，
，
∴△ABC≌△NEC（SAS）
∴AC＝NC，∠ACB＝∠NCE．
∴∠ACN＝∠BCE＝90°．
∴△ACN为等腰直角三角形，
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，多边形的内角与外角等知识，解本题的关键是判断出△ABC≌△NEC，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题．
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